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第5章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 5 1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 外力矩沿z軸分量的代數(shù)和 剛體沿z軸的角動(dòng)量 剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 適用于轉(zhuǎn)軸固定于慣性系中的情況 3 對(duì)于轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心的情況 如果質(zhì)心有加速度 上式也成立 慣性力對(duì)質(zhì)心的力矩和為零 1 由關(guān)于定點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理 向過(guò)該點(diǎn)的固定轉(zhuǎn)軸投影得到 外力對(duì)固定轉(zhuǎn)軸力矩的計(jì)算 沿轉(zhuǎn)軸方向 沿轉(zhuǎn)軸反方向 轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩 計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾條規(guī)律 1 對(duì)同一軸可疊加 2 平行軸定理 3 對(duì)薄平板剛體 有垂直軸定理 常用的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 8 例2 證明球體對(duì)任意直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 證明 如圖所示 在坐標(biāo)z處取高為dz的小圓柱作為質(zhì)元 9 例 一飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J 在t 0時(shí)的角速度為 0 此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過(guò)程 阻力矩M的大小與角速度的平方成正比 比例系數(shù)為k 當(dāng) 0 3時(shí) 飛輪的角加速度 從開始制動(dòng)到 0 3所經(jīng)歷的時(shí)間t 解 10 與一維質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方法一致 解 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 1 受力分析 2 關(guān)于O軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理 思考 為什么不關(guān)于過(guò)質(zhì)心軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理 由 求w 1 平動(dòng) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 3 求轉(zhuǎn)軸受力 2 轉(zhuǎn)動(dòng) 關(guān)于質(zhì)心軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理 為什么 例 一長(zhǎng)為L(zhǎng) 質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒 水平放置靜止不動(dòng) 受垂直向上的沖力F作用 沖量為F t t很短 沖力的作用點(diǎn)距棒的質(zhì)心l遠(yuǎn) 求沖力作用后棒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 解 1 質(zhì)心的運(yùn)動(dòng) 質(zhì)心以vC0的初速做上拋運(yùn)動(dòng) 2 在上拋過(guò)程中棒的轉(zhuǎn)動(dòng) 繞過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸 列轉(zhuǎn)動(dòng)定理 在上拋過(guò)程中 棒以恒定角速度 繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng) 演示實(shí)驗(yàn) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng) 杠桿 5 2轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒 1 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 2 幾個(gè)剛體繞同一定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 演示實(shí)驗(yàn) 茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅 和車輪 陀螺儀 3 關(guān)于過(guò)質(zhì)心軸 若合外力矩為零 則剛體總角動(dòng)量守恒 角動(dòng)量可在這幾部分間傳遞 若合外力矩為零 則剛體角動(dòng)量守恒 若對(duì)過(guò)質(zhì)心軸合外力矩為零 則對(duì)該軸剛體角動(dòng)量守恒 無(wú)論質(zhì)心軸是否是慣性系 5 3剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能 力矩的功 不太大剛體的重力勢(shì)能 機(jī)械能守恒定律 只有保守力做功時(shí) 解 桿機(jī)械能守恒 比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律簡(jiǎn)單 勢(shì)能零點(diǎn) 繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 桿動(dòng)能的另一種表達(dá) 科尼西定理 勢(shì)能零點(diǎn) 5 4剛體的無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸 補(bǔ)充 1 平面平行運(yùn)動(dòng) 只考慮圓柱 球等軸對(duì)稱剛體的滾動(dòng) 質(zhì)心做平面運(yùn)動(dòng) 繞過(guò)質(zhì)心垂直軸做轉(zhuǎn)動(dòng) 2 無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng) 任意時(shí)刻接觸點(diǎn)P瞬時(shí)靜止 無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)條件 思考 下一時(shí)刻P點(diǎn)位置 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的滾得快 演示實(shí)驗(yàn) 不同質(zhì)量分布的等質(zhì)量柱體滾動(dòng) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理 純滾動(dòng)條件 運(yùn)動(dòng)學(xué)條件 例 兩個(gè)質(zhì)量和半徑都相同 但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同的柱體 在斜面上作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng) 哪個(gè)滾得快 3 軸對(duì)稱剛體無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)中的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸 時(shí)刻t接觸點(diǎn)P瞬時(shí)靜止 在時(shí)間 t t t 內(nèi) 