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1、平面與平面平行的判定 教案 教學(xué)目標(biāo) 1.使學(xué)生理解和掌握兩個平面平行的判定定理及應(yīng)用； 2.加深學(xué)生對轉(zhuǎn)化的思想方法的理解及應(yīng)用. 教學(xué)重點和難點 重點:兩個平面平行的判定定理； 難點:兩個平面平行的判定定理的證明. 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)提問 師:上節(jié)課我們研究了兩個平面的位置關(guān)系，請同學(xué)們回憶一下，兩個平面平行的意義是什么？ 生:兩個平面沒有公共點. 師:對，如果兩個平面平行，那么在其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面具有怎樣的位置關(guān)系呢? 生:平行. 師:為什么? 生:用反證法，假設(shè)不平行，則這些線中至少有一條和另一個平面有公共點或在另一個面內(nèi)，而此兩種情況都說明這

2、兩個平面有公共點，與兩個面平行矛盾. 師:證得很好.反過來，如果一個平面內(nèi)的所有直線都和另一個平面平行，那么這兩個平面平行.由以上結(jié)論，就可以把兩個平面平行的問題轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線和另一個平面平 行的問題.但要注意:兩個平面平行，雖然一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面，但這兩個平面內(nèi)的所有直線并不一定互相平行，它們可能是平行直線也可能是異面直線，但不可能是相交直線. 〔對舊知識復(fù)習(xí)，又有深入，同時又點出了“轉(zhuǎn)化”的思想方法，為引入新課作鋪墊〕 二、新課 師:接下來，我們共同對兩個平面平行作定性研究，先來研究兩個平面平行的判定——具有什么條件的兩個平面是平行的呢? 生:根據(jù)兩個

3、平面平行的定義，只要能證明一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行，就可得出兩個平面平行. 師:很好，實質(zhì)就是由線面平行來得到面面平行.而實際上，判定兩個平面平行，并不需要一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面. 下面我們共同研究判定兩個平面平行的其它方法，請大家思考以下幾個命題. (1)平面α內(nèi)有一條直線與平面β平行，則α∥β，對嗎? (2)平面α內(nèi)有兩條直線與平面β平行，則α∥β，對嗎? 〔學(xué)生討論回答，并舉出反例，得(1)，(2)不對，教師接著問〕 (3)平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，則α∥β，對嗎? 〔教師對學(xué)生的回答，作出適當(dāng)評述〕 師:以上三個命題均為假命題，那

4、么，怎樣修改一下命題的條件，就可得出正確結(jié)論? 〔學(xué)生討論后，教師請一名同學(xué)回答〕 生:把條件改為:一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面. 師:說說你的想法. 生:我想，兩條相交直線確定一個平面，若它們分別與另一個平面平行，則所確定的平面也一定與這個平面平行. ［此是學(xué)生的猜想，教師給予肯定，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格論證］ 師:下面我們來證明.先把命題完整的表述出來. 生:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行. ［教師板書，畫圖，并請一位學(xué)生寫出已知，求證］ 已知:在平面β內(nèi)，有兩條相交直線a,b和平面α平行. 求證:α∥β. 師:欲證α∥β

5、，而我們只知兩個平面平行的定義，顯然，若直接用定義證明，不很方便，大家看怎么辦? 生:用反證法. 〔學(xué)生并未證明，只提出方法.教師先復(fù)習(xí)反證法的步驟:(1)否定結(jié)論，(2)推出矛盾， (3)得出結(jié)論.然后提出問題，讓學(xué)生討論，以引導(dǎo)學(xué)生用反證法得出結(jié)論〕 師:問，(1)如果平面α與平面β不平行，那么它們的位置關(guān)系怎樣. (2)如果平面α與平面β相交，那么交線與平行于平面α的直線a和b有什么關(guān)系? (3)相交直線a和b都與交線平行合理嗎?錯誤結(jié)論是如何產(chǎn)生的? ［教師根據(jù)學(xué)生回答，依次提出問題，同時板書該命題的證明過程］ 證明:假設(shè)α∩β=c. 因為a∥α，aβ， 所以a∥

6、c,同理b∥c,所以a∥b. 這與題設(shè)a與b是相交直線矛盾. 故α∥β. 師:以上我們用反證法證明了命題的正確性.我們就把這一命題作為兩個平面平行的判定定理之一.該定理是用來判定兩個平面平行的，應(yīng)用時關(guān)鍵是在一個平面內(nèi)尋找兩條相交直線，并證明與另外一個平面平行.也就是說:欲證面面平行要先轉(zhuǎn)化為線面平行.而轉(zhuǎn)化的思想方法是數(shù)學(xué)思維的重要方法之一，也是立體幾何中，解決問題常用的方法. ［教師在該命題前寫上:兩個平面平行的判定定理，以強調(diào)本節(jié)課的重點］ 師:在現(xiàn)實生活中，該定理應(yīng)用比較廣泛，比如:木工師傅為了檢查一個平面是否水平時，往往用水準(zhǔn)器在這個平面上交叉放兩次，水準(zhǔn)器的氣泡如果兩次都

