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1、應(yīng)變狀態(tài)理論 0、復(fù)習(xí) 1. 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：（凡提到應(yīng)力，跟過某點(diǎn)的微分面有關(guān)） 2. 平衡方程是彈性體內(nèi)部微元體的平衡： 3. 邊界條件是彈性體邊界部分的內(nèi)應(yīng)力與外力的平衡； 4. 坐標(biāo)、投影、點(diǎn)積、夾角的余弦基矢量等概念的內(nèi)在聯(lián)系； 5. 二階張量不是矩陣；一階張量不是列陣；（在笛卡爾坐標(biāo)下，表現(xiàn)形式是矩陣、列陣）一、位移的描述（拉格朗日描述與歐拉描述） 變形前，建立一個(gè)物質(zhì)坐標(biāo)系O"皿，描述質(zhì)點(diǎn)P；變形后，建立一個(gè)空間坐標(biāo)系 兩個(gè)坐標(biāo)系是重合的。 變形前 變形后 構(gòu)型 B B' 質(zhì)點(diǎn) 。（也，工2，毛） 在這一變形過程中，變形矢量斤的

2、分量為”|,綸，"3，且有 u2=x2-a2（0.1）=工3 變形的拉格朗日描述包括兩點(diǎn)： 1. 將變形后的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)看成變形前質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)；(0.2) 2. 變形位移看成變形前質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù): %y=a、N時(shí)，只有形狀改變，無轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)axyayz時(shí)，有轉(zhuǎn)動(dòng)。但是只要a+avz不變,乙，就不變。換句話說：僅用剪應(yīng)變, 乙，就不變。換句話說：僅用剪應(yīng)變, 不能完全刻畫變形，還要考慮轉(zhuǎn)動(dòng)的情況。 通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點(diǎn)的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移之間的關(guān)系。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)通過轉(zhuǎn)動(dòng)分量描述。 剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移的物理意義：如果彈性體內(nèi)某點(diǎn)沒有變形，則

3、無限鄰近它的任意一點(diǎn)的位移由兩部分組成，平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移。如果發(fā)生變形，位移中還包括純變形位移。 1、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移 應(yīng)變可以描述一點(diǎn)的變形，即對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不足以完全描述彈性體的變形，原因是應(yīng)變分析僅僅討論了棱邊伸長和夾角變化，而沒有考慮微分單元體位置的改變，即單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。 通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點(diǎn)的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移之間的關(guān)系。 設(shè)P點(diǎn)無限鄰近。點(diǎn)，P點(diǎn)及其附近區(qū)域繞0作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過微小角度。 設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)矢量為c，OP之間的距離矢量為p,如圖所示。 co=o）xk p=xi+yj-\-

4、zk引入哈密頓算子（那勃勒算子） dxdydz2、轉(zhuǎn)動(dòng)位移分量 設(shè)P點(diǎn)的位移矢量為U,有U-ui+uj+uk 由于位移矢量可以表示為U*xp,xU xU 并且，萬是。的旋度的Ld>=-V22 dxdz) OUcvv dzdx dvou fdwdv 3dy) 13、 1 0=~~2 注意：這里的系數(shù)與吳家龍教材P35不一致，但是不影響其正確性。（都是正確的！）妊，袱，好為轉(zhuǎn)動(dòng)分量，是坐標(biāo)的函數(shù)，表示了彈性體內(nèi)微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。 2、純變形位移與轉(zhuǎn)動(dòng)位移 設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y,z）,位移（〃，y,vr）o與M點(diǎn)鄰近的N點(diǎn)，坐標(biāo)為（x+dr,y+dy,z+

5、dz）,位移為（w+dw,v+dv,hh-cIhOo 則枷兩點(diǎn)的相對位移為（d/Gdv,dvv）o因?yàn)槲灰茷樽鴺?biāo)的函數(shù)，所以 -duttdut.du.dw=——dx+—dy+——dzdxdydz =準(zhǔn)+絲W+J竺+絲)也二(即- dx2dxdy2dxdz2dx 同理可得dv=+—/^dx+—/xdz-^dz+ 22dw=szdz+—y}Sdx+—y)Bdy-a)ydx+必曲 22 以上位移增量公式中，前三項(xiàng)為產(chǎn)生變形的純變形位移，后兩項(xiàng)是某點(diǎn)鄰近區(qū)域的材料繞該點(diǎn)像剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移。 剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移的物理意義為，如果彈性體中某點(diǎn)及鄰近區(qū)域沒有變形，則與某點(diǎn)無限鄰近這一

6、點(diǎn)的位移，根據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)可知，是由兩部分組成。分別是隨這點(diǎn)的平動(dòng)位移和繞這點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)位移。對于彈性體中某一點(diǎn)，一般還要發(fā)生變形,因此位移中還包括純變形位移。 3、位移的分解 總得來講，與M點(diǎn)無限鄰近的N點(diǎn)的位移由三部分組成的: 1、隨同M點(diǎn)作平動(dòng)位移。 2、繞M點(diǎn)作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)在N點(diǎn)產(chǎn)生的位移。 3、由于M點(diǎn)及其鄰近區(qū)域的變形在N點(diǎn)引起的位移。 轉(zhuǎn)動(dòng)分量0“少”口，對于微分單元體，描述的是剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，但其對于整個(gè)彈性體來講，仍屬于變形的一部分。三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量和六個(gè)應(yīng)變分量合在一起，不僅確定了微分單元體形狀的變化，而且確定了方位的變化。 位移增量公式如果使用矩陣形式表示，可得血 d

