2013年考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn) 同濟(jì)大學(xué)第五版 免費(fèi)
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1、2013年線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn) 同濟(jì)大學(xué)第五版 免費(fèi) 概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚,解法必須熟練,計(jì)算必須準(zhǔn)確 :全體維實(shí)向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間. √ 關(guān)于: ①稱為的標(biāo)準(zhǔn)基,中的自然基,單位坐標(biāo)向量; ②線性無(wú)關(guān); ③; ④; ⑤任意一個(gè)維向量都可以用線性表示. 行列式的定義 √ 行列式的計(jì)算: ①行列式按行(列)展開(kāi)定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和. 推論:行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. ②若都是方陣(不必同階),則(拉普拉斯展開(kāi)式) ③上三角、下
2、三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積. ④關(guān)于副對(duì)角線: (即:所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和) ⑤范德蒙德行列式: 矩陣的定義 由個(gè)數(shù)排成的行列的表稱為矩陣.記作:或 伴隨矩陣 ,為中各個(gè)元素的代數(shù)余子式. √ 逆矩陣的求法: ① : ② ③ √ 方陣的冪的性質(zhì): √ 設(shè)的列向量為,的列向量為, 則 ,為的解可由線性表示.即:的列向量能由的列向量線性表示,為系數(shù)矩陣. 同理:的行向量能由的行向量線性表示,為系數(shù)矩陣. 即: √ 用對(duì)角矩陣乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元
3、素依次乘此矩陣的向量; 用對(duì)角矩陣乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的向量. √ 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘. √ 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣: 分塊矩陣的逆矩陣: 分塊對(duì)角陣相乘:, 分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣: √ 矩陣方程的解法():設(shè)法化成 ① 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交. ② 單個(gè)零向量線性相關(guān);單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān). ③ 部分相關(guān),
4、整體必相關(guān);整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān). (向量個(gè)數(shù)變動(dòng)) ④ 原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān);接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān). (向量維數(shù)變動(dòng)) ⑤ 兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例;兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān). ⑥ 向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合. ⑦ 向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示. 向量組線性無(wú)關(guān)向量組中每一個(gè)向量都不能由其余個(gè)向量線性表示. ⑧ 維列向量組線性相關(guān); 維列向量組線性無(wú)關(guān). ⑨ 若線性無(wú)關(guān),而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩. 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行
5、的個(gè)數(shù). 行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線,線的下方全為;每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1,且這些非零元所在列的其他元素都是時(shí),稱為行最簡(jiǎn)形矩陣 ? 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系; 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系. 即:矩陣的初等變換不改變矩陣的秩. √ 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系: 對(duì)施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘; 對(duì)施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘. 矩陣的秩 如果矩陣存在不為零的階子式,且任意
6、階子式均為零,則稱矩陣的秩為.記作 向量組的秩 向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù),稱為這個(gè)向量組的秩.記作 矩陣等價(jià) 經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為. 記作: 向量組等價(jià) 和可以相互線性表示. 記作: ? 矩陣與等價(jià),可逆作為向量組等價(jià),即:秩相等的向量組不一定等價(jià). 矩陣與作為向量組等價(jià) 矩陣與等價(jià). ? 向量組可由向量組線性表示有解≤. ? 向量組可由向量組線性表示,且,則線性相關(guān). 向量組線性無(wú)關(guān),且可由線性表示,則≤. ? 向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價(jià); ? 任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià). ? 向量組的極大無(wú)關(guān)
7、組不唯一,但極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定. ? 若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等. ? 設(shè)是矩陣,若,的行向量線性無(wú)關(guān); 若,的列向量線性無(wú)關(guān),即:線性無(wú)關(guān). √ 矩陣的秩的性質(zhì): ①≥ ≤≤ ② ③ ④ ⑤≤ ⑥ 即:可逆矩陣不影響矩陣的秩. ⑦若; 若 ⑧等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型. ⑨≤ ≤≤ ⑩ :
8、 線性方程組的矩陣式 向量式 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì): 矩陣可逆的性質(zhì): 伴隨矩陣的性質(zhì): (無(wú)條件恒成立) 線性方程組解的性質(zhì): √ 設(shè)為矩陣,若一定有解, 當(dāng)時(shí),一定不是唯一解,則該向量組線性相關(guān). 是
9、的上限. √ 判斷是的基礎(chǔ)解系的條件: ① 線性無(wú)關(guān); ② 都是的解; ③ . √ 一個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一. √ 若是的一個(gè)解,是的一個(gè)解線性無(wú)關(guān) √ 與同解(列向量個(gè)數(shù)相同),則: ① 它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等; ② 它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性; ③ 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. √ 兩個(gè)齊次線性線性方程組與同解. √ 兩個(gè)非齊次線性方程組與都有解,并且同解. √ 矩陣與的行向量組等價(jià)齊次方程組與同解(左乘可逆矩陣); 矩陣與的列向量組等價(jià)(右乘可逆矩陣).