7、是居中的，就可以判定這個平面是水平的，否則就不是水平的.其理論根據(jù)就是這一判定定理. ［通過實例，證明定理在現(xiàn)實生活中的具體應(yīng)用，貼近學(xué)生生活，更激發(fā)了學(xué)生探求知識的積極性，活躍思］ 師:大家還能發(fā)現(xiàn)哪些判定兩個平面平行的定理呢?(教師巡視，找一名學(xué)生回答) 生:我想，如果兩個平面都垂直同一條直線，那么這兩個平面一定是平行的. 師:想法很好，能否談一談如何得出的? 生:在學(xué)習(xí)平面幾何時，曾有一個定理:垂直于同一條直線的兩條直線平行.我就想，若把其中的兩條直線改為兩個平面，那么這兩個平面會不會是平行的. 師:這位同學(xué)用到了一個重要的研究數(shù)學(xué)問題的方法——類比.就是從已經(jīng)學(xué)過的定理出發(fā)

8、，對其中的某些條件作修改，得出一個新的命題.當(dāng)然，這只是一種猜想，正確與否，還要大家進(jìn)一步證明. 這位同學(xué)的猜想簡單的說就是:垂直于同一條直線的兩個平面平行.下面我們就來證明這一命題. 已知:AA′⊥平面α于A，AA′⊥平面β于A′. 求α∥β. 師:本題要證的是兩個平面平行，有哪些工具呢? 生:兩個面平行的判定定理. 師:應(yīng)用該定理的條件是什么? 生:是其中一面中心須有兩條相交直線與另一面平行. 師:顯然，題目中并不具備這一條件，我們是否改用其它方法? ［學(xué)生激烈討論］ 生甲:直接在平面β內(nèi)作直線a∩b=O，如圖2(教師畫圖，使O與A′不重合，突出矛盾) 生乙:這樣

9、做不好，沒有充分利用題目的已知條件，不妨直接在平面α內(nèi)作直線a∩b=A.而直線a與AA′確定一平面γ，設(shè)γ∩β=a′.能證:a′∥a,則a∥β，得出線面平行.同理也可證b∥β.所以α∥β. 師:不錯.能夠充分的利用題目中的條件，為解決問題帶來大的方便.下面我們把作輔助線的方法，稍作改進(jìn)，寫出證明. 證明:設(shè)經(jīng)過直線AA′的兩個平面γ，δ分別與平面α，β交于直線a,a′和b，b′. 因為 AA′⊥α，AA′⊥β， 所以 AA′⊥a，AA′⊥a′, 故 a∥a′.則a′∥α. 同理 b′∥α， 又因為a′∩b′=A， 所以α∥β. 師:通過類比的方法，證明得到了兩平面

10、平行的又一個判定定理，它是在上一個判定定理的基礎(chǔ)上得到的.要注意的是，為了得到兩條相交直線，并未直接在一個面內(nèi)作，而是過AA′作兩個相交平面δ，γ，它們分別與α，β相交，得到相交直線.由線線平行，得線面平行，最后證明面面平行.這一證明方法是轉(zhuǎn)化的思想方法的又一體現(xiàn). 生:在上題的證明過程中，我發(fā)現(xiàn):“如果一個平面內(nèi)兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面平行.”這樣就可直接由線線平行證面面平行，不知對不對? 師與生:對. ［在授課過程中，學(xué)生往往能根據(jù)所研究問題，思考得到自己的想法，這是學(xué)生深入課堂，積極思維的一種體現(xiàn)，也是課堂上的一種反饋，教師應(yīng)抓住機會，熱情鼓

11、勵，同時給出肯定或否定的答復(fù)］ 師:想法很好，大家能證明嗎?(學(xué)生議論)對，用第一個判定定理很快就能證明.但此命題不易作為判定定理直接應(yīng)用.不過這一命題為我們今后判定兩個平面平行提供了一條思路. 三、例題分析 ［通過例題分析，復(fù)習(xí)鞏固本節(jié)課的主要內(nèi)容］ 師:前面我們得到了兩個平面平行的判定定理，為方便，把前者叫判定定理，后者叫判定定理二.下面通過例題來分析如何使用判定定理. 例 已知正方體ABCD-A1B1C1D1. 求證:平面AB1D1∥平面C1BD. 師:欲證面面平行，由兩個判定定理，必須有線面平行或是線面垂直.而題目所給的是正方體及體內(nèi)的截面，隱含較多的線面平行的位置關(guān)系.

