《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題5 平面解析幾何 突破點(diǎn)12 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)學(xué)案 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題5 平面解析幾何 突破點(diǎn)12 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)學(xué)案 文（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 突破點(diǎn)12 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) [核心知識(shí)提煉] 提煉1 圓錐曲線的重要性質(zhì) (1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系 ①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝＝； ②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝＝. (2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo) ①雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x；焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)； ②雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)． (3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程 ①拋物線y2＝±2px(p＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝?； ②拋

2、物線x2＝±2py(p＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y＝?. 提煉2 弦長(zhǎng)問題 (1)直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng) 斜率為k的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)時(shí)，|AB|＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2|＝. (2)拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論 設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①x1x2＝，y1y2＝－p2；②弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)；③＋＝；④以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． [高考真題回訪] 回訪1　圓錐曲線的定義與方程 1．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知雙曲線過

3、點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． －y2＝1　[法一：∵雙曲線的漸近線方程為y＝±x， ∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(diǎn)(4，)， ∴λ＝16－4×()2＝4， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 法二：∵漸近線y＝x過點(diǎn)(4,2)，而<2， ∴點(diǎn)(4，)在漸近線y＝x的下方，在y＝－x的上方(如圖)． ∴雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)雙曲線方程為 －＝1(a>0，b>0)． 由已知條件可得 解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1.] 2．(2013·全國(guó)卷Ⅰ改編)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1

4、，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，則C的方程為________． ＋＝1(x≠－2)　[由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R. 因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由橢圓的定義可知，曲線C是以M、N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)．] 回訪2　圓錐曲線的重要性質(zhì) 3．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)若a>1，則雙曲線－y2＝1的離

5、心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞)　　　　 B．(，2) C．(1，) D．(1,2) C　[由題意得雙曲線的離心率e＝. ∴e2＝＝1＋. ∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2， ∴1＜e＜. 故選C.] 4．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. B　[不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0，b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為＋＝1，即bx＋cy－bc ＝0.由題意知＝×2b，解得＝，即e＝.故選B.] 回訪3　弦長(zhǎng)問題 5．(20

6、15·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|＝(　　) A．3　　　　 B．6 C．9　　　　 D．12 B　[拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)， ∴橢圓中c＝2， 又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12， 從而橢圓方程為＋＝1. ∵拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為x＝－2， ∴xA＝xB＝－2， 將xA＝－2代入橢圓方程可得|yA|＝3， 由圖象可知|AB|＝2|yA|＝6. 故選B.] 熱點(diǎn)題型1　圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程 題型分析：圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程是

7、高考常考內(nèi)容，主要以選擇、填空的形式考查，解題時(shí)分兩步走：第一步，依定義定“型”，第二步，待定系數(shù)法求“值”． 【例1】(1)(2017·哈爾濱模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024108】 A.－＝1　　　　 B．－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 (2)(2016·通化一模)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若＝4，則|QF|＝(　　) A.　　　 B．3 C.　　　 D．2 (1)

8、D　(2)B　[(1)根據(jù)題意畫出草圖如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y＝x上． 由△AOF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2. 又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線y＝x上，∴＝tan 60°＝. 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝， ∴雙曲線的方程為x2－＝1.故選D. (2)如圖所示，因?yàn)椋?，所以＝，過點(diǎn)Q作QM⊥l垂足為M，則MQ∥x軸， 所以＝＝，所以|MQ|＝3，由拋物線定義知|QF|＝|QM|＝3.] [方法指津] 求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算” 1．定型，就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程． 2．計(jì)算

9、，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，橢圓常設(shè)mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn＞0)． [變式訓(xùn)練1] (1)(2016·鄭州二模)經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，且漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024109】 A.－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 (2)(2017·衡水模擬)已知A(－1,0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方

10、程為(　　) A.＋＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.＋＝1 (1)A　(2)D　[(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由題意知＝1，解得k＝±，則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為－＝1， 則有解得故選A. (2)由題意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，∴點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，且a＝，c＝1，∴b＝，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1，故選D.] 熱點(diǎn)題型2　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題型分析：圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，其中求圓錐曲線的離心率是最熱門的考點(diǎn)之一，建立關(guān)于a，c的方程或不等式

11、是求解的關(guān)鍵． 【例2】(1)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為(　　) A. B. C. D. (2)(2017·合肥二模)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為e.P是橢圓上一點(diǎn)，滿足PF2⊥F1F2，點(diǎn)Q在線段PF1上，且＝2.若·＝0，則e2＝(　　) A.－1 B．2－ C．2－ D.－2 (1)D　(2)C　[(1)因?yàn)镕是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，所以F(2,0)． 因?yàn)镻F⊥x軸，所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2，yP)． 因?yàn)镻是

12、C上一點(diǎn)，所以4－＝1，解得yP＝±3， 所以P(2，±3)，|PF|＝3. 又因?yàn)锳(1,3)，所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1， 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝. 故選D. (2)由PF2⊥F1F2可得P，不妨設(shè)P，又由＝2得Q，則·＝·＝－＋＝0，整理得b4＝2a2c2，(a2－c2)2＝2a2c2，整理得c4－4a2c2＋a4＝0，即e4－4e2＋1＝0，又橢圓離心率0＜e＜1，解得e2＝2－，故選C.] [方法指津] 1．求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把

13、b用a，c代換，求的值． 2．雙曲線的漸近線的求法及用法 (1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為零，分解因式可得． (2)用法：①可得或的值． ②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程． [變式訓(xùn)練2] (1)(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A. B. C. D．2 (2)(名師押題)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)

14、：04024110】 A. B．2－ C.－2 D.－ (1)A　(2)D　[(1)法一：如圖，因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝＝. 法二：如圖，因?yàn)镸F1⊥x軸， 所以|MF1|＝. 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 tan∠MF2F1＝. 所以＝，即＝，即＝， 整理得c2－ac－a2＝0， 兩邊同除以a2得e2－e－1＝0. 解得e＝(負(fù)值舍去)． (2)設(shè)|F1F2|＝2c，|AF1|＝m， 若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形， ∴|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m. 由橢圓的定義可知△F1AB的周長(zhǎng)為4a， ∴4a＝2m＋m，m＝2(2－)a. ∴|AF2|＝2a－m＝(2－2)a. ∵|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2， ∴4(2－)2a2＋4(－1)2a2＝4c2， ∴e2＝9－6，e＝－.] 9