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1、 專題14 二項式定理及數(shù)學歸納法 【2018年高考考綱解讀】 高考對本內(nèi)容的考查主要有： (1) 二項式定理的簡單應用，B級要求； (2)數(shù)學歸納法的簡單應用，B級要求 【重點、難點剖析】 1．二項式定理 (1)二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，上式中右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中C(r＝1,2,3，…，n)叫做二項式系數(shù)，式中第r＋1項叫做展開式的通項，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Can－rbr； (2)(a＋b)n展開式中二項式系數(shù)C(r＝1,2,3，…，n)的性質(zhì)： ①與首末兩端“等距離”的兩項的二

2、項式系數(shù)相等，即C＝C； ②C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. 2．二項式定理的應用 (1)求二項式定理中有關系數(shù)的和通常用“賦值法”． (2)二項式展開式的通項公式Tr＋1＝Can－rbr是展開式的第r＋1項，而不是第r項． 3．數(shù)學歸納法 運用數(shù)學歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對從n0開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可． 4．數(shù)學歸納法的應用

3、 (1)利用數(shù)學歸納法證明代數(shù)恒等式的關鍵是將式子轉(zhuǎn)化為與歸納假設的結(jié)構(gòu)相同的形式，然后利用歸納假設，經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論． (2)利用數(shù)學歸納法證明三角恒等式時，常運用有關的三角知識、三角公式，要掌握三角變換方法． (3)利用數(shù)學歸納法證明不等式問題時，在由n＝k成立，推導n＝k＋1成立時，過去講的證明不等式的方法在此都可利用． (4)用數(shù)學歸納法證明整除性問題時，可把n＝k＋1時的被除式變形為一部分能利用歸納假設的形式，另一部分能被除式整除的形式. (5)解題時經(jīng)常用到“歸納——猜想——證明”的思維模式． 【題型示例】 題型一　二項式定理的應用 【例1】【2017課標1，

4、理6】展開式中的系數(shù)為 A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【變式探究】【2016年高考北京理數(shù)】在的展開式中，的系數(shù)為__________________.（用數(shù)字作答） 【答案】60. 【解析】根據(jù)二項展開的通項公式可知，的系數(shù)為。 【變式探究】(2015·新課標全國Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 解析　Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2. ∴C(x2＋x)3y2的第r＋1項為CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x

5、5y2的系數(shù)為CC＝30. 答案　C 【變式探究】(1)(2014·遼寧五校聯(lián)考)若n展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項是(　　) A．360 B．180 C．90 D．45 (2)(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 【命題意圖】　(1)本題主要考查二項展開式的通項、系數(shù)問題，對思維能力有一定要求． (2)本題主要考查二項展開式的系數(shù)問題，需要考生結(jié)

6、合二項式定理進行求解． 【答案】(1)B　(2)C 【感悟提升】二項式定理是一個恒等式，對待恒等式通常有兩種思路：一是利用恒等定理(兩個多項式恒等，則對應項系數(shù)相等)；二是賦值，這兩種思路相結(jié)合可以使得二項展開式的系數(shù)問題迎刃而解． 另外，通項公式主要用于求二項式的指數(shù)，求滿足條件的項或系數(shù)，求展開式的某一項或系數(shù)，在運用公式時要注意以下幾點： (1)Can－rbr是第r＋1項，而不是第r項； (2)運用通項公式Tr＋1＝Can－rbr解題，一般都需先轉(zhuǎn)化為方程(組)求出n，r，然后代入通項公式求解； (3)求展開式的特殊項，通常都是由題意列方程求出r，再求出所需的某項；有時需先求