7、vdw 顯然，位移的增量是由兩部分組成的，一部分是轉(zhuǎn)動(dòng)分量引起的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移，另一部分是應(yīng)變分量引起的變形位移增量。 五、轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)變分量的變換（符合張量的變換規(guī)律）吳家龍教材P37學(xué)習(xí)思路： 復(fù)習(xí)：什么是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？（與點(diǎn)和微分面有關(guān)） 與應(yīng)力狀態(tài)分析相同，一點(diǎn)的應(yīng)變分量在不同坐標(biāo)系下的描述是不相同的，因此討論應(yīng)變狀態(tài)，就必須建立坐標(biāo)變換，就是坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)變分量變換關(guān)系。 本節(jié)通過新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系之間的位移變換關(guān)系式，根據(jù)幾何方程，通過復(fù)合函數(shù)的微分，就可以得到應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式。 轉(zhuǎn)軸公式表明應(yīng)變張量也是二階對稱張量。 根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，一點(diǎn)的六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量一旦確定，則

8、任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定，即應(yīng)變狀態(tài)完全確定。 應(yīng)變狀態(tài)分析表明：坐標(biāo)變換后各個(gè)應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但是作為一個(gè)整體，一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不會(huì)改變的。 1、坐標(biāo)變換 本節(jié)將討論不同坐標(biāo)系下一點(diǎn)的應(yīng)變分量的關(guān)系。與坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸時(shí)的應(yīng)力分量的變換一樣，我們將建立應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸的變換公式，即已知礦:/在舊坐標(biāo)系中的分量，求其在新坐標(biāo)系中的各分量幻7。 根據(jù)幾何方程，坐標(biāo)平動(dòng)將不會(huì)影響應(yīng)變分量。因此只需坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)變分量變換關(guān)系，設(shè)新坐標(biāo)系QxVz，是舊坐標(biāo)系O.^z經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)得到的，如圖所 新舊坐標(biāo)軸之間的夾角的方向余弦為 xyzx'Zj勺y'以2 z'l3nz設(shè)變形前的A/點(diǎn)，變形后移

9、至點(diǎn)，設(shè)其位移矢量MM*=t/,則S二必+即+川丘二必，+v'J'+w'k' 2、應(yīng)變分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸公式 所以，新坐標(biāo)系的位移分量為 /=5■/r=td1+g] v'C，z'）=S?

10、 3二辨2勺+2代3,+2時(shí)疙+（饑+頃1）4+（"2+用2而乙+（部2+以）心%=2/加+2嗎處弓+2〃必3烏+但沈3+頃2）匕+（5+演3%）乙+（源3+以成皿，=+2叫也由+2奶電+（頃1+饑3）均+（5+叫角），繆+W1+部3成3、應(yīng)變張量 如果以nij（/,>1,2,3）表示新舊坐標(biāo)系之間的夾角的方向余弦，并注意到應(yīng)變張量表達(dá)式，則上述應(yīng)變分量變換公式可以寫作因此，如果將應(yīng)變分量寫作下列形式 1 i 2r^ 2rx 1 弓 2r>e 1 勺，12公。21&勺3 %與2#33. 則應(yīng)變分量滿足張量變換關(guān)系。 與應(yīng)力張量相同，

11、應(yīng)變張量也是二階對稱張量。 由公式可知，一點(diǎn)的六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定，即一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)就完全確定了。不難理解，坐標(biāo)變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但它們作為一個(gè)整體，所描述的一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不會(huì)改變的。 六、主應(yīng)變應(yīng)變張量不變量學(xué)習(xí)思路： 應(yīng)變狀態(tài)分析需要確定一點(diǎn)的最大正應(yīng)變及其方位，就是確定主應(yīng)變和主平Elo 對于任意一點(diǎn)，至少有三個(gè)垂直方向，在該方向僅有正應(yīng)變而切應(yīng)變?yōu)榱?。具有該性質(zhì)的方向，稱為應(yīng)變主軸或應(yīng)變主方向，該方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。 本節(jié)根據(jù)位移增量與應(yīng)變分量以及主應(yīng)變的關(guān)系，推導(dǎo)求解主應(yīng)變及其方向余弦的齊次方程組。根據(jù)齊次方程組非零解

12、的條件，可以確定關(guān)于求解主應(yīng)力的應(yīng)變狀態(tài)特征方程。 根據(jù)特征方程，可以確定三個(gè)主應(yīng)變。如果將主應(yīng)變回代齊次方程組，并且注意到任意截面的三個(gè)方向余弦的平方和等于1,則可解應(yīng)變主軸的方向余弦。 根據(jù)特征方程和應(yīng)變不變量可知，主應(yīng)變和應(yīng)變主軸的特性與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是類似的。 1、位移微分表達(dá)式 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)變分量，即應(yīng)變張量隨著坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)而改變。因此是否可以像應(yīng)力張量一樣，對于某一個(gè)確定點(diǎn)，在某個(gè)坐標(biāo)系下所有的切應(yīng)變分量都為零，僅有正應(yīng)變分量不等于零。即能否找到三個(gè)相互垂直的方向，在這三個(gè)方向上的微分線段在物體變形后只是各自改變長度，而其夾角仍為直角。答案是肯定的。 在任何應(yīng)

