《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題22 數(shù)學(xué)思想方法講學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題22 數(shù)學(xué)思想方法講學(xué)案 理（23頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題22 數(shù)學(xué)思想方法 函數(shù)與方程思想在高考中也是必考內(nèi)容，特別是在函數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)等處都可能考到，幾乎大多數(shù)年份高考中大題都會(huì)涉及到．因此認(rèn)真體會(huì)函數(shù)與方程思想是成功高考的關(guān)鍵． 在高考題中，數(shù)形結(jié)合的題目出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的簡(jiǎn)捷、靈活特點(diǎn)的多是填空小題。 因?yàn)閷?duì)數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考查，是新課標(biāo)高考明確的一個(gè)命題方向。 分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也是高考的考點(diǎn)，高考中經(jīng)常

2、會(huì)有一道解答題，解題思路直接依賴于分類討論． 預(yù)測(cè)以后的高考，將會(huì)一如既往地考查分類討論思想，特別在解答題中(尤其導(dǎo)數(shù)與函數(shù))，將有一道進(jìn)行分類、求解的把關(guān)題，選擇題、填空題也會(huì)出現(xiàn)不同情形的分類討論求解題． 化歸與轉(zhuǎn)化的思想在高考中必然考到，主要可能出現(xiàn)在立體幾何的大題中，將空間立體幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，解析幾何大題中求范圍問(wèn)題的題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域范圍問(wèn)題等，總之將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題是高考中解決問(wèn)題的重要思想方法． 一、函數(shù)與方程思想 一般地，函數(shù)思想就是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等．在解題

3、中，善于挖掘題目的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和巧用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵，它廣泛地應(yīng)用于方程、不等式、數(shù)列等問(wèn)題． 1．方程思想就是將所求的量(或與所求的量相關(guān)的量)設(shè)成未知數(shù)，用它表示問(wèn)題中的其他各量，根據(jù)題中的已知條件列出方程(組)，通過(guò)解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行研究，使問(wèn)題得到解決． 2．方程思想與函數(shù)思想密切相關(guān)：方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通過(guò)方程進(jìn)行研究，方程f(x)＝a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域．函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要． 可用函數(shù)與方程思想解決

4、的相關(guān)問(wèn)題． 1．函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面： (1)借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題； (2)在研究問(wèn)題中通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把研究的問(wèn)題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的． 2．方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個(gè)方面： (1)解方程或解不等式； (2)帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識(shí)的應(yīng)用； (3)需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系等； (4)構(gòu)造方程或不等式求解問(wèn)題． 二、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 數(shù)形

5、結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)．。 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化： 數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題常有以下幾種： (1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍； (2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍； (3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系； (4)構(gòu)建函數(shù)模型

6、并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式； (5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題； (6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題； (7)構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)； (8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等． 常見(jiàn)適用數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)著力點(diǎn)是： 以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法. 以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。 數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題

7、能力和速度．具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解．這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖象有機(jī)結(jié)合起來(lái)思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過(guò)對(duì)規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷解決。 1．?dāng)?shù)形結(jié)合的途徑 （1）通過(guò)坐標(biāo)系形題數(shù)解 借助于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以

8、將圖形問(wèn)題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識(shí)載體來(lái)考察的）；值得強(qiáng)調(diào)的是，形題數(shù)解時(shí)，通過(guò)輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧（這是因?yàn)槿枪降氖褂?，可以大大縮短代數(shù)推理） 實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。。 常見(jiàn)方法有： ①解析法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系），引進(jìn)坐標(biāo)將幾何圖形變換為坐標(biāo)間的代數(shù)關(guān)系。 ②三角法：將幾何問(wèn)題與三角形溝通，運(yùn)

9、用三角代數(shù)知識(shí)獲得探求結(jié)合的途徑。 ③向量法：將幾何圖形向量化，運(yùn)用向量運(yùn)算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等問(wèn)題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運(yùn)算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題變得有章可循。 （2）通過(guò)轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解 許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對(duì)應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化.例如，將a＞0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b2－2與余弦定理溝通，將a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對(duì)（或復(fù)數(shù)）和點(diǎn)溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對(duì)應(yīng)等等.這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的

