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1、 專題50 隨機事件的概率 （1）了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別. （2）了解兩個互斥事件的概率加法公式. 一、隨機事件及其概率 1．事件的分類 2．頻率與概率 （1）事件的頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的頻率. （2）事件的概率：對于給定的隨機事件A,由于事件A發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作，稱為事件A的概率，因此可以用來估計概率. 注意：頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值

2、，與試驗次數(shù)有關(guān).概率是一個確定的數(shù)，是客觀存在的,與試驗做沒做、做多少次完全無關(guān). 二、事件間的關(guān)系及運算 定義 符號表示 包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 相等關(guān)系 若B?A且A?B，則事件A與事件B相等 A＝B 并事件(和事件) 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(積事件) 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或A·B) 互斥事件

3、 若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥 對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 且 注意：互斥事件與對立事件都是指兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求必須有一個發(fā)生.因此，對立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是對立事件. 三、概率的基本性質(zhì) 1．由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗的次數(shù),所以頻率在0~1之間,從而任何事件的概率都在0~1之間,即.必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0. 2．當事件A與事件B互斥時,，該公式為概率的加法公式.當一個事件包含多

4、個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即 . 3．若事件A與事件B互為對立事件,則為必然事件,.再由加法公式得 . 考向一 由頻率估計隨機事件的概率 隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗的情況下，隨機事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計的角度，通過計算事件發(fā)生的頻率去估算事件發(fā)生的概率. 典例1 某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被奧運會指定為乒乓球比賽專用球,目前有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進行了抽樣檢查,檢查結(jié)果如下表所示: 抽取球數(shù)n 50 100 200 500 1000 2000 優(yōu)等品數(shù)m 45 92 194

5、470 954 1902 優(yōu)等品頻率 (1)計算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率; (2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個,質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少?(結(jié)果保留到小數(shù)點后三位) 典例2 如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下: 所用時間(分鐘) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 選擇L1的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇L2的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率; (2)分別求通過路徑L1和

6、L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率; (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站,試通過計算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑. B1,B2分別表示乙選擇L1,L2時,在50分鐘內(nèi)趕到火車站. 由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲應(yīng)選擇L1; P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B2)>P(B1),∴乙應(yīng)選擇L2. 1．某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的

7、服務(wù)情況,隨機訪問50名職工,根據(jù)這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為. (1)求頻率分布直方圖中的值; (2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率; 考向二 事件間的關(guān)系及運算 對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，而且事件的發(fā)生與否都是對于同一次試驗而言的，不能在多次試驗中判斷. 具體應(yīng)用時，可把所有試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪些試驗結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系． 典例3 判斷下列各對事件是否為互斥事件?是否為對立事件?并說明理由. 已知某醫(yī)療診所的急診室有3名男醫(yī)

8、生和2名女醫(yī)生,從中任選2名去參加醫(yī)德培訓(xùn),其中 (1)“恰有1名男醫(yī)生”和“恰有2名男醫(yī)生”; (2)“至少有1名男醫(yī)生”和“至少有1名女醫(yī)生”; (3)“至少有1名男醫(yī)生”和“全是男醫(yī)生”; (4)“至少有1名男醫(yī)生”和“全是女醫(yī)生”. 【解析】(1)是互斥事件,但不是對立事件. 理由是:所選的2名醫(yī)生中,“恰有1名男醫(yī)生”實質(zhì)選出的是“1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生”,它與“恰有2名男醫(yī)生”不可能同時發(fā)生,所以是互斥事件,同時,不能保證其中必有一個發(fā)生,因為還可能選出“恰有2名女醫(yī)生”,因此二者不對立. (4)是互斥事件,也是對立事件. 理由是:“至少有1名男醫(yī)生”包括“1名男

9、醫(yī)生和1名女醫(yī)生”與“2名都是男醫(yī)生”,它與“全是女醫(yī)生”不可能同時發(fā)生,但其中必有一個發(fā)生,故它們既是互斥事件,又是對立事件. 2．擲一粒骰子,用圖形畫出下列每對事件所含結(jié)果所形成的集合之間的關(guān)系,并說明二者之間是否構(gòu)成對立事件. (1)“朝上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”與“朝上的一面出現(xiàn)偶數(shù)” ; (2)“朝上的一面的數(shù)字不大于 4 ”與“朝上的一面的數(shù)字大于 4”. 考向三 概率加法公式的應(yīng)用 概率加法公式應(yīng)用的前提是“各事件是互斥事件”，對于較難判斷關(guān)系的，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進行分析． 求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：（1）將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件

