《新編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第三章 167;3　第1課時 倍角公式及其應(yīng)用 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第三章 167;3　第1課時 倍角公式及其應(yīng)用 Word版含答案（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料 第1課時　倍角公式及其應(yīng)用 [核心必知] 二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式) 記法 公式 推導(dǎo)方法 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α Sα＋βS2α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α Cα＋βC2α cos 2α＝1－2sin2α cos 2α＝2cos2α－1 利用sin2α＋cos2α＝1 消去sin2α或cos2α T2α tan 2α＝ Tα＋βT2α [問題思考] 1．倍角公式成立的條件是什么？ 提示：在公式S2α，C2α中，角α為任意角，在T2α中，只有當

2、α≠kπ＋(k∈Z)及α≠＋(k∈Z)時，才成立． 2．在什么條件下，sin 2α＝2sin α成立？ 提示：一般情況下，sin 2α≠2sin α，只有當α＝2kπ(k∈Z)時，sin 2α＝2sin α才成立． 講一講 1．求下列各式的值： (1)sin 75°cos 75°；(2)－sin2；(3)； (4)－. [嘗試解答]　(1)原式＝(2sin 75°cos 75°) ＝sin 150°＝×＝. (2)原式＝(1－2sin2)＝cos ＝×＝. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝

3、－. (4)原式＝ ＝ ＝ ＝＝4. 二倍角公式的“三用”： (1)公式正用 從題設(shè)條件出發(fā)，順著問題的線索，正用三角公式，運用已知條件和推算手段逐步達到目的． (2)公式逆用 要求對公式特點有一個整體感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α. (3)公式的變形用 主要形式有1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α(升冪公式)，co

4、s2α＝，sin2α＝(降冪公式)． 練一練 1．求值： (1)sin cos cos cos cos ＝________； (2)＝________． 解析：(1)原式＝sin cos cos cos ＝sin cos cos ＝sin cos ＝sin ＝. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝＝2. 答案：(1)　(2)2 講一講 2．已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值． [嘗試解答]　∵α為第一象限角，且cos α＝， ∴sin α＝. 原式＝＝· ＝·＝×＝－. 當待求值的函數(shù)式較復(fù)雜時，一般需要利用誘導(dǎo)公式

5、，倍角公式以及和差公式進行化簡，與已知條件取得聯(lián)系，從而達到化簡求值的目的． 練一練 2．已知<α<π，tan α＋＝－. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解： (1)∵tan α＋＝－，∴3tan2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－或tan α＝－3. ∵<α<π， ∴－1

6、求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的圖像經(jīng)過點(，0)，求函數(shù)f(x)的值域． [嘗試解答]　(1)因為f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ. 由直線x＝π是y＝f(x)圖像的一條對稱軸， 可得sin(2ωπ－)＝±1. 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)， 即ω＝＋(k∈Z)． 又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的圖像過點(，0)得f()＝0， 即λ＝－2sin(×－)＝－2sin＝－， 即λ＝－，

7、 故f(x)＝2sin(x－)－， 函數(shù)f(x)的值域為[－2－，2－]． 解決此類問題的步驟： (1)運用倍角公式進行恒等變形，通常是逆用二倍角正弦和余弦，轉(zhuǎn)化為asin α＋bcos α＋k的形式； (2)運用和(差)正(余)弦公式進行恒等變形時，通常是逆用兩角和與差的正余弦公式，轉(zhuǎn)化為y＝sin(ωα＋φ)＋k或y＝cos(ωα＋φ)＋k的形式．(其中φ可由a，b的值唯一確定) (3)利用f(x)＝sin x或f(x)＝cos x的性質(zhì)進行研究，求得結(jié)果． 練一練 3．(山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)圖

8、像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解：本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力． (1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－·－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx ＝－sin. 因為圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為， 又ω>0，所以＝4×，因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin. 當π≤x≤時，≤2x－≤. 所以－≤sin≤1. 因此－1≤f(x)≤. 故f(x)在區(qū)間[π，]上的最大值和最小值分別為，－1. 已知cos(＋