10、轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個(gè)圖形（平面的或立體的）。另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用。 常見(jiàn)的轉(zhuǎn)換途徑為： ①方程或不等式問(wèn)題?？梢赞D(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)位置關(guān)系的問(wèn)題，并借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)的問(wèn)題。 ②利用平面向量的數(shù)量關(guān)系及模的性質(zhì)來(lái)尋求代數(shù)式性質(zhì)。 （3）構(gòu)造幾何模型。通過(guò)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)造出符合代數(shù)式的幾何圖形，如將與正方形的面積互化，將與體積互化，將與勾股定理溝通等等。 （4）利用解析幾何中的曲線與方程的關(guān)系，重要的公式（如兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，直線的斜率，直線的截距）、定義等來(lái)尋求

11、代數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)。 2．?dāng)?shù)形結(jié)合的原則 （1）等價(jià)性原則 在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。 （2）雙向性原則 在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析（或僅對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)分析）在許多時(shí)候是很難行得通的。 例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，但是在許多時(shí)候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會(huì)使得復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

12、（3）簡(jiǎn)單性原則 就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來(lái)敘述解題過(guò)程，則取決于那種方法更為簡(jiǎn)單.而不是去刻意追求一種流性的模式——代數(shù)問(wèn)題運(yùn)用幾何方法，幾何問(wèn)題尋找代數(shù)方法。 三、分類討論的思想 分類討論思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略．對(duì)問(wèn)題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于是增加的一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問(wèn)題(或綜合性問(wèn)題)分解為小問(wèn)題(或基礎(chǔ)性問(wèn)題)，優(yōu)化解題思路，降低問(wèn)題難度． 1．由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函

13、數(shù)等． 2．由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等． 3．由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． 4．由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等． 5．由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問(wèn)題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求

14、解或證明方法． 6．由實(shí)際意義引起的討論：此類問(wèn)題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)常用． 四、化歸與轉(zhuǎn)化的思想 1、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換， 將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題(相對(duì)來(lái)說(shuō)，是自己較熟悉的問(wèn)題)，通過(guò)新問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”． 2 、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法應(yīng)用的主要方向 化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化．除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的．從這個(gè)意義

15、上講，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程．化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想，解題的過(guò)程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)． 3、等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化之分．等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證． 考點(diǎn)一、運(yùn)

16、用函數(shù)與方程思想解決字母(或式子)的求值或取值范圍問(wèn)題 例1．若函數(shù)f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】(1，2] 【解析】由題意f(x)的圖象如右圖，則 ∴1＜a≤2. 【變式探究】如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連續(xù)(相切)，已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為(　　) A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x 考點(diǎn)二、運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決方程問(wèn)題 例2、設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(f(a)

17、)＝2f(a)的a取值范圍是(　　) A. B．[0，1] C. D．[1, ＋∞) 【答案】C 【規(guī)律方法】 研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對(duì)數(shù)等復(fù)雜方程解的問(wèn)題，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程，進(jìn)而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決． 【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】記h(x)＝－f(2－x)在同一

18、坐標(biāo)系中作出f(x)與h(x)的圖象如圖，直線AB：y＝x－4，當(dāng)直線l∥AB且與f(x)的圖象相切時(shí)，由 解得b′＝－，－－(－4)＝， 所以曲線h(x)向上平移個(gè)單位后，所得圖象與f(x)的圖象有四個(gè)公共點(diǎn)，平移2個(gè)單位后，兩圖象有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，因此，當(dāng)＜b＜2時(shí)，f(x)與g(x)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，即y＝f(x)－g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)．選D. 考點(diǎn)三、運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決不等式問(wèn)題 例3．已知函數(shù)f(x)＝若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞) 【規(guī)律方法】 (1)在解決值

