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1、西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012級 一、填空題（共7題，2分/空，共20分） 1.四點,,,組成的四面體的體積是___16___. 2.已知向量,,,則=__(-2,-1,0)____. 3.點到直線的距離是______________. 4.點到平面的距離是_____________. 5.曲線C:對xoy坐標(biāo)面的射影柱面是_______, 對yoz坐標(biāo)面的射影柱面是___________,對xoz坐標(biāo)面的射影柱面是______________. 6.曲線C:繞軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的曲面方程是_______，曲線C繞軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的曲面方程是__________________.

2、 7.橢球面的體積是_____40π____________. 二、計算題（共4題,第1題10分,第2題15分,第3題20分, 第4題10分,共55分） 1. 過點作3個坐標(biāo)平面的射影點,求過這3個射影點的平面方程.這里是3個非零實數(shù). 解: 設(shè)點在平面上的射影點為，在平面上的射影點為，在平面上的射影點為，則， 于是，，所確定的平面方程是 即 . 2.已知空間兩條直線,. (1)證明和是異面直線;(2)求和間的距離;(3)求公垂線方程. 證明：(1) 的標(biāo)準(zhǔn)方程是，經(jīng)過點，方向向量 的標(biāo)準(zhǔn)方程是，經(jīng)過點，方向向量，于是 ，所以和是異面直線。 (2) 由于，

3、和間的距離 (3)公垂線方程是，即。 3.求曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面方面. 解：設(shè)是母線上任意一點,則過的緯圓方程是，（1） 又 ，（2） 由（1）（2）消去得到. 4.已知單葉雙曲面,為腰橢圓上的點, (1)求經(jīng)過點兩條直母線方程及其夾角; (2)求這兩條直母線所在的平面的方程及平面與腰橢圓所在平面的夾角. 解：(1)設(shè)單葉雙曲面兩直母線方程是與 把點分別代入上面兩方程組，求得代入直母線方程，得到過點的兩條直母線與，即與 兩直母線的方向向量可分別取和，設(shè)兩直母線的夾角是，則有，. （2）兩直母線所在平面的方程是，即 顯然平面與腰橢圓所在的平面的夾角是

4、0. 四、證明題(共2題,第一題10分,第二題15分,共25分) 1.求證:曲線在一個球面上,這里的. 證明:設(shè)，則有，即 所以曲線在球心為,半徑為的球面上。 2.證明:(1)雙曲拋物面的同族的所有直母線都平行于同一平面: (2)雙曲拋物面的同族的兩條直母線異面. 證明: (1) 雙曲拋物面的u族直母線中任一條直母線都平行于平面, v族直母線中任一條直母線都平行于平面, 因而結(jié)論成立.---------5分 (2)不妨取u族直母線來證明，任取u族直母線中兩條直母線 ：①和 ：② 其中.由于①的第一個方程表示的平面平行于②的第一個方程表示的平面,即和在兩個平行平面上,因而和不會相交. 又由于直線的方向向量為 直線的方向向量為 由于,因此和不會平行,從而證明了雙曲拋物面的同族的兩條直母線異面.