13、變狀態(tài)下，至少可以找到三個(gè)這樣的垂直方向，在該方向僅有正應(yīng)變而切應(yīng)變?yōu)榱恪? 具有該性質(zhì)的方向，稱為應(yīng)變主軸或應(yīng)變主方向，該方向的應(yīng)變稱為主應(yīng)變。 設(shè)們：/為物體內(nèi)某點(diǎn)在已知坐標(biāo)系的應(yīng)變張量，求其主應(yīng)變&,&及應(yīng)變主軸方向川,〃2,〃3。設(shè)MN為M點(diǎn)的主軸之一，其變形前的方向余弦為I,m,〃，主應(yīng)變?yōu)椤?。令dp表示MN的長度，則相對伸長為￡dp,如圖所示 設(shè)材點(diǎn)的位移為(?,v,vv),則N點(diǎn)的位移為(w+du,v+dv,w+dw)o因?yàn)? d"二在x方向的變形位移分量+剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在x方向的分量 =￡/dp+剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在工方向的分量 2、主應(yīng)變齊次方程組即d“等于純變形位移與

14、剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在X方向的分量之和。根據(jù)上述公式，可得 根據(jù)公式 血=勺故+?4少+?匕也_弓中+%也 或者寫作 /.11c （弓_時(shí)/+）7裕沈+了/*刀二0 同理可得 必+（弓++：/>"=0 1,1,、--rJ+-r^^+（^_8）〃=o 上述公式是關(guān)于/,〃?，〃的齊次線性方程組。 3、主應(yīng)變特征方程與不變量 對于/,,〃，〃的齊次線性方程組，其非零解的條件為其系數(shù)行列式的值為零。即11 "5云4 將上式展開，可得主應(yīng)變特征方程，#-+偵-J3=0 其中Ji=&=勺+勺+% %二與弓+^^+^--（7^+什+/￡） J3=|&| 顯然與應(yīng)力不變量相

15、同，Jl,J2,/3為應(yīng)變不變量，分別稱為第一，第二和第三應(yīng)變不變量。 根據(jù)特征方程，可以求解得到三個(gè)主應(yīng)變。將求解后的主應(yīng)變代入公式，并注意到任意一點(diǎn)三個(gè)方向余弦的平方和等于1,則可解應(yīng)變主軸的方向余弦。 由應(yīng)力張量和應(yīng)變張量，應(yīng)力不變量和應(yīng)變不變量之間的公式的比較可知,主應(yīng)變和應(yīng)變主軸的特性與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是類似的。 七、體積應(yīng)變（略，自學(xué)）體積應(yīng)變等于零的位移模式，稱之為等容位移；（等容波） 微元體剛性小轉(zhuǎn)動(dòng)等于零的位移模式，稱之為無旋位移；（無旋波） 八、有限變形情況下的應(yīng)變一一格林應(yīng)變（拉格朗日應(yīng)變）和阿爾曼西應(yīng)變（歐拉應(yīng)變） 什么是有限變形：位移分量及其偏導(dǎo)數(shù)不是很小

16、的量。 1、格林應(yīng)變張量變形前的微三角形△PQR,變形后仍然為微三角形八P0RL微三角形的邊長（線素）的改變即可確定其大小和形狀的改變，但三角形整體位置的改變就不能由各邊自身的變化來確定?？梢?，分析三角形任意兩點(diǎn)間距離的變化是分析變形的關(guān)鍵。 變形前的微三角形△PQR,變形后仍然為微三角形八P0RL微三角形的邊長（線素）的改變即可確定其大小和形狀的改變，但三角形整體位置的改變就不能由各邊自身的變化來確定?？梢?，分析三角形任意兩點(diǎn)間距離的變化是分析變形的關(guān)鍵。 變形前 變形后 構(gòu)型 B B' 質(zhì)點(diǎn) 尸（*2,《） P'（X],易，七） Q(q+da},a2+da2,

17、a3+do；) Q'(再+dr〕，Jr?+dr2,x3+dr,) 如果采用拉格朗日描述方法，那么有 (0.5) (《) (0.6) 變形前線元P。的長度為ds°,變形后線元P'。'的長度為ds,那么有 (d?0)2=(也［)2+(陰)2+(皿尸=dqdq=3ijdaj6aj (0.7) (ds)2=(dVj)2+(dv2)2+(dx5)2=dv.dx; (0.8) 將式（0.6）代入式（0.8）,有 (0.9)  那么線元長度改變的平方差為(0.10) (0.10) (d5)2-(d50)2= 定義格林應(yīng)變張量為(同樣的方法，采用歐拉描述，可以推導(dǎo)阿