10、 √ 關(guān)于公共解的三中處理辦法: ① 把(I)與(II)聯(lián)立起來(lái)求解; ② 通過(guò)(I)與(II)各自的通解,找出公共解; 當(dāng)(I)與(II)都是齊次線性方程組時(shí),設(shè)是(I)的基礎(chǔ)解系, 是(II)的基礎(chǔ)解系,則 (I)與(II)有公共解基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)少的通解可由另一個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系線性表示. 即: 當(dāng)(I)與(II)都是非齊次線性方程組時(shí),設(shè)是(I)的通解,是(II)的通解,兩方程組有公共解可由線性表示. 即: ③ 設(shè)(I)的通解已知,把該通解代入(II)中,找出(I)的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿足(II)的關(guān)系式而求出公共解。 標(biāo)準(zhǔn)正交基 個(gè)維線性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量
11、長(zhǎng)度為1. 向量與的內(nèi)積 . 記為: 向量的長(zhǎng)度 是單位向量 . 即長(zhǎng)度為的向量. √ 內(nèi)積的性質(zhì): ① 正定性: ② 對(duì)稱性: ③ 雙線性: 的特征矩陣 . 的特征多項(xiàng)式 . √ 是矩陣的特征多項(xiàng)式 的特征方程 . √ ,稱為矩陣的跡. √ 上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的各元素. √ 若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量. √ 一定可分解為=、,從而的特征值
12、為:, . 為各行的公比,為各列的公比. √ 若的全部特征值,是多項(xiàng)式,則: ① 若滿足的任何一個(gè)特征值必滿足 ②的全部特征值為;. √ 初等矩陣的性質(zhì): √ 設(shè),對(duì)階矩陣規(guī)定:為的一個(gè)多項(xiàng)式. √ √ √ 的特征向量不一定是的特征向量. √ 與有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 與相似 (為可逆矩陣) 記為: 與正交相似 (為正交矩陣) 可以相似對(duì)角化 與對(duì)角陣相似. 記為: (稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)形) √ 可相似對(duì)角化 為的重?cái)?shù)恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的
13、特征向量. 這時(shí),為的特征向量拼成的矩陣,為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為的特征值.設(shè)為對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)的特征向量,則有: . :當(dāng)為的重的特征值時(shí),可相似對(duì)角化的重?cái)?shù) 基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù). √ 若階矩陣有個(gè)互異的特征值可相似對(duì)角化. √ 若可相似對(duì)角化,則其非零特征值的個(gè)數(shù)(重根重復(fù)計(jì)算). √ 若=, √ 相似矩陣的性質(zhì): ①,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量. ② ③ 從而同時(shí)可逆或不可逆 ④ ⑤; (若均可逆); ⑥ (為整數(shù));, ⑦ 前四個(gè)都是必要條件.
