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1、高考專題突破五高考中的圓錐曲線問題考點自測課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引考點自測考點自測1.(2015課標全國改編)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為_.答案解析則AB2a，由雙曲線的對稱性，可設點M(x1，y1)在第一象限內，過M作MNx軸于點N(x1，0)，ABM為等腰三角形，且ABM120，BMAB2a，MBN60，答案解析2.如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)( ，0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足OPOF，且PF4，則橢圓C的方程為_. 右焦點為F，連結PF，如圖所示，由OPOFOF知，F(xiàn)PF90，即FPPF.在RtP

2、FF中，由勾股定理，由橢圓定義，得PFPF2a4812，3.(2017山西質量監(jiān)測)已知A，B分別為橢圓 1(ab0)的右頂點和上頂點，直線ykx(k0)與橢圓交于C，D兩點，若四邊形ACBD的面積的最大值為2c2，則橢圓的離心率為_.答案解析 設C(x1，y1)(x10)，D(x2，y2)，將ykx代入橢圓方程可解得 即2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2，2c4a2c2a40，2e4e210，4.(2016北京)雙曲線 1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則a_.答案解析2 設B為雙曲線的右焦點，如圖所示

3、.四邊形OABC為正方形且邊長為2，又a2b2c28，a2.答案解析5.已知雙曲線 1(a0，b0)和橢圓 1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為_.題型分類題型分類深度剖析深度剖析例例1已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為 ，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，則橢圓的方程為_.題型一求圓錐曲線的標準方程題型一求圓錐曲線的標準方程答案解析由PF1PF2知，PF2垂直于長軸.求圓錐曲線的標準方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質，解得標準方程中的參數(shù)，從而求得方程.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練1 (2015天津改編)已知雙曲線

4、 1(a0，b0 )的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為_.答案解析 則a2b24，例例2(1)(2015湖南改編)若雙曲線 1的一條漸近線經(jīng)過點(3，4)，則此雙曲線的離心率為_.題型二圓錐曲線的幾何性質題型二圓錐曲線的幾何性質答案解析即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，答案解析圓錐曲線的幾何性質是高考考查的重點，求離心率、準線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問題的關鍵是熟練掌握各性質的定義，及相關參數(shù)間的聯(lián)系.掌握一些常用的結論及變形技巧，有助于提高運算能力.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練2 已知橢圓 1(ab0)與拋物線y22p

5、x(p0)有相同的焦點F，P，Q是橢圓與拋物線的交點，若PQ經(jīng)過焦點F，則橢圓 1(ab0)的離心率為_.答案解析PFp，EFp.題型三最值、范圍問題題型三最值、范圍問題例例3設橢圓M： 1(ab0)的離心率與雙曲線x2y21的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為4.(1)求橢圓M的方程；解答幾何畫板展示幾何畫板展示(2)若直線y xm交橢圓M于A，B兩點，P(1， )為橢圓M上一點，求PAB面積的最大值.解答圓錐曲線中的最值、范圍問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何

6、性質的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值與范圍.思維升華 跟蹤訓練跟蹤訓練3(2016鹽城一模)如圖，曲線由兩個橢圓T1： 1(ab0)和橢圓T2： 1(bc0)組成，當a，b，c成等比數(shù)列時，稱曲線為“貓眼”.(1)若“貓眼曲線”過點M(0， )，且a，b，c的公比為 ，求“貓眼曲線”的方程； 解答a2，c1，幾何畫板展示幾何畫板展示(2)對于(1)中的“貓眼曲線”，任作斜率為k(k0)且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓T1所得弦的中點為M，交橢圓T2所得弦的中點為N，求證： 為與k無關的定值；證明 設斜率為k的直線交橢圓T1于點C(x1，y1)，D(x2，y2) ，線段CD的中點為M(

7、x0，y0)，k存在且k0，x1x2且x00，(3)若斜率為 的直線l為橢圓T2的切線，且交橢圓T1于點A，B，N為橢圓T1上的任意一點(點N與點A，B不重合)，求ABN面積的最大值.解答 由0，化簡得m2b22c2， 由0，得m2b22a2，題型四定值、定點問題題型四定值、定點問題例例4(2016全國乙卷)設圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明EAEB為定值，并寫出點E的軌跡方程；解答幾何畫板展示幾何畫板展示 因為ADAC，EBAC，故EBDACDADC，所以EBED，故EAEBEAEDAD.又

8、圓A的標準方程為(x1)2y216，從而AD4，所以EAEB4.由題設得A(1,0)，B(1,0)，AB2，(2)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.解答 當l與x軸不垂直時，設l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2). 故四邊形MPNQ的面積當l與x軸垂直時，其方程為x1，MN3，PQ8，四邊形MPNQ的面積為12.求定點及定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.思維升華 跟蹤訓