9、x)＝，

10、 ＝－， ∴tan(＋x)＝－， 又sin 2x＝－cos(＋2x) ＝－cos2(＋x) ＝－ ＝1－2×＝， 將上述結(jié)果代入(*)式有，原式＝×(－)＝－. 法三：原式＝ ＝ ＝，① 由cos(＋x)＝，得(cos x－sin x)＝， 即cos x－sin x＝.② 平方得1－sin 2x＝， ∴sin 2x＝③ ∴(cos x＋sin x)2＝1＋sin 2x＝. 又∵

11、.　　　　　　　　　　B. C. D. 解析：選B　1－2sin222.5°＝cos 45°＝. 2．(全國甲卷)若cos＝，則sin 2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選D　因為cos＝， 所以sin 2α＝cos＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－. 3．(江西高考)若sin＝，則cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選C　因為sin＝，所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×()2＝. 4．cos2－sin2＝________． 解析：cos2－sin2＝cos ＝. 答

12、案： 5．若＝2 012，則＋tan 2α＝________． 解析：＋tan 2α ＝＋ ＝ ＝＝ ＝＝2 012 答案： 2 012 6．已知sin α＋cos α＝，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 解：法一：由sin α＋cos α＝，得(sin α＋cos α)2＝， 即1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－. ∵sin αcos α<0，0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0. 又sin α＋cos α＝>0，∴sin α>|cos α|. ∴cos 2α＝cos2α－sin2α<

13、0. ∴cos 2α＝－ ＝－.tan 2α＝＝. 法二：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝， 即1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－. ∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－<0， ∴cos α<0.∴sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝ ＝＝. ∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝×(－)＝－. ∴tan 2α＝＝. 一、選擇題 1．(全國大綱)已知α為第二象限角，sin α＝，則sin

14、2α＝(　　) A．－　　　　　　　B．－ C. D. 解析：選A　因為α是第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－. 2．(陜西高考)設(shè)向量a＝(1，cos θ)與b＝(－1，2cos θ)垂直，則cos 2θ等于(　　) A. B. C．0 D．－1 解析：選C　由向量互相垂直得到a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0. 3．(江西高考)若＝，則tan 2α＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選A　由已知條件得＝?tan α＝3， ∴tan 2α＝＝－.

15、4．已知cos(＋θ)cos(－θ)＝eq \f(\r(3),4)，θ∈(π，π)，則sin θ＋cos θ的值是(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：選C　cos(＋θ)×cos(－θ) ＝sin(－θ)cos(－θ) ＝sin(－2θ) ＝cos 2θ＝. ∴cos 2θ＝. ∵θ∈(π，π)，∴2θ∈(π，2π)， ∴sin 2θ＝－，且sin θ＋cos θ<0， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝， ∴sin θ＋cos θ＝－. 二、填空題 5．函數(shù)f(x)＝cos 2x－2sin xcos x的最小正周期是_______

16、_． 解析：f(x)＝cos 2x－sin 2x＝2cos(2x＋)． ∴T＝＝π. 答案：π 6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________． 解析：tan 20°＋4sin 20°＝ ＝＝ ＝ ＝＝2sin 60°＝. 答案： 7．已知tan(x＋)＝2，則的值為________． 解析：∵tan(x＋)＝＝2， ∴tan x＝. 又∵tan 2x＝， ∴＝(1－tan2x)＝(1－)＝. 答案： 8．化簡：＝________． 解析： ＝＝＝1. 答案：1 三、解答題 9．已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值． 解

17、：∵≤α<，∴≤α＋<. ∵cos(α＋)>0，∴<α＋<. ∴sin(α＋)＝－ ＝－ ＝－. ∴cos 2α＝sin(2α＋) ＝2sin(α＋)cos(α＋) ＝2×(－)×＝－， sin 2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋) ＝1－2×()2＝. ∴cos(2α＋)＝cos 2α－sin 2α ＝×(－－)＝－. 10．(四川高考)已知函數(shù)f(x)＝cos2－sincos－. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域； (2)若f(α)＝，求sin 2α的值． 解：(1)f(x)＝cos2－sincos－ ＝(1＋cos x)－sin x－ ＝cos (x＋)． 所以f(x)的最小正周期為2π，值域為. (2)由(1)知f(α)＝cos (α＋)＝， 所以cos (α＋)＝. 所以sin 2α＝－cos(＋2α)＝－cos 2(α＋) ＝1－2cos2(α＋)＝1－＝.