《黑龍江省虎林高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件 新人教A版選修45》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《黑龍江省虎林高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件 新人教A版選修45（20頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明不不等等式式第第四四講講 .,|sin|sin|:,., NnxnxxnNnnNnnnnnNnnnNnnnn11152200例如例如等式等式數(shù)多個(gè)正整數(shù)相關(guān)的不數(shù)多個(gè)正整數(shù)相關(guān)的不就出現(xiàn)了與無(wú)就出現(xiàn)了與無(wú)為表達(dá)這樣的關(guān)系為表達(dá)這樣的關(guān)系關(guān)系成立關(guān)系成立都有某種不等都有某種不等任意正整數(shù)任意正整數(shù)的的或不小于某個(gè)數(shù)或不小于某個(gè)數(shù)任意正整數(shù)任意正整數(shù)對(duì)于對(duì)于人們會(huì)遇到這樣的情況人們會(huì)遇到這樣的情況在數(shù)學(xué)研究中在數(shù)學(xué)研究中.,數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法方法方法用一種重要的數(shù)學(xué)推理用一種重要的數(shù)學(xué)推理我們將使我們將使式的證明式的證明這一講將討論這類不等這一講將討論這類不等數(shù)學(xué)歸納

2、法數(shù)學(xué)歸納法一一 .?, 97531753153131121531證明你的結(jié)論證明你的結(jié)論嗎嗎的結(jié)果的結(jié)果你能猜出你能猜出通過(guò)計(jì)算下面式子通過(guò)計(jì)算下面式子思考思考nn ?.:,怎樣證明它呢怎樣證明它呢由此猜想由此猜想別是別是上面四個(gè)式子的結(jié)果分上面四個(gè)式子的結(jié)果分nnnn11215315432 .,.,.:成證明成證明通過(guò)驗(yàn)證的方法無(wú)法完通過(guò)驗(yàn)證的方法無(wú)法完所以所以證證我們無(wú)法對(duì)它們一一驗(yàn)我們無(wú)法對(duì)它們一一驗(yàn)但是正整數(shù)是無(wú)限多個(gè)但是正整數(shù)是無(wú)限多個(gè)時(shí)這個(gè)等式成立時(shí)這個(gè)等式成立甚至甚至雖然我們可以驗(yàn)證雖然我們可以驗(yàn)證任何正整數(shù)時(shí)都成立任何正整數(shù)時(shí)都成立為為在在要證不等式要證不等式這個(gè)問(wèn)題的特點(diǎn)是

3、這個(gè)問(wèn)題的特點(diǎn)是分析分析 000100000154321nnn.,象象的的方方法法能能夠夠處處理理完完無(wú)無(wú)限限多多個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)就就驟驟必必須須尋尋找找一一種種有有限限個(gè)個(gè)步步要要證證明明這這個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題.,;,.,.都能全部倒下都能全部倒下不論有多少塊骨牌不論有多少塊骨牌后后最最塊骨牌倒下塊骨牌倒下就可導(dǎo)致第就可導(dǎo)致第塊骨牌倒下塊骨牌倒下而第而第塊骨牌倒下塊骨牌倒下就可導(dǎo)致第就可導(dǎo)致第塊骨牌倒下塊骨牌倒下由于第由于第塊骨牌塊骨牌只要推倒第只要推倒第這樣這樣骨牌倒下骨牌倒下則一定導(dǎo)致后一塊則一定導(dǎo)致后一塊若前一塊骨牌倒下若前一塊骨牌倒下骨牌骨牌兩塊兩塊碼放時(shí)保證任意相鄰的碼放時(shí)保證任意相鄰的放骨牌的