18、爾曼西Almansi張量，見參考文獻(xiàn)5或者參考文獻(xiàn)2)2、格林應(yīng)變的物理意義 2、格林應(yīng)變的物理意義 E’j ~2oa.da-iJ \?J A.用格林應(yīng)變表示線元的伸長度 假設(shè)取線元 *=也1弓+()勺+(胳 也就是說 (曲)2=伽)2 da2=0d《=() (0.⑵ (0.13) (0.14) (0.15) P的坐標(biāo)為(也，工2，毛)，R'的坐標(biāo)為(凡+山卜易+汁弓，毛+也)，根據(jù)式。6)，并考慮 到式(0.15),此時(shí)有 虬與d%(0.16) ca, 再將式(0.15)代入式(0.10),并考慮到式(0.14) (ds)、(dsJ』畢尹_1=2E

19、n(dq尸=2柘(d%尸(0.17) koa\°%7 d$=|P'Rl=Jl+2%ds°=Jl+2E“d"i(0.18) 「是，線元的相對伸長度為 E[=氣擊。=Jl+2E]i-1(0.19) 備。 可見林與線元的相對伸長度有關(guān)，在小變形時(shí)，有環(huán)《1,由Taylor展開，并略去高次項(xiàng), (0.3) (0.3) z/,.=X.(67),a2-q 另外，變形后不會(huì)出現(xiàn)開裂或者重疊，那么光和《之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，因而式(0.2) 的雅可比行列式不等于零. da. dx}daxdx2da}ox3cax dx} da2 da2dxyda2 daydx2caydx

20、yday (0.4) 二、彈性體變形程度的表征一一應(yīng)變；什么是應(yīng)變？應(yīng)變的一般定義形式 彈性體是一類特殊的變形體，特殊在卸載后其變形將完全恢復(fù)。要研究彈性力學(xué)，一個(gè)重要的前提就是要采用合適的方式來表征彈性體的變形。 粗略的觀察，物體變形有形狀改變和體積改變兩種情況，但如何再進(jìn)一步簡化，也就是要討論變形的基本類型并明確其挨量的方法。 在數(shù)學(xué)上，一個(gè)物體的形狀通常采用長度和州度兩個(gè)量來描述。因此，我們?nèi)菀紫氲绞?，物體的變形也應(yīng)該采用長度的變化和角度的變化來描述。例如，對于一個(gè)圓截面的柱件(如圖1.1.1(a)所示)，如果在柱的兩端作用一對大小相同的拉力F,則該柱的長度將會(huì)由原

21、來的/伸長為/'(如圖1.1.1(b)所示)，由此我們說該柱體發(fā)生了變形；而如果在柱的兩端作用一對大小相同的扭矩M，則該柱體的柱面將發(fā)生扭轉(zhuǎn)(如圖1.1.1(c)所示)，扭轉(zhuǎn)的程度可以采用柱體上下端面相對轉(zhuǎn)動(dòng)的角度ZPQ晚來表示， B、用格林應(yīng)變表示兩線元之間直角的改變?nèi)鐖D，取兩個(gè)相互垂直的線元"X和 如圖，取兩個(gè)相互垂直的線元"X和 PR=也冬+0e2+0。3 (0.21) 參考式(0.6),也就是下式 有下面的表格: 構(gòu)型 變形前 B PQ=0q+d?2e2+0勺 .cx,n, d.v?=—datn。i da. 變形后 B' (0.22) (0.23)

22、 質(zhì)點(diǎn) 戶'3，邑，工3)R，"+斜?+魯血"+巖M Q'k+^-da.,易+^_da,s[da2da2ca2 將變形后的線元P'R；和P'O視作矢量，并假設(shè)它們的夾角為。，求其點(diǎn)積 P'R'P'Q‘=|P'R'||P'Q'|cos。 (0.24) =斜漏俱)住4部)住網(wǎng))借"=|=2%dqd。、 I例初2J"考慮到式(0.18),我們有 |P7T|=Jl+2E“d%(0.25)|P0|=Jl+2旦皿2(0.26) 將式(0.25)和式(0.26)代入式(0.24),得到cos0=.2E'j=(0.27) Jl+2EnJl+2&2由于/9=|-/(/是直角的改變量

23、)，于是有 2E sinZ=.ZZL,;—(0.28)Jl+2E"1+2E” 在小變形時(shí),耳|?1,弓《1,sin/a/,得到r=2Ei2(0.29) E“=匕(030)2 在微小變形情況，這與材料力學(xué)定義的剪應(yīng)變一致。 3、用位移表達(dá)的格林應(yīng)變 格林應(yīng)變的定義為 由于上可表示為 (0.32) 式(0.32)中，虬“是變形位移，那么有 笊=$I凱—mi。datoat (0.33) 將式(0.33)代入格林應(yīng)變的表達(dá)式(0.31),并利用*的置換性質(zhì) 例』-啊J 2'da.da.1da.da. >?} (0.34) =1冬+2+ 2da.datda.