12、我們先來考慮應(yīng)用判定定理一. 生:因為ABCD-A1B1C1D1為正方體， 所以 D1C1∥=A1B1，AB∥=A1B1， 所以 D1C1∥=AB， 所以 D1C1BA為平行四邊形， 所以 D1A∥C1B， 因為 C1B平面C1BD， 故 D1A∥平面C1BD. 同理 D1B1∥平面C1BD. 又 D1A∩D1B1=D1, 所以 平面AB1D1∥平面C1BD. 師:大家再思考，能否用判定定理二來證明呢? ［學(xué)生有的思考，有的議論］ 師:若要用判定定理二，遇到的問題是什么? 生:條件中沒有直接與面AB1D1和面BC1D垂直的直線. 師:能解決嗎

13、? 生:作輔助線.連結(jié)A1C，證明它與兩個面都平行. 師:要證線面垂直，要先轉(zhuǎn)化為線線垂直.證明線線垂直的一個重要方法是什么? 生:三垂線定理及其逆定理.連結(jié)AC.可證A1C⊥BD. ［至此，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，已基本解決問題，把證明過程規(guī)范化］ 證明:連結(jié)A1C，AC， 因為 ABCD-A1B1C1D1為正方體， 所以 A1A⊥平面ABCD. 所以 AC為A1C在面ABCD上的射影. 又因為 BD⊥AC，且BD面ABCD， 所以 A1C⊥BD. 同理: A1C⊥BC1. 又因為 BD∩BC1=B， 所以 A1C⊥面C1BD. 同理:A1C⊥平面A

14、B1D1， 所以 平面AB1D1∥平面C1BD. ［通過一題多解，訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性］ 小結(jié) 1.由學(xué)生用文字語言和符號語言兩種形式表述面面平行的兩個判定定理.教師指出，兩個判定定理是判定面面平行的兩個基本的理論工具. 2.空間兩條直線平行，直線與平面平行，以及兩個平面平行，三類平行關(guān)系的聯(lián)系十分密切，它們相互依賴，相互轉(zhuǎn)化.在實際運用中，我們可以通過線線平行，或線面平行來推論平面與平面平行. 3.轉(zhuǎn)化的思想方法，是數(shù)學(xué)思維的重要方法.解決數(shù)學(xué)問題的過程實質(zhì)就是一個轉(zhuǎn)化的過程，同學(xué)們要認(rèn)真掌握. 布置作業(yè) 課本p.38習(xí)題五1，3. 課堂教學(xué)設(shè)計說明 1.指導(dǎo)思想 這

15、節(jié)課本著“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，課本為主線”的原則進(jìn)行設(shè)計.教師的主導(dǎo)作用，在于激發(fā)學(xué)生的求知欲，通過教師在課堂上的精心設(shè)計，以啟發(fā)式教學(xué)為主，引導(dǎo)學(xué)生步入問題情境，同時發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，師生共同推進(jìn)課堂教學(xué)活動，使學(xué)生有一個積極的態(tài)度接受新知識. 學(xué)生是課堂教學(xué)的主體.教師就是要引導(dǎo)學(xué)生討論、學(xué)生發(fā)言，使得學(xué)生參加到數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，使得學(xué)生興趣盎然，思維活躍，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生獨立思考問題的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，教師要注重學(xué)生的活動，同時給于肯定及鼓勵. 2.教學(xué)實施 (1)復(fù)習(xí)提問，不僅是舊知識的復(fù)習(xí)，而是有所深入、提高，同時在思維方法明確轉(zhuǎn)化的思想方法. (2)在

16、講解兩個平面平行的判定定理一時，教師不要急于得出結(jié)論，而是設(shè)計三個問題，逐步深入，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提高了學(xué)生解決問題的興趣.又考慮到:反證法是高一立體幾何中的一個重要而又難掌握的方法，雖然前幾節(jié)課有所接觸，然而對于同學(xué)而言仍屬難點，為了分解難點，在學(xué)生提出用反證法之后，仍根據(jù)反證法的步驟，依次提出三個問題，引導(dǎo)學(xué)生證明，使證明方法容易接受. 對于定理二，突出類比方法在解決問題中的應(yīng)用及證明過程中的轉(zhuǎn)化思想. (3)在選擇例題時，講求不要多，而要精，精心選擇例題，使它確實能夠起到復(fù)習(xí)、鞏固本節(jié)課所學(xué)知識的作用.本節(jié)課所選的例題，比較簡單.特別是兩種證明方法中，第一種容易想到.但在引導(dǎo)學(xué)生得出第一種證明方法后，不能滿足，而應(yīng)啟發(fā)學(xué)生，運用其它知識想更多的方法進(jìn)行證明.當(dāng)然，第二種方法比較難，特別是輔助線不易想到，教師在講解時要慢慢啟發(fā).一題多解，是訓(xùn)練學(xué)生思維的一個較好的方式. 第 12 頁 共 12 頁