《高等數學備課教案：第一章 函數、極限與連續(xù) 第三節(jié)數列的極限》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數學備課教案：第一章 函數、極限與連續(xù) 第三節(jié)數列的極限（4頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第三節(jié) 數列的極限 極限思想是由于求某些實際問題的精確解答而產生的. 例如，我國古代數學家劉徽（公元3世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法----割圓術（參看光盤演示）, 就是極限思想在幾何學上的應用. 又如，春秋戰(zhàn)國時期的哲學家莊子（公元4世紀）在《莊子.天下篇》一書中對“截丈問題”（參看光盤演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 萬世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想. 極限是研究變量的變化趨勢的基本工具，高等數學中許多基本概念，例如連續(xù)、導數、定積分、無窮級數等都是建立在極限的基礎上. 極限方法又是研究函數的一種最基本的方法. 本節(jié)將首先給出數列極限的定義.

2、 分布圖示 ★ 極限概念的引入 ★ 數列的定義 ★ 數列的極限 ★ 數列極限的嚴格定義 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 收斂數列的有界性 ★ 極限的唯一性 ★ 例9 ★ 收斂數列的保號性 ★ 子數列的收斂性 ★ 內容小結

3、 ★ 課堂練習 ★ 習題 1-3 ★ 返回 內容要點 一、數列的定義 二、數列的極限 論證法，其論證步驟為： （1）對于任意給定的正數, 令 ； （2）由上式開始分析倒推, 推出 ； （3）取 ，再用語言順述結論. 三、收斂數列的有界性 四、極限的唯一性 五、收斂數列的保號性 六、子數列的收斂性 例題選講 數列的極限 例1 (E01)下列各數列是否收斂, 若收斂, 試指出其收斂于何值. (1);

4、(2); (3); (4). 解 (1)數列即為 易見,當無限增大時, 也無限增大, 故該數列是發(fā)散的; (2)數列即為 易見,當無限增大時,無限接近于0, 故該數列是收斂于0; (3)數列即為 易見,當無限增大時, 無休止地反復取1、-1兩個數,而不會接近于任何一個確定的常數,故該數列是發(fā)散的; (4)數列即為 易見,當無限增大時, 無限接近于1, 故該數列是收斂于1. 例2 (E02) 證明 證 由，故對任給要使只要即所以，若取則當時，就有 即

5、 例3 設(為常數)，證明 證 因對任給對于一切自然數恒有所以， 即：常數列的極限等于同一常數. 注：用定義證數列極限存在時，關鍵是：對任意給定的尋找但不必要求最小的 例4 證明其中 證 任給若則若欲使 必須即故對任給若取則當時，就有 從而證得 例5 設且求證 證 任給由 要使即要 對當時， 從而當時，恒有故 例6 用數列極限定義證明 證 由于只要解得 因此，對任給的取則時， 成立， 即

6、 例7 (E03) 用數列極限定義證明 證 由于，要使只要即因此，對任給的取當時，有 即 例8 (E04) 證明：若則存在正整數當時，不等式成立. 證 因由數列極限的定義知，對任給的存在當時，恒有由于故時，恒有 從而有由此可見，只要取則當時，恒有 . 證畢. 例9 (E05) 證明數列是發(fā)散的 證 設由定義，對于使得當時，恒有即當時，區(qū)間長度為1.而無休止地反復取1，－1兩個數，不可能同時位于長度為1地區(qū)間. 因此改數列是發(fā)散的. 證畢. 注：此例同時也表明：有界數列不一定收斂. 課堂練習 1．設 證明數列 的極限是0.