24、啊 式(0.34)就是用位移分量表達(dá)的格林應(yīng)變。在笛卡爾坐標(biāo)系中，展開后的常規(guī)形式是 \2 + ](割*僧)+fe)] (0.35) 應(yīng)該指出，在格林應(yīng)變的推導(dǎo)中，對變形未作任何假設(shè)，并不要求位移分量和它們的偏導(dǎo)數(shù)都是很小的量，所以格林應(yīng)變可以適用于有限變形的情況。 已知任意點(diǎn)的格林應(yīng)變，就可以知道該點(diǎn)任意方向的線元的長度變化及方向的變化?？梢姼窳謶?yīng)變張量幻出了物體變形的全部信息。(具體的證明見“陸明萬書P58-P59”) 4、從格林應(yīng)變到小變形應(yīng)變(柯西應(yīng)變) 線彈性理論的研究對象是位移比物體最小結(jié)構(gòu)尺寸小得多的變形情況。此時(shí)位移分量的一階導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)小于1,即有 在小變形情

25、況下，格林應(yīng)變公式（0.34）中的非線性項(xiàng)也是高階小量，將其忽略后可簡化為(0.37) 式（0.37）稱為柯西應(yīng)變張量，或者小變形應(yīng)變張量。 九、變形協(xié)調(diào)方程（略） 任意一個(gè)二階張量可以寫成一個(gè)對稱張量和一個(gè)反對稱張量的形式，那么有0 2 2■' 'dx' i 1 2^- '(Lx 1 -(o. 2- 0 1 —a)r 2 x dy + 1 2^ ￡y 1 dy 1 一弭 1 -CDV 2x 0 dz 1 3r” 1 dz 0 2 2■' 'dx' i 1 2^- '(Lx

26、1 -(o. 2- 0 1 —a)r 3 x dy + 1 2^ ￡y 1 dy 1 一弭 1 -CDV 2x 0 dz 1 3r” 1 dz du= (0.38) 己知彈性體的位移場，能否求得柯西應(yīng)變？（有限元方法，先確定位移場，再確定應(yīng)變） 1. 己知應(yīng)變場，能否求得位移場？（六個(gè)兒何方程，6個(gè)應(yīng)變，三個(gè)位移場，矛盾方程組）6個(gè)應(yīng)變之間應(yīng)該滿足幾個(gè)關(guān)系？（Washizu對變形協(xié)調(diào)條件必須的數(shù)Fl作了如下的討論） 2. 變形與位移的關(guān)系？準(zhǔn)確地說：應(yīng)變和微元體的剛性小轉(zhuǎn)動(dòng)一起描述了變形。 學(xué)習(xí)思路： 變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)

27、意義是：要使以三個(gè)位移分量為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不矛盾，則應(yīng)變分量必須滿足的必要條件。 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)性質(zhì)作出解釋。如果變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的物體將出現(xiàn)縫隙或嵌入現(xiàn)象，不能重新組合成連續(xù)體。 為使變形后的微分單元體連續(xù)，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系，這一關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，又稱圣維南（SaintVcnant）方程。 假如彈性體是單連通域的，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。 利用位移函數(shù)的微分沿任意路徑重新積分可以確定的位移必然是單值位移的條件，可以證明應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。 對于多連通域問題，應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程只是位移連續(xù)

28、的必要條件, 只有加上位移連續(xù)補(bǔ)充條件作為充分條件。 1、變形協(xié)調(diào)舉例 幾何方程表明，六個(gè)應(yīng)變分量是通過三個(gè)位移分量表示的，因此六個(gè)應(yīng)變分量將不可能是互不相關(guān)的，應(yīng)變分量之間必然存在某種聯(lián)系。 這個(gè)問題對于彈性力學(xué)分析是非常重要的。因?yàn)槿绻阎灰品至?，容易通過幾何方程的求導(dǎo)過程獲得應(yīng)變分量；但是反之，如果已知應(yīng)變分量，則幾何方程的六個(gè)方程將僅面對三個(gè)未知的位移函數(shù)，方程數(shù)顯然超過未知函數(shù)的個(gè)數(shù),方程組將可能是矛盾的。 隨意給出六個(gè)應(yīng)變分量，不一定能求出對應(yīng)的位移。例如： 例1設(shè)應(yīng)變分量為：【二3r|「一^-,Ui；■■■■■,求其位移 解： s=—=3x9=—x2+f(y)

29、 xdx2E) dv2 ■?,勺、二2y，-v=y+涂) dvduc/、，/、 dy顯然該應(yīng)變分量沒有對應(yīng)的位移。 要使這一方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件 以下我們將著手建立這一條件。 2、變形協(xié)調(diào)方程 首先從幾何方程中消去位移分量，把幾何方程的第一式和第二式分別對工和），求二階偏導(dǎo)數(shù)，然后相加，并利用第四式，可得 勺+=臘為+四二”右,dx2dy2dxdydxdydxdy 若將幾何方程的第四，五，六式分別對z,X,y求一階偏導(dǎo)數(shù)，然后四和六兩式相加并減去第五式，則里孔孔+嘰3七dxdydzdydz 將上式對工求一階偏導(dǎo)數(shù)，則A（-g+機(jī)+幻）=2

