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1、 第六節(jié)　拋物線 [考綱傳真]　1.了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).3.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.4.理解數(shù)形結(jié)合的思想． 1．拋物線的概念 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過(guò)F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線．點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖像

2、 頂點(diǎn) O(0,0) 對(duì)稱軸 y＝0 x＝0 焦點(diǎn) F F F F 離心率 e＝1 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半徑|PF| x0＋ －x0＋ y0＋ －y0＋ 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　　) (3)拋物線既是中心對(duì)稱

3、圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(　　) (4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D．0 B　[M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－， 設(shè)M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.] 3．拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是(　　) A．y＝－1　　　　 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 A　[∵y

4、＝x2，∴x2＝4y，∴準(zhǔn)線方程為y＝－1.] 4．(20xx·西安質(zhì)檢)若拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線x2－y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝__________. 2　[拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，p>0，雙曲線的焦點(diǎn)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，所以－＝－，p＝2.] 5．(20xx·浙江高考)若拋物線y2＝4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________． 9　[設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x＝－1的距離為x0＋1，由拋物線的定義知x0＋1＝10，∴x0＝9， ∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.] 拋物線的定義及應(yīng)用 　(1)(20xx·全國(guó)

5、卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．1　　　　 B．2 C．4 D．8 (2)(20xx·廣東汕頭調(diào)研)已知P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N(1,0)是一個(gè)定點(diǎn)，則|PQ|＋|PN|的最小值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．＋1 (1)A　(2)A　[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝， 因此焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l的方程為x＝－. 設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)到準(zhǔn)線l的距離為d，則由拋物線的定義可知d＝|AF|. 從而x0＋＝x0，解得x0＝1. (2)由拋

6、物線方程y2＝4x，可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合． 過(guò)圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.] [規(guī)律方法]　1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．如本例充分運(yùn)用拋物線定義實(shí)施轉(zhuǎn)化，使解答簡(jiǎn)捷、明快． 2．若P(x0，y0)為拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF|＝x0＋；若過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)為|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出

7、． [變式訓(xùn)練1]　(20xx·鄭州調(diào)研)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若＝4 ，則|QF|＝(　　) A. B． C．3 D．2 C　[∵＝4 ， ∴||＝4||， ∴＝. 如圖，過(guò)Q作QQ′⊥l，垂足為Q′，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A，則|AF|＝4， ∴＝＝， ∴|QQ′|＝3. 根據(jù)拋物線定義可知|QF|＝|QQ′|＝3.] 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 　(1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962399】 A．x2＝y(tǒng)　　 B．x2＝y(tǒng)

8、或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y (2)(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (1)D　(2)B　[(1)將y＝ax2化為x2＝y(tǒng). 當(dāng)a>0時(shí)，準(zhǔn)線y＝－，則3＋＝6，∴a＝. 當(dāng)a<0時(shí)，準(zhǔn)線y＝－，則＝6，∴a＝－. ∴拋物線方程為x2＝12y或x2＝－36y. (2)設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x

9、＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點(diǎn)A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4. [規(guī)律方法]　1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法： (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可． (2)因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量． 2．由拋物線的方程可以確定拋物線的開(kāi)口方向、焦點(diǎn)位置、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；從而進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程． [變式訓(xùn)練2]　(1)(20xx·河南中原名校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)

10、，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962400】 A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ (2)若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_________． (1)B　(2)x＝－2　[(1)設(shè)M(x，y)，因?yàn)閨OF|＝，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由拋物線定義知x＋＝2p， 所以x＝p，所以y＝±p. 又△MFO的面積為4， 所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)． 所以拋物線的方程為y2＝8x. (2)由橢圓＋＝1，知a＝3，b＝

11、， 所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2. 因此橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)， 又拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為. 依題意，得＝2， 于是拋物線的準(zhǔn)線x＝－2.] 直線與拋物線的位置關(guān)系 角度1　直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題 　(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說(shuō)明理由． [解]　(1)如圖，由已知得M(0，t)，P. 又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)， 故N， 2分 故直線ON的方程

12、為y＝x， 將其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0, 解得x1＝0，x2＝.因此H. 所以N為OH的中點(diǎn)，即＝2. 5分 (2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其他公共點(diǎn)．理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t). 8分 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t， 即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以除H以外，直線MH與C沒(méi)有其他公共點(diǎn). 12分 [規(guī)律方法]　1.(1)本題求解的關(guān)鍵是求出點(diǎn)N，H的坐標(biāo)．(2)第(2)問(wèn)將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷． 2．(1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)

13、數(shù)時(shí)，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來(lái)確定，需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.(2)解題時(shí)注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧． 角度2　與拋物線弦長(zhǎng)或中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題 　(20xx·泰安模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過(guò)原點(diǎn)的直線l2與l1的垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962401】 [解]　(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為

14、(8，－8)， 2分 ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. 5分 (2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M. 6分 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝＝m2. 8分 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)， ∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0). 10分 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2| ＝3＝24. 12分 [規(guī)

15、律方法]　1.有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式． 2．涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等方法． 3．涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解． [思想與方法] 1．拋物線定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))，一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)，一個(gè)定值1(拋物線的離心率)． 2．拋物線的定義中指明了拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這一轉(zhuǎn)化思想在解題

16、中有著重要作用． 3．拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AB|＝＝x1＋x2＋p. [易錯(cuò)與防范] 1．認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)區(qū)分y＝ax2(a≠0)與y2＝2px(p>0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2＝mx或x2＝my(m≠0)． 2．直線與拋物線結(jié)合的問(wèn)題，不要忘記驗(yàn)證判別式． 3．拋物線的定義中易忽視“定點(diǎn)不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)且與直線垂直的直線．當(dāng)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，并不表明直線與拋物線相切．