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專題九數(shù)學(xué)思想方法 1 高考考點本節(jié)內(nèi)容的主要內(nèi)容和考點是數(shù)學(xué)思想方法 對數(shù)學(xué)思想方法的考查是高考的重點目標(biāo)之一 也是數(shù)學(xué)教育的核心價值 高考對數(shù)學(xué)思想方法的考查有以下幾個方面 1 函數(shù)與方程思想 2 數(shù)形結(jié)合思想 3 分類與整合 4 化歸與轉(zhuǎn)化思想以及特殊與一般 有限與無限思想 必然與或然等 高考試題重在考查對知識理解的準(zhǔn)確性 深刻性 重在考查知識的綜合靈活運用 在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處 從思想方法與相關(guān)能力綜合的角度進(jìn)行較為深入的考查 它著眼于知識點新穎巧妙的組合 試題新而不偏 活而不過難 著眼于對數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)能力的考查 2 易錯易漏 1 在解題中沒有仔細(xì)分析題意 明確的目標(biāo)意識生搬硬套數(shù)學(xué)知識 盲目解題 2 沒有用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)解題 解題過程繁雜 降低解題效率 3 沒有用數(shù)學(xué)思想方法對解題過程 結(jié)果進(jìn)行反思 優(yōu)化 因此過程不完整 解答不嚴(yán)謹(jǐn) 3 歸納總結(jié) 在復(fù)習(xí)中要以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識 方法的運用 整體把握各部分知識的內(nèi)在聯(lián)系 多進(jìn)行一題多解 一題多變 多題一解 錯題糾錯等練習(xí) 優(yōu)化解題過程和方法 提高數(shù)學(xué)能力 1 設(shè)函數(shù)f x x 1 x a 的圖象關(guān)于直線x 1對稱 則a的值為 A 3B 2C 1D 1 5 圍建一個面積為360m2的矩形場地 要求矩形場地的一面利用舊墻 利用舊墻需維修 其他三面圍墻要新建 在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進(jìn)出口 如圖所示 已知舊墻的維修費用為45元 m 新墻的造價為180元 m 設(shè)利用的舊墻的長度為x 單位 元 則修建此矩形場地圍墻的最小總費用等于 1 數(shù)形結(jié)合在解題過程中常用到的圖形有 數(shù)軸 常見函數(shù) 一次函數(shù) 二次函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 的圖象 單位圓 三角函數(shù)線 圓 圓錐曲線及空間幾何體 2 分類討論的問題 主要有以下五個方面原因引起 1 涉及數(shù)學(xué)概念是分類定義而引起的分類討論 2 由應(yīng)用的數(shù)學(xué)定理 性質(zhì) 公式本身的限制條件而引發(fā)的分類討論 3 由于求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種的可能性而引起的分類討論 4 對于含有參數(shù)的問題 由于參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果 需要進(jìn)行的分類討論 5 對于較復(fù)雜的或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題含有不確定因素 需要進(jìn)行的分類討論 3 函數(shù)思想就是要運用運動變化的觀點 分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系 通過函數(shù)的形式把這種數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來 并加以研究 從而使問題獲得解決 方程思想就是如果變量間的關(guān)系是通過解析式表示出來的 則可以把解析式看作一個方程 通過對方程的研究使問題得以解決 4 當(dāng)遇到一些問題直接求解較為困難時 可通過觀察 分析 類比 聯(lián)想等思維過程 選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化 將原問題轉(zhuǎn)化為一個自己較為熟悉的新問題 通過對新問題的求解達(dá)到解決原問題的目的 題型一函數(shù)與方程思想 點評 上述問題知識依托各不相同 但都是考查方程思想在解決問題中的應(yīng)用 關(guān)鍵是確定問題的基本量 在高考試題中這類問題比比皆是 題型二利用數(shù)形結(jié)合解題 例2 不論k為何實數(shù) 直線y kx 1與曲線x2 y2 2ax a2 2a 4 0恒有交點 求實數(shù)a的取值范圍 分析 抓住直線y kx 1是過定點的直線系方程 因此考慮定點與圓心的位置關(guān)系是關(guān)鍵 解析 由于直線必過定點 0 1 所以要使直線與圓恒有交點 等價于點 0 1 在圓內(nèi)或圓上 即02 12 2a 0 a2 2a 4 0 且2a 4 0 因此 1 a 3 點評 注意直線方程的特點 必過定點 0 1 曲線的特點是封閉曲線 因此通過點與曲線的位置關(guān)系求解比利用的討論求解要高效得多 本題也可以轉(zhuǎn)化為點 0 1 到圓 x a 2 y2 2a 4的圓心的距離小于半徑 解題中容易忽視的是2a 4 0的要求 題型三利用分類討論解題 題型四數(shù)形結(jié)合 點評 觀察待證式左端 它的每個根式都使我們類比聯(lián)想到Rt ABC中的等式a2 b2 c2 激起我們構(gòu)造平面圖形利用幾何方法證明這個不等式的想法 這里采用的是數(shù)形結(jié)合的思想方法 題型五轉(zhuǎn)化與化歸 點評 1 由MN平移到PQ 是等價轉(zhuǎn)化的思想 進(jìn)而把空間中MN化歸到平面CBE中 再通過三角形中的相似比問題就不難解決了 2 立體幾何中的求線段長度 兩直線所成的角 圍成的面積等問題一般化歸到函數(shù)求最值范圍里 也就是根據(jù)條件設(shè)出變量 寫出函數(shù)關(guān)系式 再通過函數(shù)關(guān)系求出最值 這一過程中應(yīng)特別注意變量的取值范圍 因為它是求函數(shù)在某一區(qū)間的值域問題 3 二面角的平面角定義本身正是立體幾何問題平面化思想的體現(xiàn)