30、dxdxdydzdydz分別輪換x,），,z,則可得如下六個(gè)關(guān)系式 故2dy2dxdy 色+萱二％ d2ydz2dydz 3旗3/X+￡_—/* a?"~dxdz 如地+吼,室）=2也 dxdxdydzdydz 3（機(jī)機(jī)+機(jī)）_2鉀勺 dy3xdydzdxdz 里％+吼一％）=2業(yè) dzdxdydzdxdy 上述方程稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或者變形協(xié)調(diào)方程，又稱圣維南（SaintVenant）方程。 3、變形協(xié)調(diào)方程的意義 變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義是：要使三個(gè)位移分量為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不相矛盾，則應(yīng)變分量必須滿足的必要條件。 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連

31、續(xù)作出解釋。假如物體分割成無數(shù)個(gè)微分六面體單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。 為使變形后的微分單元體仍能重新組合成連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系，這一關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。 假如彈性體是單連通域的,則應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。 為證明應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是變形體連續(xù)的必要和充分條件，我們可利用彈性體變形連續(xù)的物理意義，反映在數(shù)學(xué)上則要求位移分量為單值連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 我們的目的就是證明：如果已知應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對于單連通域，就一定可以通過幾何方

32、程的積分求得單值連續(xù)的位移分量。 下面我們推導(dǎo)單連通域的變形協(xié)調(diào)關(guān)系。 4、變形協(xié)調(diào)方程證明 所謂的單連通域，是指該物體內(nèi)任一條閉曲線可以收縮到一點(diǎn)而不越出界外。 設(shè)應(yīng)變分量句?單值連續(xù)，并有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則由da）x=——-dx+——-dy+——-azdxdydz 輪換x,y,z計(jì)算，可得du,dw和dc”y,。 如果能夠通過積分，計(jì)算出r11 （］裕+電）&+弓曲+（!&-電）也 “二隊(duì)o+J&&+（57冷_&）功+（5/芯+%）也 RPz2 V=VO+J時(shí) 卬二W°+J)dx+(-Yyi+^)dy+s.Azpqp22 f也dx+匹功+匹也 dx,dydz 『

33、da)yt如》,dcoy,—dx+—dy+—-dz &欲dydz四二武+i也故+叢曲+絲土也i3y"9z 上述位移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量如果是單值連續(xù)的，則可得到彈性體的位移單值連續(xù)的條件。 5、變形協(xié)調(diào)方程證明2 保證上述位移單值連續(xù)的條件是其積分與積分路徑PoP無關(guān)。其充分與必要條件為5r? 5r? plazlaz@ 根據(jù)上述公式的第三式，可得 2dydzdydzddu棚3dvdu_13dw3v_deux 1 dydzcbcdzdxdy2dxdydzdx同理，根據(jù)上述公式的第四和第八式，可得少，?對），，z的偏導(dǎo)數(shù)。即匹=【（％_%） dx2dydz匹=］性匹 dy2dyd

34、z3四_13% dzdy2dz將計(jì)算"'對）,，z的偏導(dǎo)數(shù)回代到公式的第一式，則可以得到轉(zhuǎn)動(dòng)分量表達(dá)式 上（吼-g）dx+（L約-萱炒+（魚-上也勺旺 dydz2qydzdy2dz 如使所單值連續(xù)，其必要與充分條件是2Aa1吼a勺 2dydx2dydz 電（地匹）dydy2dz7dz2dydz 或?qū)懽?匕注育=% dy2dz2dydza（。上_8作淫％臚勺 dydxdydzdxdz 同理，討論SV和口￡的單值連續(xù)條件可得出類似的四個(gè)公式。將單值連續(xù)的口》,口,和口z代入位移計(jì)算公式，則可得到單值連續(xù)的位移〃，V,Wo 由此可證變形協(xié)調(diào)方程是單連通域位移單值連續(xù)的必要和充

35、分條件。 6、多連域的變形協(xié)調(diào) 如果彈性體中的一條封閉曲線，若收縮至一點(diǎn)必須越出域外，則為多連通域物體。 LZI 一個(gè)多連通域物體，可用若干個(gè)截面將物體部分的截開，使之成為單連通域。如果所需的截面數(shù)為〃，則物體為〃+1連域。 平面為有兩個(gè)環(huán)形孔的物體，兩個(gè)截面即可使其成為單連通域，所以為三連域。 對于多連通域問題，應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程并不能確保位移在分割后的單連通域內(nèi)單值連續(xù)。因?yàn)楫?dāng)位移分別從截面兩側(cè)趨近于截面上的某一點(diǎn)時(shí)，一般的說其將趨于不同的值。 分別用〃+,v+,w+和〃V-,VV-表示截面兩側(cè)的位移，則多連通域的位移單值連續(xù)條件還需要補(bǔ)充條件〃+=〃-,v+=v-,w+=

36、\v- 條件，只有加上上述補(bǔ)充條件后，條件才是充分的。 圖1.1.1圓截面柱體及其典型的變形形式 要完整地描述物體變形的程度，實(shí)際上就是需要知道物體上每一點(diǎn)與任意其它點(diǎn)連線的長度變化率和這些連線間夾角的變化。 圖1.1.2變形前后的點(diǎn)和線段圖1.1.3兩條相互垂直的線段變形后在原所在平而上的投影 如圖1.1.2所示，設(shè)P點(diǎn)為變形前物體上的任意一點(diǎn)，要完整地描述物體變形的程度，就是需要描述清楚P點(diǎn)處任意方向〃上線段PN的長度|PN|的變化率，以及線段PN與任意方 向?yàn)閙上的線段PM之間夾角的變化。為了計(jì)算方便，通常取PM1.PN,即匕MPN=， 顯然，可以采用很多種方