4、游戲放骨牌的游戲這是一種碼這是一種碼戲說(shuō)起戲說(shuō)起我們先從多米諾骨牌游我們先從多米諾骨牌游 32211:,件有兩個(gè)件有兩個(gè)使所有骨牌都倒下的條使所有骨牌都倒下的條可以看出可以看出 ;第一塊骨牌倒下第一塊骨牌倒下1 .,:,.,塊也倒下塊也倒下相鄰的第相鄰的第倒下時(shí)倒下時(shí)塊塊當(dāng)?shù)诋?dāng)?shù)谙迪凳聦?shí)上就是一個(gè)遞推關(guān)事實(shí)上就是一個(gè)遞推關(guān)條件條件其中其中倒下倒下一塊一塊前一塊倒下一定導(dǎo)致后前一塊倒下一定導(dǎo)致后任意相鄰的兩塊骨牌任意相鄰的兩塊骨牌122 kk .,倒倒下下以以全全部部那那么么所所有有的的骨骨牌牌一一定定可可成成立立只只要要保保證證21., 1321kk一一隊(duì)隊(duì)到到大大依依次次排排列列為為無(wú)無(wú)限限

5、長(zhǎng)長(zhǎng)由由小小我我們們?cè)O(shè)設(shè)想想將將全全部部正正整整數(shù)數(shù)類類比比多多米米諾諾骨骨牌牌游游戲戲 .,成成立立式式即即這這時(shí)時(shí)等等的的左左右右兩兩邊邊都都等等于于等等式式時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)可可以以驗(yàn)驗(yàn)證證 111n ., ,的的自自動(dòng)動(dòng)遞遞推推關(guān)關(guān)系系由由前前到到后后的的諾諾骨骨牌牌那那樣樣則則可可以以建建立立一一種種像像多多米米也也成成立立式式時(shí)時(shí)等等能能推推出出成成立立時(shí)時(shí)等等式式若若從從可可以以想想象象 12knkn :,這這個(gè)個(gè)等等式式的的方方法法就就自自然然地地想想到到一一種種證證明明綜綜合合21 ;成成立立時(shí)時(shí)等等式式首首先先證證明明 11 n .中中的的遞遞推推關(guān)關(guān)系系然然后后證證明明 2 .,:

6、,;,成成立立等等式式對(duì)對(duì)于于任任意意正正整整數(shù)數(shù)就就可可以以說(shuō)說(shuō)下下去去如如此此繼繼續(xù)續(xù)自自動(dòng)動(dòng)遞遞推推成成立立時(shí)時(shí)等等式式遞遞推推出出成成立立時(shí)時(shí)等等式式再再由由成成立立時(shí)時(shí)等等式式遞遞推推出出成成立立為為起起點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)等等式式就就可可由由完完成成以以上上兩兩步步后后 nnnnn3221 : 證明等式證明等式下面按照上述思路具體下面按照上述思路具體 .,成立時(shí)等式即這左右兩邊都等于式時(shí)當(dāng)證明 111n .,kkkknkk112153112 即成立時(shí)等式假設(shè)當(dāng) .,的左右兩邊時(shí)式再考慮在這個(gè)假設(shè)下 1kn .11211112112153111 kkkkkkkk左邊 11211 kkk 111

7、kk.右邊 .成立時(shí)等式所以當(dāng) 1kn . Nnnnnn1121531 可知由21 ,.:.,;,:,都成立都成立命題命題正整數(shù)正整數(shù)對(duì)于從起點(diǎn)向后的所有對(duì)于從起點(diǎn)向后的所有由這兩步保證由這兩步保證的遞推關(guān)系的遞推關(guān)系由前向后由前向后證明證明然后然后先作歸納假設(shè)先作歸納假設(shè)第二步第二步立的一個(gè)起點(diǎn)立的一個(gè)起點(diǎn)從而奠定了命題成從而奠定了命題成時(shí)命題成立時(shí)命題成立證明證明第一步第一步我們用了兩個(gè)步驟我們用了兩個(gè)步驟總結(jié)上述過(guò)程總結(jié)上述過(guò)程 Nnn1:,下兩個(gè)步驟下兩個(gè)步驟可以用以可以用以都成立時(shí)都成立時(shí)的所有正整數(shù)的所有正整數(shù)正整數(shù)正整數(shù)對(duì)于不小于某個(gè)對(duì)于不小于某個(gè)當(dāng)要證明一個(gè)命題當(dāng)要證明一個(gè)命題