14、 √ 數(shù)量矩陣只與自己相似. √ 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì): ① 特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量; ② 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必定正交; :對(duì)于普通方陣,不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān); ③一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 若有重的特征值,該特征值的重?cái)?shù)=; ④必可用正交矩陣相似對(duì)角化,即:任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形; ⑤與對(duì)角矩陣合同,即:任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形; ⑥兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣相似有相同的特征值. 正交矩陣 √ 為正交矩陣的個(gè)行(列)向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. √ 正交矩陣的性質(zhì):① ; ② ; ③ 正交陣的行列式等于1或-1;
15、 ④ 是正交陣,則,也是正交陣; ⑤ 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣; ⑥ 的行(列)向量都是單位正交向量組. 二次型 ,即為對(duì)稱矩陣, 與合同 . 記作: () 正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù) 負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù) 符號(hào)差 (為二次型的秩) √ 兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. √ 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是: √ 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是: √ 經(jīng)過(guò)化為標(biāo)準(zhǔn)形. √ 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的,與所作的正交變換有關(guān),但非零系數(shù)的個(gè)數(shù)是由 唯一確定的. √ 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)為-1或0或1時(shí),
16、稱為二次型的規(guī)范形 . √ 實(shí)對(duì)稱矩陣的正(負(fù))慣性指數(shù)等于它的正(負(fù))特征值的個(gè)數(shù). √ 慣性定理:任一實(shí)對(duì)稱矩陣與唯一對(duì)角陣合同. √ 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形: ① 求出的特征值、特征向量; ② 對(duì)個(gè)特征向量正交規(guī)范化; ③ 構(gòu)造(正交矩陣),作變換,則新的二次型為,的主對(duì)角上的元素即為的特征值. 施密特正交規(guī)范化 線性無(wú)關(guān), 單位化: 技巧:取正交的基礎(chǔ)解系,跳過(guò)施密特正交化。讓第二個(gè)解向量先與第一個(gè)解向量正交,再把第二個(gè)解向量
17、代入方程,確定其自由變量. 例如:取,. 正定二次型 不全為零,. 正定矩陣 正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣. √ 為正定二次型(之一成立): ① ,; ② 的特征值全大于; ③ 的正慣性指數(shù)為; ④ 的所有順序主子式全大于; ⑤ 與合同,即存在可逆矩陣使得; ⑥ 存在可逆矩陣,使得; ⑦ 存在正交矩陣,使得 (大于). √ 合同變換不改變二次型的正定性. √ 為正定矩陣 ; . √ 為正定矩陣也是正定矩陣. √ 與合同,若為正定矩陣為正定矩陣 √ 為正定矩陣為正定矩陣,但不一定為正定矩陣. 行列式中出現(xiàn)的公式和要熟記的結(jié)論 1、行列
18、式 1. 行列式共有個(gè)元素,展開(kāi)后有項(xiàng),可分解為行列式; 2. 代數(shù)余子式的性質(zhì): ①、和的大小無(wú)關(guān); ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0; ③、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為; 3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系: 4. 設(shè)行列式: 將上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn),所得行列式為,則; 將順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),所得行列式為,則; 將主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置),所得行列式為,則; 將主副角線翻轉(zhuǎn)后,所得行列式為,則; 5. 行列式的重要公式: ①、主對(duì)角行列式:主對(duì)角元素的乘積; ②、副對(duì)角行列式:副對(duì)角元素的乘積; ③、上、下三角行列式():