以P點(diǎn)為原點(diǎn)建立平動(dòng)坐標(biāo)系 時(shí)間 t t t 內(nèi) 剛體的運(yùn)動(dòng) 質(zhì)心平動(dòng) 繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng) 可以看成 繞過(guò)P點(diǎn)且垂直于固定平面的轉(zhuǎn)軸的無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng) 接觸點(diǎn)P 瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸 瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心 繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的形式 雖然p點(diǎn)瞬時(shí)靜止 但有加速度 所以除了力矩Mp外 還應(yīng)考慮慣性力矩 下面證明 對(duì)于無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)的軸對(duì)稱剛體 接觸點(diǎn)p的加速度沿過(guò)p點(diǎn)的半徑方向 因此 關(guān)于過(guò)p點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸 慣性力矩等于零 慣性力作用在質(zhì)心上 方向與p點(diǎn)的加速度方向相反 關(guān)于過(guò)p點(diǎn)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 軸對(duì)稱剛體 繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理 27 證明 p點(diǎn)相對(duì)慣性系的加速度 p點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的加速度 按切 法向分解 無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng) p點(diǎn)加速度沿半徑方向 過(guò)p點(diǎn)轉(zhuǎn)軸慣性力矩等于零 28 簡(jiǎn)單多了 29 5 5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng) 質(zhì)點(diǎn)系 對(duì)點(diǎn) 對(duì)軸 剛體 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 30 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律 對(duì)剛體系 M外z 0時(shí) 此時(shí)角動(dòng)量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞 而卻保持剛體系對(duì)轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量不變 茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅 KL016 陀螺儀 KL029 轉(zhuǎn)臺(tái)車輪 KL017 31 克服直升飛機(jī)機(jī)身反轉(zhuǎn)的措施 裝置尾漿推動(dòng)大氣產(chǎn)生克服機(jī)身反轉(zhuǎn)的力矩 裝置反向轉(zhuǎn)動(dòng)的雙旋翼產(chǎn)生反向角動(dòng)量而相互抵消 32 滑冰運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn) 貓的下落 A 貓的下落 B 33 例 如圖示 求 碰撞后的瞬刻盤 P轉(zhuǎn)到x軸時(shí)盤 解 m下落 1 對(duì) m 盤 碰撞中重力對(duì)O軸力矩可忽略 2 已知 h R M 2m 60 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒 34 3 對(duì) m M 地球 系統(tǒng) 令P x重合時(shí)EP 0 則 5 由 3 4 5 得 由 1 2 3 得 4 只有重力作功 E守恒 m 盤 角動(dòng)量 35 旋進(jìn) 如玩具陀螺的運(yùn)動(dòng) 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象 高速旋轉(zhuǎn)的物體 其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè) 36 點(diǎn)的不平行于 若質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸分布對(duì)稱 下面我們就討論這種質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸分布對(duì)稱 對(duì)轉(zhuǎn)軸不對(duì)稱 的剛體的旋進(jìn)問(wèn)題 剛體自轉(zhuǎn)的角動(dòng)量不一定都與自轉(zhuǎn)軸平行 例如 圖示的情形 質(zhì)量 則 則對(duì)軸上O 37 從而產(chǎn)生旋進(jìn)運(yùn)動(dòng) 玩具陀螺的旋進(jìn) 只改變方向而不改變大小 38 旋進(jìn)角速度 39 回轉(zhuǎn)效應(yīng)產(chǎn)生附加力矩 輪船轉(zhuǎn)彎時(shí) 渦輪機(jī)軸承要承受附加力 附加力可能造成軸承的損壞 附加力矩也可能造成翻船事故 三輪車拐彎時(shí)易翻車 內(nèi)側(cè)車輪上翹 40 地球轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn) 歲差 隨著地球自轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn) 北天極方向不斷改變 北極星 3000年前小熊座 現(xiàn)在小熊座 12000年后天琴座 織女 T 25800年 41 歲差 恒星年 太陽(yáng)年 20分23秒 42 我國(guó)古代已發(fā)現(xiàn)了歲差 每50年差1度 約72 年 將歲差引入歷法 391年有144個(gè)閏月 43 當(dāng)旋進(jìn)發(fā)生后 總角速度 只有剛體高速自轉(zhuǎn)時(shí) 才有 這時(shí)也才有和以上的表示式 當(dāng)考慮到對(duì)的貢獻(xiàn)時(shí) 自轉(zhuǎn)軸在旋 進(jìn)中還會(huì)出現(xiàn)微小的上下的周期性擺動(dòng) 運(yùn)動(dòng)叫章動(dòng) nutation 這種 44 1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題 解法 利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述關(guān)系 2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 解法 1 定義法 習(xí)題基本類型 45 2 平行軸定理 若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行 相距為d 剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J 則有J JC md2 3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 解法 利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 步驟 1 審題 確定研究對(duì)象 2 建立坐標(biāo)系 3 對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析和受力矩分析 并按坐標(biāo)系的正方向?qū)懗鐾饬氐谋磉_(dá)式及規(guī)律方 注 受力分析和受力矩須取隔離體 