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1、第六章 數(shù) 列 第1講 數(shù)列的概念與簡單表示法 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列{an}：1，－，，－，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是(　　) A．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(n∈N＋) B．a(chǎn)n＝(－1)n－1(n∈N＋) C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(n∈N＋) D．a(chǎn)n＝(－1)n－1(n∈N＋) 解析 觀察數(shù)列{an}各項(xiàng)，可寫成：，－，，－，故選D. 答案　D 2．把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示)． 則第七個(gè)三角形數(shù)是(　　)． A．27 B．28 C．29 D．30 解析　觀察三角形數(shù)

2、的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)多的點(diǎn)數(shù)正好是本身的序號(hào)，所以根據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算即可．根據(jù)三角形數(shù)的增長規(guī)律可知第七個(gè)三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 答案　B 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5＝ (　　)． A．－16 B．16 C．31 D．32 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1， 又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)． ∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16. 答案　B 4．將石子擺成如圖的

3、梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，…為梯形數(shù)，根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 014項(xiàng)與5的差即a2 014－5＝(　　)． A．2 020×2 012 B．2 020×2 013 C．1 010×2 012 D．1 010×2 013 解析　結(jié)合圖形可知，該數(shù)列的第n項(xiàng)an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故選D. 答案　D 5．在數(shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是 (　　)． A．103 B. C. D．108 解析　根據(jù)題意并結(jié)合二次函

4、數(shù)的性質(zhì)可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋， ∴n＝7時(shí)，an取得最大值，最大項(xiàng)a7的值為108. 答案　D 6．定義運(yùn)算“*”，對(duì)任意a，b∈R，滿足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝n**0，則數(shù)列{an}為(　　)． A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列 C．遞增數(shù)列 D．遞減數(shù)列 解析　由題意知an＝*0＝0]n·＋(n*0)＋)＝1＋n＋，顯然數(shù)列{an} 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列；又函數(shù)y＝x＋在[1，＋∞)上為增函數(shù)， 所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．

5、答案　C 二、填空題 7．在函數(shù)f(x)＝中，令x＝1,2,3，…，得到一個(gè)數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)是________． 答案　1，，，2， 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則a2＝________；an＝________. 解析　由an＝n(an＋1－an)，可得＝， 則an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n. 答案　2　n 9．已知f(x)為偶函數(shù)，f(2＋x)＝f(2－x)，當(dāng)－2≤x≤0時(shí)，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，則a2 013＝________. 解析　∵f(x)為偶函數(shù)，∴f

6、(x)＝f(－x)， ∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)． 故f(x)周期為4， ∴a2 013＝f(2 013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝. 答案　 10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足5＜ak＜8，則k的值為________． 解析　∵Sn＝n2－9n， ∴n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－10， a1＝S1＝－8適合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)， ∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8. 答案　8 三、解答題 11．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2－7n＋6. (1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？ (2)

7、150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？ (3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)？ 解 (1)當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16，即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng)． (3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)， ∴從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)． 12．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：成等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (1)證明　當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所

8、以－＝2， 又＝＝2，故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列． (2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝不適合上式． 故an＝ 13．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍． 解　(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)， 又S1－31＝a－3(a≠3)，故數(shù)列{Sn－3n}是

9、首項(xiàng)為a－3，公比為2的等比數(shù)列， 因此，所求通項(xiàng)公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*， 于是，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a不適合上式， 故an＝ an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2 ＝2n－2， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1≥an?12·n－2＋a－3≥0?a≥－9. 又a2＝a1＋3>a1. 綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)． 14．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a

10、4＋a5＝84，a9＝73. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)對(duì)任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù) 列{bm}的前m項(xiàng)和Sm. 解　(1)因?yàn)閧an}是一個(gè)等差數(shù)列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1. 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)對(duì)m∈N*，若9m＜an＜92m， 則9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1， 故得bm＝92m－1－9m－1. 于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm ＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1) ＝－ ＝.