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上海交通大學(xué) 概率論第一 二章測驗題 大學(xué)數(shù)學(xué)教研室 童品苗 1 設(shè)袋中有50個乒乓球 其中20個是黃球 30個是白球 今有兩人依次隨機地從袋中各取一球 取后不放回 則第二人取得黃球的概率是 2 甲 乙兩人獨立地向一目標(biāo)各射擊 一次 其命中的概率分別為0 6和0 5 現(xiàn)已知目標(biāo)被射中 則它是被甲射中 的概率為 一 填空題 3 一袋中有N個球 其中一個是白球 其余全是黑球 現(xiàn)在每次從袋中取出 一個球 并放回一個黑球 這樣繼續(xù) 下去 則第k次取到黑球的概率為 4 隨機事件A與B相互獨立 若 且 則概率 5 已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為 則當(dāng)a 時 有 6 已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為 若隨機變量Y表示對 次數(shù) 則 7 設(shè)隨機變量X的分布律為 若已知 則 8 設(shè)隨機變量X的絕對值不大于1 且 則概率 分布 分布 若 則 10 一實習(xí)生用同一臺機器接連獨立地制 若第i個零件是不合 格品的概率為 表示3個零件中合格品的個數(shù) 以X 則 造了3個相同的零件 二 選擇題 1 將一枚硬幣獨立地擲兩次 引進事 件 則事件 2 設(shè)隨機事件A與B互不相容 且 則下列結(jié)論中 一定成立的是 3 當(dāng)隨機事件A與B同時發(fā)生時 事件C 發(fā)生 則下列各式中正確的是 4 設(shè)隨機事件A B C兩兩獨立 則A B C相互獨立的充分必要條件是 5 設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品 從中 任取二件 若所取二件中有一件是不合格 品 則另一件也是不合格品的概率為 且 為X的分布函數(shù) 則 對于任意實數(shù) 7 設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布 則隨機 8 設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布 對給定的 滿足 若 且 則概率 9 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為f x 對于任意實數(shù) 有 分布函數(shù)為F x 三 計算題 1 設(shè)10件產(chǎn)品中有5件一級品 3件二級 品 2件次品 無放回地抽取 每次取 品的概率 一件 求在取得二 級品之前 取得一級 2 已知甲 乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品 其 中甲箱中裝有3件合格品和3件次品 乙 箱中僅裝有3件合格 從甲箱中任取3件 產(chǎn)品放入乙箱后 試求 1 求乙箱中次品件數(shù)X的概率分布 2 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率 3 設(shè)隨機變量X的概率密度為 是X的分布函數(shù) 求隨機變量 的分布函數(shù) 4 設(shè)隨機變量X的概率密度為 對X獨立地重復(fù)觀察4次 用Y表示觀察 求Y的分布列 四 證明題 設(shè)隨機事件 且 不超過 解答 一 填空題 在古典概率中 第k次抽取 1 解 的概率與k無關(guān) 故從袋中取得黃球的 概率為 2 解 因目標(biāo)被射中 即表示至少 被甲射中的概率為 有一人射中了目標(biāo) 這時其概率為 3 解 第k次摸到白球的有利事件數(shù)為 若第k次摸到白球 則前k 1次都摸到了 黑球 只考慮前k次摸球 則樣本點總數(shù) 為 于是所求的概率為 代入前式得 4 解 聯(lián)立可解得 即 可解得 于是 5 解 6 解 因為 于是 即 因此 7 解 可得 由 于是 8 解 9 解 可得 于是 10 解 于是 則 1 解 由題設(shè)條件可知 試驗的樣本 因此 二 選擇題 空間為 或 兩兩相互獨立 因此 但 故應(yīng)選 C 由此可得 2 解 由于 但 故 從而 故選 C 3 解 由條件知 故有 于是 即 故應(yīng)選 B 4 解 故有 則有 若 由此可見 則可推得 相互獨立 只要 反之顯然成立 故應(yīng)選 A 5 解 所取二件產(chǎn)品中已知有一件是次 品的事件 相當(dāng)于 所取二件產(chǎn)品至少有 一件是次品的事件 則其樣本點數(shù)為 已知一件是次品 則另一件也是次品的事 件 相當(dāng)于二件都是次品 故樣本點為 于是所求概率為 故應(yīng)選 B 6 解 故應(yīng)選 B 可得 由 因此 從而 7 解 分布函數(shù) 由于X服從指數(shù)分布 因此 其分布函數(shù)為 對于隨機變量 從而有 故應(yīng)選 D 點x 2處間斷 這是因為 即 所以x 2為間斷點 而 故應(yīng)選 C 由題設(shè)條件可知 可知 因此 由 如右圖所示 8 解 故應(yīng)選 B 因為X是連續(xù)型隨機變量 故取 任何定值的概率均等于零 即 由正態(tài)分布的 10 解 對稱性可知 可立即推得 當(dāng) 故應(yīng)選 B 9 解 三 計算題 設(shè)A表示在取得二級品之前取得 級品 取得一級品 因此 1 解 一級品的事件 表示第一次取得次品第二次取得 一級品 為第一 二次取得次品第三次 隨機變量的可 由題設(shè)條件可知 2 能取值為 0 1 2 3 為 即 則 設(shè) 2 1 解 對于 易見 對于 有 因此 分布函數(shù)為 的分布函數(shù) 則 3 解 因此 有 由于 因此 即分布列為 4 解 由已知條件可得 因此有 從而證明了x的值不超過 四 證明題 即 謝謝大家 測驗結(jié)束 下節(jié)課再見 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教師劉志華