9、練跟蹤訓練4(2016北京)已知橢圓C： 1(ab0)的離心率為 ，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；解答幾何畫板展示幾何畫板展示(2)設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：ANBM為定值.證明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1). 當x00時，y01，BM2，AN2，ANBM4.故ANBM為定值. 題型五探索性問題題型五探索性問題例例5(2015廣東)已知過原點的動直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點A，B.(1)求圓C1的圓心坐標；解答圓C1：x2y26x50可化為(x3)2y24，圓C1的

10、圓心坐標為(3,0).幾何畫板展示幾何畫板展示(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程；解答 設M(x，y)，A，B為過原點的直線l與圓C1的交點，且M為AB的中點，由圓的性質知MC1MO，由向量的數(shù)量積公式得x23xy20.易知直線l的斜率存在，設直線l的方程為ymx， 把相切時直線l的方程代入圓C1的方程，當直線l經(jīng)過圓C1的圓心時，M的坐標為(3,0).又直線l與圓C1交于A，B兩點，M為AB的中點，(3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.解答 由題意知直線L表示過定點(4,0)，斜率為k的直線，若直線L與曲線C只有

11、一個交點，令f(x)0. 當0時，若x3是方程的解， (1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練5 (2016蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江二模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C： (ab0)的離心率為 ，且過點(1， )，過橢圓的左頂點A作直線lx軸，點M為直線l上的動點(點M與點A不重合)，點B為橢圓的

12、右頂點，直線BM交橢圓C于點P.(1)求橢圓C的方程；解答幾何畫板展示幾何畫板展示 所以a22c2，所以a22b2.(2)求證：APOM；證明 設直線BM的斜率為k，則直線BM的方程為yk(x2)，設P(x1，y1)，化簡得(2k21)x28k2x8k240，令x2，得y4k， 所以APOM.解答 課時作業(yè)課時作業(yè)解答(1)求橢圓E的方程；12345 12345(2)經(jīng)過點(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q(均異于點A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.證明12345 由題設知，直線PQ的方程為yk(x1)1(k2)，代入 y21，得(12k2)x24k(k1)x2k

13、(k2)0，由已知0，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，123452.已知雙曲線C：1(a0，b0)的焦距為3 ，其中一條漸近線的方程為x y0.以雙曲線C的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E，過原點O的動直線與橢圓E交于A，B兩點.(1)求橢圓E的方程；解答12345 1234512345解答 設A(x1，y1)，則B(x1，y1)，12345 123453.已知橢圓 1的左頂點為A，右焦點為F，過點F的直線交橢圓于B，C兩點.(1)求該橢圓的離心率；解答12345(2)設直線AB和AC分別與直線x4交于點M，N，問：x軸上是否存在定點P使得MPNP？若存在，求出點P的坐標；

14、若不存在，說明理由.解答12345依題意，直線BC的斜率不為0，設其方程為xty1，B(x1，y1)，C(x2，y2)，假設x軸上存在定點P(p,0)使得MPNP，12345將x1ty11，x2ty21代入上式，整理得即(p4)290，解得p1或p7.所以x軸上存在定點P(1,0)或P(7,0)，使得MPNP.123454.已知橢圓 1(ab0)的離心率為 ，且經(jīng)過點P(1， )，過它的左，右焦點F1，F(xiàn)2分別作直線l1與l2，l1交橢圓于A，B兩點，l2交橢圓于C，D兩點，且l1l2.解答(1)求橢圓的標準方程；將點P的坐標代入橢圓方程得c21，12345解答(2)求四邊形ACBD的面積S的

15、取值范圍.12345若l1與l2中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時四邊形的面積S6.若l1與l2的斜率都存在，設l1的斜率為k，則直線l1的方程為yk(x1).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345消去y并整理得(4k23)x28k2x4k2120.注意到方程的結構特征和圖形的對稱性，12345令k2t(0，)，12345*5.(2016鹽城三模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C： 1(ab0)的離心率為 ，直線l與x軸交于點E，與橢圓C交于A，B兩點.當直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的右焦點時，弦AB的長為 . 解答(1)求橢圓C的方程；12345因為直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的右焦點，12345解答(2)若點E的坐標為( ，0)，點A在第一象限且橫坐標為 ，連結點A與原點O的直線交橢圓C于另一點P，求PAB的面積；12345 12345 12345解答(3)是否存在點E，使得 為定值？若存在，請指出點E的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由.12345 當直線AB與x軸垂直時，12345 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345 12345