19、的大小比較問(wèn)題時(shí)，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或圖象解決是一種重要思想方法． (2)在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，一種重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題．同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù)． (3)在解決不等式證明問(wèn)題時(shí)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)方法解題是近幾年各省市高考的一個(gè)熱點(diǎn)．用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決不等式問(wèn)題時(shí)，一般都要先根據(jù)欲證的不等式構(gòu)造函數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性情況，再結(jié)合在一些特殊點(diǎn)處的函數(shù)值得到欲證的不等式． 【變式探究】

20、設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時(shí)取到極值． (1)求a，b的值； (2)若對(duì)于任意的x∈[0，3]都有f(x)0； 當(dāng)12時(shí)，f′(x)>0. 所以此

21、時(shí)1與2都是極值點(diǎn)， 因此a＝－3，b＝4，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c. (2)由(1)知函數(shù)y＝f(x)在x＝1處取到極大值f(1)＝5＋8c，在x＝2處取到極小值f(2)＝4＋8c. 因?yàn)閒(0)＝8c，f(3)＝9＋8c， 所以當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的最大值是f(3)＝9＋8c，所以要使對(duì)于任意的x∈[0，3]都有f(x)0，解得c<－1或c>9. 考點(diǎn)四、運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決最優(yōu)化問(wèn)題 例4、某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山

22、區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y＝(其中a，b為常數(shù))模型． (1)求a，b的值； (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t. ①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域； ②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度． 解　(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5，40)，(20，

23、2.5)． 將其分別代入 y＝，得 解得 (2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)， 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為， 【規(guī)律方法】 解析幾何、立體幾何及其實(shí)際應(yīng)用等問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題，一般利用函數(shù)思想來(lái)解決，思路是先選擇恰當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，再用函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決． 【變式探究】某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩橋墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋)x萬(wàn)元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元． (1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

24、式． (2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小？ 【解析】(1)設(shè)需要新建n個(gè)橋墩，(n＋1)x＝m， 即n＝－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x ＝＋m＋2m－256. 【小結(jié)反思】 1．函數(shù)與方程思想在許多容易題中也有很多體現(xiàn)． 2．有很多時(shí)候可以將方程看成函數(shù)來(lái)研究，這就是函數(shù)思想． 3．有些時(shí)候可以將函數(shù)看成方程來(lái)研究，這就是最簡(jiǎn)單的方程思想．我們可以有意通過(guò)函數(shù)思想部分訓(xùn)練提升自己的數(shù)學(xué)能力． 考點(diǎn)五、 用數(shù)形結(jié)合思想解決方程、不等式及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題 例5、(1)已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x＋1)

25、＝f(x－1)；②當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lg x解的個(gè)數(shù)是(　　) A．5個(gè) B．7個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè) (2)設(shè)有函數(shù)f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4，0]時(shí)恒有f(x)≤g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 思路點(diǎn)撥：(1)在同一坐標(biāo)系中畫出y＝f(x)和y＝lg x的圖象，由它們交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程的解的個(gè)數(shù)． (2)先將不等式f(x)≤g(x)轉(zhuǎn)化為≤x＋1－a，然后在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝和y＝x＋1－a的圖象，移動(dòng)y＝x＋1－a的圖象使其滿足條件，數(shù)形結(jié)合得要滿足的數(shù)量關(guān)系． 解析：(1)由題意可知，f(x)是以2為周

26、期，值域?yàn)閇0，1]的函數(shù)．又f(x)＝lg x，則x∈(0，10]，畫出兩函數(shù)圖象，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù)． 由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn)，故選C. (2)f(x)≤g(x)，即a＋≤x＋1， 變形得≤x＋1－a， 令y＝，① y＝x＋1－a，② 誤區(qū)警示：作圖時(shí)弄清y＝lg x的圖象何時(shí)超過(guò)1，否則易造成結(jié)果錯(cuò)誤． 【規(guī)律方法】 (1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)

27、函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)． (2)解不等式問(wèn)題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的數(shù)量關(guān)系來(lái)解決不等式的解的問(wèn)題，往往可以避免繁瑣的運(yùn)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答． (3)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降，奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對(duì)稱性，最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)． 【變式探究】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8，8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4