19、主對(duì)角元素的乘積; ④、和:副對(duì)角元素的乘積; ⑤、拉普拉斯展開(kāi)式:、 ⑥、范德蒙行列式:大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積; ⑦、特征值; 6. 對(duì)于階行列式,恒有:,其中為階主子式; 7. 證明的方法: ①、; ②、反證法; ③、構(gòu)造齊次方程組,證明其有非零解; ④、利用秩,證明; ⑤、證明0是其特征值; 2、矩陣 1. 是階可逆矩陣: (是非奇異矩陣); (是滿秩矩陣) 的行(列)向量組線性無(wú)關(guān); 齊次方程組有非零解; ,總有唯一解; 與等價(jià); 可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積; 的特征值全不為0; 是正定矩陣; 的行(列)向量組是的一組基; 是中某兩組基
20、的過(guò)渡矩陣; 2. 對(duì)于階矩陣: 無(wú)條件恒成立; 3. 4. 矩陣是表格,推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭;行列式是數(shù)值,可求代數(shù)和; 5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論,其中均、可逆: 若,則: Ⅰ、; Ⅱ、; ②、;(主對(duì)角分塊) ③、;(副對(duì)角分塊) ④、;(拉普拉斯) ⑤、;(拉普拉斯) 3、矩陣的初等變換與線性方程組 1. 一個(gè)矩陣,總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形,其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的:; 等價(jià)類:所有與等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合,稱為一個(gè)等價(jià)類;標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣; 對(duì)于同型矩陣、,若; 2. 行最簡(jiǎn)形矩陣: ①、只能通過(guò)初等行變換獲得; ②、每行首個(gè)非0
21、元素必須為1; ③、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為0; 3. 初等行變換的應(yīng)用:(初等列變換類似,或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換) 若,則可逆,且; ②、對(duì)矩陣做初等行變化,當(dāng)變?yōu)闀r(shí),就變成,即:; ③、求解線形方程組:對(duì)于個(gè)未知數(shù)個(gè)方程,如果,則可逆,且; 4. 初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念: ①、初等矩陣是行變換還是列變換,由其位置決定:左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣; ②、,左乘矩陣,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素; ③、對(duì)調(diào)兩行或兩列,符號(hào),且,例如:; ④、倍乘某行或某列,符號(hào),且,例如:; ⑤、倍加某行或某列,符號(hào),且,如:; 5. 矩陣秩的基本性質(zhì):
22、 ①、; ②、; ③、若,則; ④、若、可逆,則;(可逆矩陣不影響矩陣的秩) ⑤、;(※) ⑥、;(※) ⑦、;(※) ⑧、如果是矩陣,是矩陣,且,則:(※) Ⅰ、的列向量全部是齊次方程組解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論); Ⅱ、 ⑨、若、均為階方陣,則; 6. 三種特殊矩陣的方冪: ①、秩為1的矩陣:一定可以分解為列矩陣(向量)行矩陣(向量)的形式,再采用結(jié)合律; ②、型如的矩陣:利用二項(xiàng)展開(kāi)式; 二項(xiàng)展開(kāi)式:; 注:Ⅰ、展開(kāi)后有項(xiàng); Ⅱ、 Ⅲ、組合的性質(zhì):; ③、利用特征值和相似對(duì)角化: 7. 伴隨矩陣: ①、伴隨矩陣的秩:; ②、伴隨矩陣的特征值:;
23、 ③、、 8. 關(guān)于矩陣秩的描述: ①、,中有階子式不為0,階子式全部為0;(兩句話) ②、,中有階子式全部為0; ③、,中有階子式不為0; 9. 線性方程組:,其中為矩陣,則: ①、與方程的個(gè)數(shù)相同,即方程組有個(gè)方程; ②、與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同,方程組為元方程; 10. 線性方程組的求解: ①、對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換(只能使用初等行變換); ②、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解; ③、特解:自由變量賦初值后求得; 11. 由個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組構(gòu)成元線性方程: ①、; ②、(向量方程,為矩陣,個(gè)方程,個(gè)未知數(shù)) ③、(全部按列分塊,其中); ④、(線性表出