8、一般地一般地nn0 ;時(shí)命題成立時(shí)命題成立證明當(dāng)證明當(dāng)01nn .,時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立證明證明時(shí)命題成立時(shí)命題成立且且假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)120 knnkNkkn .,inductionalmathematicn法稱為法稱為這種證明方這種證明方的所有正整數(shù)都成立的所有正整數(shù)都成立不小于不小于就可以斷定命題對(duì)于就可以斷定命題對(duì)于在完成這兩個(gè)步驟后在完成這兩個(gè)步驟后0數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法?,基本思想是什么基本思想是什么你認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法的你認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)合上面的證明結(jié)合上面的證明思考思考;,.,.,水水沒(méi)有它遞推就成無(wú)源之沒(méi)有它遞推就成無(wú)源之后面遞推的出發(fā)點(diǎn)后面遞推的出發(fā)點(diǎn)成為成為時(shí)命題成立時(shí)命題

9、成立第一步確定了第一步確定了可可缺一不缺一不這兩步都非常重要這兩步都非常重要二步是假設(shè)與遞推二步是假設(shè)與遞推第第第一步是奠基第一步是奠基驟中驟中在數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步在數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步00nnnn .,成證明成證明從而完從而完以后的每一個(gè)正整數(shù)以后的每一個(gè)正整數(shù)數(shù)無(wú)限傳遞到數(shù)無(wú)限傳遞到向后一個(gè)數(shù)一個(gè)向后一個(gè)數(shù)一個(gè)開始開始的范圍就能從正整數(shù)的范圍就能從正整數(shù)立立成成命題命題借助它借助它推關(guān)系推關(guān)系一種遞一種遞確認(rèn)確認(rèn)第二步第二步00nn.,基本原理基本原理以上就是數(shù)學(xué)歸納法的以上就是數(shù)學(xué)歸納法的握上握上的把的把在對(duì)有限情況在對(duì)有限情況沒(méi)有它我們就只能停留沒(méi)有它我們就只能停留的關(guān)鍵的關(guān)鍵限的飛躍限

10、的飛躍遞推是實(shí)現(xiàn)從有限到無(wú)遞推是實(shí)現(xiàn)從有限到無(wú)因此因此,.歸納法的基本過(guò)程下面的框圖表示了數(shù)學(xué) .,命題成立對(duì)所有的0nnNnn 奠基假設(shè)與遞推 .:時(shí)命題成立證明 Nnnn001 .,:時(shí)命題也成立則時(shí)命題成立若證明120 knnkkn.,?到到較較好好的的效效果果用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法可可能能會(huì)會(huì)收收的的方方法法證證明明如如果果不不易易用用以以前前學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)過(guò)過(guò)相相關(guān)關(guān)的的命命題題數(shù)數(shù)整整些些與與無(wú)無(wú)限限多多個(gè)個(gè)正正對(duì)對(duì)于于一一呢呢題題用用于于證證明明什什么么樣樣的的命命學(xué)學(xué)歸歸納納法法適適數(shù)數(shù)?,為為什什么么為為何何值值應(yīng)應(yīng)取取對(duì)對(duì)于于全全體體正正整整數(shù)數(shù)都都成成立立明明某某命命題題如如

11、果果要要用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證思思考考0n .:整除整除能被能被證明證明例例6512 Nnnn .,;,整除整除被被也能夠也能夠證明證明整除的前提下整除的前提下夠被夠被能能即在假設(shè)即在假設(shè)第二步應(yīng)明確目標(biāo)第二步應(yīng)明確目標(biāo)命題成立命題成立時(shí)時(shí)第一步應(yīng)證第一步應(yīng)證若用數(shù)學(xué)歸納法證明若用數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)正整數(shù)體體它涉及全它涉及全的命題的命題除有關(guān)除有關(guān)這是一個(gè)與整這是一個(gè)與整分析分析615165133 kkkkn .,命題成立整除顯然能夠被時(shí)當(dāng)證明65112nnn .,整除夠被能即命題成立時(shí)假設(shè)當(dāng)65123kkkkn 551331511233 kkkkkkkn,時(shí)當(dāng) 633523 kkkk