28、＝________． 【答案】－8. 考點(diǎn)六、用數(shù)形結(jié)合思想解決參數(shù)、代數(shù)式的最值、取值范圍問(wèn)題 例6、 (1)已知x，y滿足條件＋＝1，求y－3x的最大值與最小值． (2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組求函數(shù)z＝的值域． 思路點(diǎn)撥：(1)令b＝y(tǒng)－3x，即y＝3x＋b，視b為直線y＝3x＋b的截距，而直線與橢圓必有公共點(diǎn)，故相切時(shí)，b有最值． (2)此題可轉(zhuǎn)化成過(guò)點(diǎn)(－1，－3)與不等式組表示區(qū)域的點(diǎn)的連線的斜率的范圍． 【解析】(1)令y－3x＝b，則y＝3x＋b，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在橢圓＋＝1上找一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的直線斜率為3，且在y軸上有最大截距或最小截距． 由圖可知，當(dāng)直

29、線y＝3x＋b與橢圓＋＝1相切時(shí)，有最大或最小的截距． 將y＝3x＋b代入＋＝1， 由圖顯見(jiàn)，過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)A(0，2)的直線斜率最大， zmax＝＝5. 過(guò)點(diǎn)P向半圓作切線，切線的斜率最?。? 設(shè)切點(diǎn)為B(a，b)，則過(guò)點(diǎn)B的切線方程為ax＋by＝4.又B在半圓周上，P在切線上，則有又a＞0， 解得因此zmin＝. 綜上可知函數(shù)的值域?yàn)? 誤區(qū)警示：此題很容易犯的錯(cuò)誤是由z＝得到點(diǎn)(－1，－3)的坐標(biāo)時(shí)，很容易寫成(1，3)，所以做題時(shí)要看清順序． 【規(guī)律方法】 如果參數(shù)、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，一般考慮用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解題，即所謂的幾何法求解，比較常見(jiàn)

30、的對(duì)應(yīng)有： (1)y＝kx＋b中k表示直線的斜率，b表示直線在y軸上的截距． (2)表示坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)(a，b)，(m，n)連線的斜率． (3)表示坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)(a，b)，(m，n)之間的距離． (4)導(dǎo)函數(shù)f′(x0)表示曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率． 只要具有一定的觀察能力，再掌握常見(jiàn)的數(shù)與形的對(duì)應(yīng)類型，就一定能得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法． 【變式探究】已知x，y滿足條件＋＝1，求5x＋4y的最大值與最小值． 考點(diǎn)七、根據(jù)數(shù)學(xué)的概念分類討論 例7、設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠1，比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大?。? 思路點(diǎn)撥：先

31、利用0＜x＜1確定1－x與1＋x的范圍，再利用絕對(duì)值及對(duì)數(shù)函數(shù)的概念分類討論兩式差與0的大小關(guān)系，從而比較出大小． 【規(guī)律方法】 本題是由對(duì)數(shù)函數(shù)的概念內(nèi)涵引起的分類討論，我們稱為概念分類型．由概念內(nèi)涵引起的分類還有很多：如絕對(duì)值|a|分a＞0，a＝0，a＜0三種情況；直線的斜率分傾斜角θ≠90°，斜率k存在，傾斜角θ＝90°，斜率不存在；指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)[y＝ax(a＞0且a≠1)與y＝logax(a＞0且a≠1)]可分為a＞1，0＜a＜1兩種類型；直線的截距式分直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)[為y＝kx]，不過(guò)原點(diǎn)時(shí)等． 考點(diǎn)八、根據(jù)運(yùn)算的要求或性質(zhì)、定理、公式的條件分類討論 例8、在等差數(shù)列{a

32、n}中，a1＝1，滿足a2n＝2an，n＝1，2，… (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記bn＝anpan(p＞0)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 思路點(diǎn)撥：(1)由a2n＝2an，n＝1，2，…求出公差d，即得{an}的通項(xiàng)公式． (2)先求{bn}的通項(xiàng)公式，然后用錯(cuò)位相減可求Tn，但由于公比q不確定，故用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求Tn時(shí)要分類討論． 【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由a2n＝2an得a2＝2a1＝2，所以d＝a2－a1＝1. 又a2n＝an＋nd＝an＋n＝2an， 【規(guī)律方法】 (1)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單