7、n，計算時要注意n和r的取值范圍及它們之間的大小關系． 【舉一反三】1.(2015·北京，9)在(2＋x)5的展開式中，x3的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)． 解析　展開式通項為：Tr＋1＝C25－rxr，∴當r＝3時，系數(shù)為C·25－3＝40. 答案　40 2.(2015·天津，12)在的展開式中，x2的系數(shù)為________． 解析　的展開式的通項Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r； 當6－2r＝2時，r＝2，所以x2的系數(shù)為 C＝. 答案　 【變式探究】已知an＝(1＋)n(n∈N*) (1)若an＝a＋b(a，b∈Z)，求證：a是奇數(shù)； (2)求證：對于任意

8、n∈N*都存在正整數(shù)k，使得an＝＋. 【證明】(1)由二項式定理，得an＝C＋C＋C()2＋C()3＋…＋C()n， 所以a＝C＋C()2＋C()4＋…＝1＋2C＋22C＋…， 因為2C＋22C＋…為偶數(shù)，所以a是奇數(shù)． (2)由(1)設an＝(1＋)n＝a＋b(a，b∈Z)，則(1－)n＝a－b， 所以a2－2b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)n(1－)n＝(1－2)n， 當n為偶數(shù)時，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得an＝a＋b＝＋＝＋， 當n為奇數(shù)時，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得an＝a＋b＝＋＝＋， 綜上，對于任意n∈N*，都存在正整數(shù)k，使得an＝＋

9、. 【規(guī)律方法】二項式系數(shù)的最大項與展開式系數(shù)的最大項不同，本題的第r＋1項的二項式系數(shù)是C，而展開式系數(shù)卻是2rC，解題時要分清． 【變式探究】已知數(shù)列{an}的首項為1，p(x)＝a1C(1－x)n＋a2Cx(1－x)n－1＋a3Cx2(1－x)n－2＋…＋anCxn－1(1－x)＋an＋1Cxn (1)若數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，求p(－1)的值； (2)若數(shù)列{an}是公比為2的等差數(shù)列，求證：p(x)是關于x的一次多項式． (2)證明　若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，則an＝2n－1. p(x)＝a1C(1－x)n＋a2Cx(1－x)n－1＋…＋anCxn－

10、1·(1－x)＋an＋1Cxn ＝C(1－x)n＋(1＋2)Cx(1－x)n－1＋(1＋4)Cx2(1－x)n－2＋…＋(1＋2n)Cxn ＝[C(1－x)n＋C1nx(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxn]＋2[Cx(1－x)n－1＋2Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxn]． 由二項式定理知， C(1－x)n＋Cx(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxn＝[(1－x)＋x]n＝1. 因為kC＝k·＝n·＝nC， 所以Cx(1－x)n－1＋2Cx2(1－x)n－2＋…＋nCxn ＝nCx(1－x)n－1＋nCx2(1－x)n－2＋…＋nCxn ＝nx[C

11、(1－x)n－1＋Cx(1－x)n－2＋…＋Cxn－1] ＝nx[(1－x)＋x]n－1＝nx， 所以p(x)＝1＋2nx. 即p(x)是關于x的一次多項式． 題型二 二項展開式中的常數(shù)項 例2．【2016年高考四川理數(shù)】設i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項為 （A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4 【答案】A 【解析】二項式展開的通項，令，得，則展開式中含的項為，故選A. 【變式探究】(2015·湖南，6)已知的展開式中含x的項的系數(shù)為30，則a＝(　　) A. B．－ C．6 D．－6 【

12、變式探究】使得(n∈N＋)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　展開式的通項公式為Tk＋1＝C(3x)n－kk＝C3n－kxn－.由n－＝0得n＝，所以當k＝2時，n有最小值5，選B. 答案　B 【舉一反三】設函數(shù)f(x)＝則當x>0時，f[f(x)]表達式的展開式中常數(shù)項為(　　) A．－20 B．20 C．－15 D．15 解析　當x>0時，f[f(x)]＝＝的展開式中，常數(shù)項為C3(－)3＝－20.所以選A. 答案　A 題型三　二項式定理的綜合應用 例3．【2017山東，理11】已知的展開式中含有項的系數(shù)

13、是，則 . 【答案】4 【解析】由二項式定理的通項公式，令得：，解得． 【變式探究】【2016高考山東理數(shù)】若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是—80，則實數(shù)a=_______. 【答案】－2 【解析】因為，所以由，因此 【變式探究】(2015·陜西，4)二項式(x＋1)n(n∈N＋)的展開式中x2的系數(shù)為15，則n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　由題意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6. 答案　C 【變式探究】(2014·湖北，2)若二項式的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)a＝(　　) A．2 B.