12、 . 61353 kkkk .,.,命題成立時(shí)當(dāng)因此整除能夠被即從而整除能夠被故是偶數(shù)而整除能夠被由假設(shè)知161516135613165333 knkkkkkkkkkkkk .,整除能夠被即命題對(duì)一切正整數(shù)成立知由65213 Nnnn.,牢牢記記在在心心的的目目標(biāo)標(biāo)證證明明把把要要注注意意使使用用歸歸納納假假設(shè)設(shè)在在證證明明歸歸納納遞遞推推時(shí)時(shí) .?,.,證證明明你你的的結(jié)結(jié)論論這這樣樣的的直直線線共共有有多多少少條條直直線線過(guò)過(guò)這這些些點(diǎn)點(diǎn)中中任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)作作都都不不在在同同一一條條直直線線上上其其中中任任意意三三點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)平平面面上上有有例例32 nNnn.:,猜猜想想成成立立然然后

13、后再再用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸法法證證明明歸歸納納出出一一個(gè)個(gè)猜猜想想形形中中可可以以先先從從有有限限個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)的的情情分分析析.,條的直線共有這樣個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)作直線過(guò)時(shí)當(dāng)解333 n.,.,.,條直線個(gè)點(diǎn)共有過(guò)因此條共有作直線中任意一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)過(guò)條直線有過(guò)點(diǎn)記它為個(gè)點(diǎn)共有時(shí)當(dāng)334334443213214321 PPPPPPPPPPPn,.,21432154321655PPPPPPPPPPPn過(guò)條直線的基礎(chǔ)上的在過(guò)點(diǎn)同前記它為個(gè)點(diǎn)共有時(shí)當(dāng) .,.,條直線個(gè)點(diǎn)共有過(guò)因此條共有作直線中任意一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)43354543 PPP .,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明條共有作直線中任意兩點(diǎn)任意三點(diǎn)不共線個(gè)點(diǎn)過(guò)我們猜想1211

14、433 nnnn .,命題成立由上述過(guò)程知時(shí)當(dāng)31 n .,)(,條這樣的直線共有中任意兩點(diǎn)作直線三點(diǎn)不共線任意個(gè)點(diǎn)即過(guò)命題成立時(shí)假設(shè)12132 kkkkkn .,.,;,),(,1112112121211211112111121121 kkkkkkkkkkkPkkkkPPPkPPPPkknkkkk的直線共有這樣個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)作直線過(guò)這因此條這樣的直線共有作直線個(gè)點(diǎn)意一點(diǎn)與第個(gè)點(diǎn)中任過(guò)這條這樣的直線共有線中任意兩點(diǎn)作直個(gè)點(diǎn)過(guò)三點(diǎn)不共線任意個(gè)點(diǎn)共有時(shí)當(dāng).時(shí)命題成立所以當(dāng)1 kn .,條線共有相應(yīng)的直個(gè)點(diǎn)對(duì)于可知由121321 nnnNnn?,作作用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法有有什什么么特特殊殊你你認(rèn)認(rèn)為為結(jié)結(jié)合合上上述述證證明明過(guò)過(guò)程程思思考考 .,躍躍到到無(wú)無(wú)限限的的飛飛實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)了了由由有有限限證證驗(yàn)驗(yàn)代代了了難難以以實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)的的無(wú)無(wú)限限取取推推遞遞奠奠基基和和它它用用有有限限的的步步驟驟有有力力工工具具個(gè)個(gè)正正整整數(shù)數(shù)相相關(guān)關(guān)的的命命題題的的與與無(wú)無(wú)限限多多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法是是證證明明一一些些21