33、調(diào)性，均值定理，等比數(shù)列的求和公式等性質(zhì)、定理與公式在不同的條件下有不同的結(jié)論，或者在一定的限制條件下才成立，這時(shí)要小心，應(yīng)根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論． (2)分類討論的有些問(wèn)題是由運(yùn)算的需要引發(fā)的．比如除法運(yùn)算中分母能否為零的討論；解方程及不等式兩邊同乘以一個(gè)數(shù)是否為零，是正數(shù)，還是負(fù)數(shù)的討論；二次方程運(yùn)算中對(duì)兩根大小的討論；求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，導(dǎo)數(shù)正負(fù)的討論；排序問(wèn)題；差值比較中的差的正負(fù)的討論；有關(guān)去絕對(duì)值或根號(hào)問(wèn)題中等價(jià)變形引發(fā)的討論等． 考點(diǎn)九、根據(jù)字母的取值情況分類討論 例9、已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值； (2)若過(guò)

34、點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍； (3)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線y＝f(x)相切(只需寫出結(jié)論)? 【解析】(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝，因?yàn)閒(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1， 所以f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值為f＝. (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1，t)的直線與曲線y＝f(x)相切于點(diǎn)(x0，y0)， 則y0＝2x－3x0，且切線斜率為k＝6x－3，所以切線方程為y－y0＝(6x－3)(x－x0)， 因此t－y0＝(6x－3)(

35、1－x0)，整理得：4x－6x＋t＋3＝0， 設(shè)g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，則“過(guò)點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn)”， 【規(guī)律方法】 題目中含有參數(shù)的問(wèn)題(含參型)，主要包括：含有參數(shù)的不等式的求解；含有參數(shù)的方程的求解；對(duì)于解析式系數(shù)是參數(shù)的函數(shù)，求最值與單調(diào)性問(wèn)題；二元二次方程表示曲線類型的判定等．求解這類問(wèn)題的一般思路是：結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論．討論時(shí)，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想． 考點(diǎn)十、根據(jù)圖形位置或形狀變動(dòng)分類討論 例10、長(zhǎng)方形ABCD中

36、，|AB|＝4，|BC|＝8，在BC邊上取一點(diǎn)P，使|BP|＝t，線段AP的垂直平分線與長(zhǎng)方形的邊的交點(diǎn)為Q，R時(shí)，用t表示|QR|. 思路點(diǎn)撥：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)法求出點(diǎn)Q，R的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式建模． y＝4， 可得Q，R， 這時(shí)|QR|＝ ； 當(dāng)4＜t≤8時(shí)，Q，R兩點(diǎn)分別在BC，AD上， 對(duì)方程①分別令y＝0和y＝4， 可得Q，R， 這時(shí)|QR|＝. 綜上所述：當(dāng)0≤t≤8－4時(shí)，|QR|＝2； 當(dāng)8－4＜t≤4時(shí)，|QR|＝ ； 當(dāng)4＜t≤8時(shí)，|QR|＝. 【規(guī)律方法】 一般由圖形的位置或形狀變動(dòng)引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的變動(dòng)；函數(shù)問(wèn)

37、題中區(qū)間的變動(dòng)；函數(shù)圖象形狀的變動(dòng)；直線由斜率引起的位置變動(dòng)；圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變動(dòng)或由離心率引起的形狀變動(dòng)；立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變動(dòng)等． 【小結(jié)反思】 1．分類討論的思想方法的步驟：(1)確定標(biāo)準(zhǔn)；(2)合理分類；(3)逐類討論；(4)歸納總結(jié)． 2．簡(jiǎn)化分類討論的策略：(1)消去參數(shù)；(2)整體換元；(3)變更主元；(4)考慮反面；(5)整體變形；(6)數(shù)形結(jié)合；(7)縮小范圍等． 3．進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論．其中最重要的一條是“不漏不重”． 4．解題時(shí)把好“四關(guān)”．