24、) ⑤、有解的充要條件:(為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)) 4、向量組的線性相關(guān)性 1. 個(gè)維列向量所組成的向量組:構(gòu)成矩陣; 個(gè)維行向量所組成的向量組:構(gòu)成矩陣; 含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng); 2. ①、向量組的線性相關(guān)、無(wú)關(guān) 有、無(wú)非零解;(齊次線性方程組) ②、向量的線性表出 是否有解;(線性方程組) ③、向量組的相互線性表示 是否有解;(矩陣方程) 3. 矩陣與行向量組等價(jià)的充分必要條件是:齊次方程組和同解;(例14) 4. ;(例15) 5. 維向量線性相關(guān)的幾何意義: ①、線性相關(guān) ; ②、線性相關(guān) 坐標(biāo)成比例或共線(平行); ③、線性相關(guān) 共
25、面; 6. 線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的兩套定理: 若線性相關(guān),則必線性相關(guān); 若線性無(wú)關(guān),則必線性無(wú)關(guān);(向量的個(gè)數(shù)加加減減,二者為對(duì)偶) 若維向量組的每個(gè)向量上添上個(gè)分量,構(gòu)成維向量組: 若線性無(wú)關(guān),則也線性無(wú)關(guān);反之若線性相關(guān),則也線性相關(guān);(向量組的維數(shù)加加減減) 簡(jiǎn)言之:無(wú)關(guān)組延長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān),反之,不確定; 7. 向量組(個(gè)數(shù)為)能由向量組(個(gè)數(shù)為)線性表示,且線性無(wú)關(guān),則(二版定理7); 向量組能由向量組線性表示,則;(定理3) 向量組能由向量組線性表示 有解; (定理2) 向量組能由向量組等價(jià)(定理2推論) 8. 方陣可逆存在有限個(gè)初等矩陣,使; ①、矩陣行等
26、價(jià):(左乘,可逆)與同解 ②、矩陣列等價(jià):(右乘,可逆); ③、矩陣等價(jià):(、可逆); 9. 對(duì)于矩陣與: ①、若與行等價(jià),則與的行秩相等; ②、若與行等價(jià),則與同解,且與的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性; ③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩; ④、矩陣的行秩等于列秩; 10. 若,則: ①、的列向量組能由的列向量組線性表示,為系數(shù)矩陣; ②、的行向量組能由的行向量組線性表示,為系數(shù)矩陣;(轉(zhuǎn)置) 11. 齊次方程組的解一定是的解,考試中可以直接作為定理使用,而無(wú)需證明; ①、 只有零解只有零解; ②、 有非零解一定存在非零解; 12. 設(shè)向量組可由向量組線性
27、表示為:(題19結(jié)論) () 其中為,且線性無(wú)關(guān),則組線性無(wú)關(guān);(與的列向量組具有相同線性相關(guān)性) (必要性:;充分性:反證法) 注:當(dāng)時(shí),為方陣,可當(dāng)作定理使用; 13. ①、對(duì)矩陣,存在, 、的列向量線性無(wú)關(guān);() ②、對(duì)矩陣,存在, 、的行向量線性無(wú)關(guān); 14. 線性相關(guān) 存在一組不全為0的數(shù),使得成立;(定義) 有非零解,即有非零解; ,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù); 15. 設(shè)的矩陣的秩為,則元齊次線性方程組的解集的秩為:; 16. 若為的一個(gè)解,為的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則線性無(wú)關(guān);(題33結(jié)論) 5、相似矩陣和二次型 1. 正交矩陣或(定義),性質(zhì): ①
28、、的列向量都是單位向量,且兩兩正交,即; ②、若為正交矩陣,則也為正交陣,且; ③、若、正交陣,則也是正交陣; 注意:求解正交陣,千萬(wàn)不要忘記施密特正交化和單位化; 2. 施密特正交化: ; ; 3. 對(duì)于普通方陣,不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān); 對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣,不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交; 4. ①、與等價(jià) 經(jīng)過(guò)初等變換得到; ,、可逆; ,、同型; ②、與合同 ,其中可逆; 與有相同的正、負(fù)慣性指數(shù); ③、與相似 ; 5. 相似一定合同、合同未必相似; 若為正交矩陣,則,(合同、相似的約束條件不同,相似的更嚴(yán)格); 6. 為對(duì)稱陣,則為二次型矩陣; 7. 元二次型為正定: 的正慣性指數(shù)為; 與合同,即存在可逆矩陣,使; 的所有特征值均為正數(shù); 的各階順序主子式均大于0; ;(必要條件) 29
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