37、式描述PN的長度變化率，如 |取|-|州,可.. \PN\|PW'||P/V|2 同樣地，描述PN與PM之間夾角的變化方式也有很多種，如 /MPN-CM'PN',cosyMPN)-cos(ZM'P'N'),s\n(匕MPN-ZM'PN'),...... 究竟采用何種形式，則要取決于后續(xù)計(jì)算的方便性、結(jié)果的簡潔性等多方面的因素。 另外，為了使采用的描述方式不受線段P/V和PM的長度任意性的影響，我們需要采用極限的形式，令1小|->0,\pm\t0,從而得到反映P點(diǎn)處變形程度的表示。 但是，由于過P點(diǎn)處可以作無數(shù)條線段PN和PM,因此P點(diǎn)處變形程度這一量可能需要無窮多個(gè)分量才能表示

38、，除非這無窮多個(gè)分量具有一定的內(nèi)在規(guī)律，或者只需要采用有限個(gè)分量表示，而其余任意分量均可以通過這有限個(gè)分量即可完全表達(dá)。 非常幸運(yùn)和有趣的是，運(yùn)用變形的連續(xù)性假設(shè)，我們的確可以證明，在一般的三維情況下，P點(diǎn)處變形程度這?量只需要采用三個(gè)互不平行方向上線段的長度變化率以及它們兩兩間角度的變化共九（六）個(gè)量即可完全表達(dá)。如前所述，為了計(jì)算方便，這里的三個(gè)互不平行方向上線段通常取成是三個(gè)互相垂直方向上的線段。 在一般有限變形的情況下，P點(diǎn)處任意方向n上線段PN的長度變化率可以采用如下形式進(jìn)行定義，E鳴略 E鳴略 2|P/V|2 而P點(diǎn)處任意方向n上線段PN和任意方向m上線段PM之間夾角

39、度的變化表示為 _.F/V7?P'M' E,,ni~2|PN||PM| (1.1.2) 利用(1.1.1)式，可以得到 Etini=Emn=lim《+2E"“"\I1+2E叫cos/m'PN'nmm>，|PM|->0 I/W|tO 當(dāng)變形很小時(shí)， Ealim2網(wǎng)佃州-倒） nn\PN\->0 2\PN\" =岫叫「時(shí) |㈣to|PN| ?lim應(yīng) I㈣―。|P州= (1.1.3) 5屈 |PAr|->0 =-limsin--ZMPW, 2|十)"2) =-limsin(ZMPN-ZM'P'N') 2|p.w|->()'/ lim(ZMPN—2M；P：

40、N；) 2|pm|->()1117 |曲|一0 %鯽""'崎+徐麗） |av|->o?-lim（tanZM.PM；+tanZN；P；N；） 2網(wǎng)I-。1117 MM |/W|->0=—lim 2|pm|to|av|->o' v—lim 2pm|t（） |PN|->0 =—lim 2|pm|to|av|->o' v—lim 2pm|t（） |PN|->0 —:+_:_11|W| （1.1.4） 網(wǎng)m"\pm\網(wǎng) 在給定的坐標(biāo)系的三維情況下，只要令上述式中，和m方向分別為某坐標(biāo)軸的方向,即可得到用于描述P點(diǎn)處變形程度的六個(gè)分量表達(dá)式。 三、線彈性、小

41、變形假設(shè)下的應(yīng)變一一柯西應(yīng)變幾何方程1、位移函數(shù) 由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位置將發(fā)生變化，即產(chǎn)生位移。這個(gè)移動(dòng)過程，彈性體將可能同時(shí)發(fā)生兩種位移變化。 第一種位移是位置的改變，但是物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)仍然保持初始狀態(tài)的相對位置不變，這種位移是物體在空間做剛體運(yùn)動(dòng)引起的，因此稱為剛體位移。 第二種位移是彈性體形狀的變化，位移發(fā)生時(shí)不僅改變物體的絕對位置，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對位置，這是物體形狀變化引起的位移，稱為變形。 一般來說，剛體位移和變形是同時(shí)出現(xiàn)的。當(dāng)然，對于彈性力學(xué)，主要是研究變形，因?yàn)樽冃魏蛷椥泽w的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。  根據(jù)連續(xù)性

42、假設(shè)，彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。那么彈性體中某點(diǎn)在變形過程中由M(x,y,z)移動(dòng)至M，(X1,y',z'),這一過程也將是連續(xù)的，如圖所示。在數(shù)學(xué)上，f,V，z，必為x,y,z的單值連續(xù)函數(shù)。設(shè)為位移矢量，其三個(gè)分量“，V,w為位移分量。則u=xf(x,y,z)-x=u3y,z), v=y,(x,y,z)-y=v(x,y,z) w=z'3y,z)-z=w(x,y,z) 顯然，位移分量〃，匕附也是*,z的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進(jìn)一步假定位移函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 (吳家龍教材P32)由小變形、線彈性的假設(shè)得到：與坐標(biāo)軸平行的微分線段在變形后一般要旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度；但是這個(gè)轉(zhuǎn)