38、 (1)要深刻理解基本知識(shí)與基本原理，把好“基礎(chǔ)關(guān)”； (2)要找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn)，把好“分類關(guān)”； (3)要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)”； (4)要注意對(duì)照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗(yàn)關(guān)”． 考點(diǎn)十一、 數(shù)列問(wèn)題化歸為函數(shù)問(wèn)題解決 例11、某廠2016年生產(chǎn)利潤(rùn)逐月增加，且每月增加的利潤(rùn)相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，1月份投入資金建設(shè)恰好與1月份的利潤(rùn)相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤(rùn)相同，則全年總利潤(rùn)M與全年總投入N的大小關(guān)系是(　　) A．M>N　　　　　　　　B．M

39、N D．無(wú)法確定 【答案】A 【解析】每月的利潤(rùn)組成一個(gè)等差數(shù)列{an}，且公差d＞0，每月的投入資金組成一個(gè)等比數(shù)列{bn}，且公比q＞1.a1＝b1，且a12＝b12，比較S12與T12的大?。糁苯忧蠛停茈y比較出其大小，但注意到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的一些點(diǎn)列．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式bn＝a1qn－1是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點(diǎn)列． 在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，直觀地可以看出ai≥bi，則S12＞T12，即M＞N. 點(diǎn)評(píng)：把一個(gè)原本是求和的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到各項(xiàng)的逐一比較大小，而一次函

40、數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是學(xué)生所熟悉的．在對(duì)問(wèn)題的化歸過(guò)程中進(jìn)一步挖掘了問(wèn)題的內(nèi)涵，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的反思、再加工后，使問(wèn)題直觀、形象，使解答更清新． 考點(diǎn)十二、立體幾何問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化得以解決 例12、 在三棱錐PABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝l，PA，BC的公垂線ED＝h.求證：三棱錐PABC的體積V＝l2h. 思路點(diǎn)撥：如視P為頂點(diǎn)，△ABC為底面，則無(wú)論是S△ABC以及高h(yuǎn)都不好求．如果觀察圖形，換個(gè)角度看問(wèn)題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境． 點(diǎn)評(píng)：輔助截面ECB的添設(shè)使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，迎刃而解． 考點(diǎn)十三、函數(shù)與不等式中變換主元將二次函數(shù)問(wèn)題化歸為

41、一次函數(shù)解決 例13、若不等式x2＋px＞4x＋p－3對(duì)一切0≤p≤4均成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍． 點(diǎn)評(píng)：在有幾個(gè)變量的問(wèn)題中，常常有一個(gè)變量處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢(shì)的影響，在解決這類問(wèn)題時(shí)，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的．但在某些特定條件下，此路往往不通，這時(shí)若能變更主元，轉(zhuǎn)變其他變量在問(wèn)題中的地位，就能使問(wèn)題迎刃而解．本題中，若視x為主元來(lái)處理，既繁且易出錯(cuò)，將主元進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題變成關(guān)于p的一次不等式，問(wèn)題實(shí)現(xiàn)了從高維向低維的轉(zhuǎn)化，解題簡(jiǎn)單易行． 【小結(jié)反思】 1．化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則： (1)熟悉化原則．將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的

42、問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決． (2)簡(jiǎn)單化原則．將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)． (3)和諧化原則．化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律． (4)直觀化原則．將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決． (5)正難則反原則．當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解． 2．熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺(jué)的化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)，需要對(duì)定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對(duì)典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動(dòng)有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系． “抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙． 3．為了實(shí)施有效的化歸，既可以變更問(wèn)題的條件，也可以變更問(wèn)題的結(jié)論；既可以變換問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，也可以變換問(wèn)題的外部形式；既可以從代數(shù)的角度去認(rèn)識(shí)問(wèn)題，也可以從幾何的角度去認(rèn)識(shí)問(wèn)題． 23