并用線角量關(guān)系將F ma與M J 聯(lián)系起來(lái) 4 計(jì)算對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 5 解方程 求未知 并對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的討論 46 4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能問(wèn)題 解法 利用動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律 5 角動(dòng)量原理及角動(dòng)量守恒定律 6 混合題型 解法 應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式 轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量守恒定律 47 5 1一汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速在7 0s內(nèi)由200rev min均勻地增加到3000rev min 1 求這段時(shí)間內(nèi)的初角速度 末角速度及角加速度 2 求這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度 3 發(fā)動(dòng)機(jī)軸上裝有一半徑為r 0 2m的飛輪 求它邊緣上一點(diǎn)在這第7 0s末的切向加速度 法向加速度和總加速度 1 初角速度 解 0 2 200 60 20 9 rad s 末角速度 2 3000 60 314 rad s 角加速度為 2 轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 48 總加速度為 總加速度與速度 切向 之間的夾角 3 切向加速度為 法向加速度為 49 由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性 所以已挖洞的圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J加上挖去的圓板補(bǔ)回原位后對(duì)原中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1就等于整個(gè)完整圓板對(duì)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2即 5 2從一半徑為R的均勻薄板上挖去一個(gè)直徑為R的圓板 所形成的圓洞中心在距原薄板中心R 2處 所剩薄板的質(zhì)量為m 求此薄板對(duì)于通過(guò)原中心而與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解 設(shè)板質(zhì)量密度為 厚度為a 則 J J2 J1 50 由于 則 最后求得 5 3如圖 兩物體質(zhì)量為m1 m2 滑輪的質(zhì)量為m 半徑為r 可視作均勻圓盤 已知m2與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 k 求m1下落的加速度和兩段繩子中的張力各為多少 設(shè)繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng) 滑輪軸受的摩擦力忽略不計(jì) 解 繩在輪上不打滑 向下為正 向右為正 線角量關(guān)系 對(duì)m1 m2 滑輪分別進(jìn)行受力分析 畫出示力圖 順時(shí)針為正 方程組的解為 53 5 4如圖 兩個(gè)圓輪的半徑分別為R1和R2 質(zhì)量分別為M1 M2 二者皆可視作均勻圓柱體且同軸固結(jié)在一起 可繞一水平固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng) 今在兩輪上繞有細(xì)繩 繩端分別掛上質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)物體 求在重力作用下 m2下落時(shí)輪的角加速度 解 向上為正 向下為正 對(duì)m1 m2 整個(gè)滑輪分別進(jìn)行受力分析 畫出示力圖 順時(shí)針為正 54 線角量關(guān)系 繩在輪上不打滑 方程組的解為 55 5 5一根均勻米尺 在60cm刻度處釘?shù)綁ι?且可以在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng) 先用手使米尺保持水平 然后釋放 求剛釋放時(shí)米尺的角加速度和米尺到豎直位置時(shí)的角加速度 解 設(shè)米尺總質(zhì)量為m 則直尺對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 對(duì)米尺 手剛釋放時(shí) 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 56 在米尺轉(zhuǎn)到豎直位置過(guò)程中 系統(tǒng) 尺 地球 機(jī)械能守恒 57 5 6坐在轉(zhuǎn)椅上的人手握啞鈴 兩臂伸直時(shí) 人 啞鈴和椅系統(tǒng)對(duì)豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1 2kg m2 在外人推動(dòng)后 此系統(tǒng)開始以n1 15r min轉(zhuǎn)動(dòng) 當(dāng)人兩臂收回時(shí) 使系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變?yōu)镴2 0 80kg m2 它的轉(zhuǎn)速n2是多大 解 兩臂收回過(guò)程中 系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒 什么力做了功 做功多少 設(shè)軸上摩擦忽略不計(jì) 由于兩臂收回過(guò)程中 人體受的沿豎直軸的外力矩為零 所以系統(tǒng)沿此軸的角動(dòng)量守恒 兩臂收回時(shí) 系統(tǒng)的內(nèi)力 臂力 做了功 所以系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒 臂力做的總功為 58 59 5 7如圖所示 均勻桿長(zhǎng)L 0 40m 質(zhì)量M 1 0kg 由其上端的光滑水平軸吊起而處于靜止 今有一質(zhì)量為m 8 0g的子彈以速度 200m s水平射入桿中而不復(fù)出 射入點(diǎn)在軸下d 3L 4處 1 求子彈停在桿中時(shí)桿的角速度 2 求桿的最大偏轉(zhuǎn)角 解 1 系統(tǒng) 桿 子彈 在碰撞過(guò)程中 合外力矩為0 因而系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒 在俯視圖中 選 為正方向 60 2 系統(tǒng) 桿 子彈 地球 上擺過(guò)程 只有重力 保守力 做功 系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 選桿豎直時(shí)勢(shì)能為零 61 5 8一轉(zhuǎn)臺(tái)繞豎直固定固定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 每轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間t 10s 轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J 1200kg m2 一質(zhì)量為M 80kg的人 開始站在轉(zhuǎn)臺(tái)中心 隨后沿半徑向外跑去 當(dāng)人離轉(zhuǎn)臺(tái)中心r 2m時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度多大 解 系統(tǒng) 人 轉(zhuǎn)臺(tái) 沒有受到沿軸的合外力矩作用 因而其角動(dòng)量守恒 即 由此可得轉(zhuǎn)臺(tái)后來(lái)的角速度