43、角是極其微小的，可以用變形以后的的微分線段在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影來代替變形后微分線段的長度。 2、變形與應(yīng)變分量 為進(jìn)一步研究彈性體的變形情況，假設(shè)從彈性體中分割出一個(gè)微分六面體單元，其六個(gè)面分別與三個(gè)坐標(biāo)軸垂直。 對于微分單元體的變形，將分為兩個(gè)部分討論。一是微分單元體棱邊的伸長和縮短；二是棱邊之間夾角的變化。彈性力學(xué)分別使用正應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。  對于微分平行六面體單元，設(shè)其變形前與X,)，，Z坐標(biāo)軸平行的棱邊分別為MA,MB,MC,變形后分別變?yōu)镸A,MB,MC。 假設(shè)分別用&,乾&表示x,y,z軸方向棱邊的相對伸長度，即正應(yīng)變；分別用/vy,Yyz,/zx表示X

44、和和Z,Z和X軸之間的夾角變化，即切應(yīng)變。則B'—M8 B'—M8 MrAr-MAjr jr jr “2 IT Xxx=--ZCfMfAf 對于小變形問題，為了簡化分析，將微分單元體分別投影到Oxy,Oyz,Ozx平面來討論。 顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標(biāo)面平行的，變形后棱邊將有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)，但我們討論的是小變形問題，這種轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來的影響較小。特別是物體位移中不影響變形的計(jì)算，假設(shè)各點(diǎn)的位移僅為自身的大小和形狀的變化所確定，則這種微分線段的轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差是十分微小的，不會(huì)導(dǎo)致微分單元體的變形有明顯的變化。 3、正應(yīng)變表達(dá)式 首先討論?！蛎嫔贤队暗淖冃?。 設(shè)

45、〃也，"泊分別為MA,MB的投影，m'a\〃必分別為M'A',MB,即變形后的MX,MB的投影。 微分單元體的棱邊長為cbr,dy,dz,M點(diǎn)的坐標(biāo)為3y9z),u(x,y,z),v(x,y,z)分別表示M點(diǎn)x,y方向的位移分量。 則A,B點(diǎn)的位移分別為 du.即，m淑， u+—dx,v+—dx和“+—ay, dx&cdy dv v+—ay 則A點(diǎn)的位移為M(x+dx,y,z),v(x+dx,)，，z)，，點(diǎn)的位移為〃(x,y+dy,z),v(x,)，+dy,z)o按泰勒級(jí)數(shù)將A,8兩點(diǎn)的位移展開，并且略去二階以上的小量，因?yàn)? MM,^w,a,=dx+w+—dx-u=dx+

46、—dx dxdx 所以5/1，w/idx+當(dāng)dx-dx令 =MA-MA^_虹笊 dx MA 'dx同理可得 dw dvF ydy'dz 由此可以得到彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)微分線段的相對伸長度，即正應(yīng)變。顯然微分線段伸長，則正應(yīng)變&?,幽&大于零，反之則小于零。 3、切應(yīng)變分量 以下討論切應(yīng)變表達(dá)關(guān)系。 假設(shè)入，為與X軸平行的微分線段〃心向y軸轉(zhuǎn)過的角度，/即為與y軸平行的〃活向x軸轉(zhuǎn)過的角度。則切應(yīng)變j-至二:-4X偵二代+給 因?yàn)镮即13v ,,,V*—dx—V,%Man^=—==-^-4 心'dx+竺dx1悝故dxdx 上式的推導(dǎo)中，利用了小變形條件下位移的

47、導(dǎo)數(shù)是高階小量的結(jié)論。同理可得 四.1?和?可為正或?yàn)樨?fù)，其正負(fù)號(hào)的幾何意義為：岳?.1?大于零，表示位移V隨坐標(biāo)工而增加，即x方向的微分線段正向向y軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應(yīng)變表達(dá)式，則同理可得 _+3vdydz,5dzdx 切應(yīng)變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大。 5、幾何方程與應(yīng)變張量 綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系為dudvdw XT=XT=XT二、阪''dy9zdz9 dvdudwdvdudwY———+、y=+——、y=+ "欲莎％出湯兒％dx上述公式稱為幾何方程，又稱柯西方程。 柯西方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。如果已知位移，由位移

48、函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即可求得應(yīng)變；但是如果已知應(yīng)變，由于六個(gè)應(yīng)變分量對應(yīng)三個(gè)位移分量，則其求解將相對復(fù)雜。這個(gè)問題以后作專門討論。 幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。 如果使用張量符號(hào)，則幾何方程可以表達(dá)為1,、 上式表明應(yīng)變分量句將滿足二階張量的坐標(biāo)變換關(guān)系，應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變分量的關(guān)系可表示為 四、純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移（與吳家龍教材P34“相對位移張量”對應(yīng)） 學(xué)習(xí)思路： 應(yīng)變分量通過位移的偏導(dǎo)數(shù)描述了一點(diǎn)的變形，對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不能完全描述彈性體的變形,原因是沒有考慮微分單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。 如下圖所示：/vv=+ay.,稱之為剪應(yīng)變；和a乒為直角兩邊改變的角度。當(dāng)