14、 C．1 D. 解析　Tr＋1＝C·(2x)7－r·＝27－rCar·.令2r－7＝3，則r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1，故選C. 答案　C 【舉一反三【(2014·浙江，5)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 解析　在(1＋x)6的展開式中，xm的系數(shù)為C，在(1＋y)4的展開式中，yn的系數(shù)為C，故f(m，n)＝C·C.從而f(3，0)＝C＝20，f(2，1)＝C·C＝60，f(1，2)＝C·C＝36，f(0，3)

15、＝C＝4，故選C. 答案　C 題型四　數(shù)學歸納法的應用 例4、等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N+，點(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上． (1)求r的值； (2)當b＝2時，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N+)，證明：對任意的n∈N+，不等式··…·＞成立． (2)證明：由(1)知an＝2n－1， 因此bn＝2n(n∈N+)， 所證不等式為··…·＞. ①當n＝1時，左式＝，右式＝， 左式＞右式，所以結(jié)論成立． ②假設n＝k(k≥1，k∈N+)時結(jié)論成立，即··…· ＞，則當n＝k＋1時， ··…

16、··＞·＝， 要證當n＝k＋1時結(jié)論成立， 只需證≥. 即證≥， 由基本不等式知＝≥成立， 故≥成立， 所以，當n＝k＋1時，結(jié)論成立． 由①②可知，n∈N+時，不等式··…·＞ 成立． 【感悟提升】 應用數(shù)學歸納法證明不等式應注意的問題 (1)當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時，若用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法． (2)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時也成立，證明時用上歸納假設后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明． 【變式探究】記…的展開式中，x的系數(shù)為an，x2的系數(shù)為bn，其中n∈N*. (1

17、)求an； (2)是否存在常數(shù)p，q(p＜q)，使bn＝，對n∈N*，n≥2恒成立？證明你的結(jié)論． 【解析】(1)根據(jù)多項式乘法運算法則，得 an＝＋＋…＋＝1－. (2)計算得b2＝，b3＝. 代入bn＝，解得p＝－2，q＝－1. 下面用數(shù)學歸納法證明bn＝＝－＋×(n≥2且n∈N*) ①當n＝2時，b2＝，結(jié)論成立． ②設n＝k時成立，即bk＝－＋×， 則當n＝k＋1時， bk＋1＝bk＋＝－＋×＋－ ＝－＋×. 由①②可得結(jié)論成立． 【規(guī)律方法】運用數(shù)學歸納法證明命題P(n)，由P(k)成立推證P(k＋1)成立，一定要用到條件P(k)，否則不是數(shù)學歸納法證題．

18、 【變式探究】已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)． (1)求證：cos A是有理數(shù)； (2)求證：對任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù)． 【解析】(1)證明　設三邊長分別為a，b，c，cos A＝， ∵a，b，c是有理數(shù)， b2＋c2－a2是有理數(shù)，分母2bc為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法具有封閉性， ∴必為有理數(shù)，∴cos A是有理數(shù)． 解得：cos(k＋1)A＝2cos kAcos A－cos(k－1)A ∵cos A，cos kA，cos(k－1)A均是有理數(shù)， ∴2cos kAcos A－cos(k－1)A是有理數(shù)， ∴cos(k＋1)A是有理數(shù)． 即當n＝k＋1時，結(jié)論成立． 綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù). 9