10、的和事件；（2）若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”.它常用來求“至少……”或“至多……”型事件的概率. 典例4 某花店每天以每枝6元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝12元的價格出售.如果當天賣不完,剩下的玫瑰花做垃圾處理. （1）若花店一天購進17枝玫瑰花,求當天的利潤y(單位:元)關(guān)于當天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式. （2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表: 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù)

11、10 20 16 16 15 13 10 (i)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù); (ii)若花店一天購進17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當天的利潤不少于92元的概率. (ii)當天利潤不少于92元即12n-102,即n, 所以所求概率P=0.16+0.15+0.13+0.1=0.54. 典例5 在數(shù)學(xué)考試中,小明的成績不低于90分的概率是0.18,在80分~89分的概率是0.51,在70分~79分的概率是0.15,在60分~69分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,

12、計算: (1)小明在數(shù)學(xué)考試中成績不低于80分的概率; (2)小明數(shù)學(xué)考試及格的概率. 【解析】小明的成績不低于80分可以看作互斥事件“80分~89分”“不低于90分”的并事件,小明數(shù)學(xué)考試及格可看作“60分~69分”“70分~79分”“80分~89分”“不低于90分”這幾個彼此互斥事件的并事件,又可看作“不及格”這一事件的對立事件. 于是分別記小明的成績“不低于90分”“在80分~89分”“在70分~79分”“在60分~69分”為事件B,C,D,E,這四個事件彼此互斥. (1)小明的成績不低于80分的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. (2

13、)方法一：小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 方法二：小明數(shù)學(xué)考試不及格的概率是0.07,所以小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是1-0.07=0.93. 3．某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示: 年降水量(mm) [100,150) [150,200) [200,250) [250,300] 概率 0.10 0.25 0.20 0.12 (1)求年降水量在[200,300]內(nèi)的概率; (2)求年降水量在[100,250)內(nèi)的概率. 1．下列說法正確

14、的是 A．互斥事件不一定是對立事件,對立事件一定是互斥事件 B．互斥事件一定是對立事件,對立事件不一定是互斥事件 C．事件A,B同時發(fā)生的概率一定比A,B中恰有一個發(fā)生的概率小 D．事件A,B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A,B中恰有一個發(fā)生的概率大 2．從含有8件正品、2件次品的10件產(chǎn)品中,任意抽取3件,則必然事件是 A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 3．把紅、黃、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人一張，則事件“甲分得紅牌”與事件“丁分得紅牌” A．不是互斥事件 B．是互斥但不對立事件 C．是對立事件 D．以上答

15、案都不對 4．一次數(shù)學(xué)考試中,4位同學(xué)各自在第22題和第23題中任選一題作答,則第22題和第23題都有同學(xué)選答的概率為 A． B． C． D． 5．設(shè)事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,則A,B之間的關(guān)系一定為 A．兩個任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．對立事件 6．口袋中裝有一些大小相同的紅球和黑球,從中取出2個球.兩個球都是紅球的概率是,都是黑球的概率是,則取出的2個球中恰好一個紅球一個黑球的概率是 A． B． C． D． 7．在一次隨機試驗

16、中，三個事件的概率分別是0.2，0.3，0.5，則下列說法正確的個數(shù)是 ①與是互斥事件，也是對立事件；②是必然事件； ③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 8．指出下列事件哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是隨機事件? (1)函數(shù)f(x)=x2-2x+1的圖象關(guān)于直線x=1對稱; (2)直線y=kx+6是定義在上的增函數(shù); (3)若|a+b|=|a|+|b|,則a,b同號. 9．某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱,記事件A為“只訂甲報”,事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列

17、事件是不是互斥事件;如果是,再判斷它們是不是對立事件: (1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B與C;(5)C與E. 10．經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下: 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多有2人排隊等候的概率是多少? (2)至少有3人排隊等候的概率是多少? 11．受轎車在保修期內(nèi)的維修費等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān),某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,甲品牌車保修期為3

18、年,乙品牌車保修期為2年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中分別隨機抽取50輛,統(tǒng)計出在保修期內(nèi)出現(xiàn)故障的車輛數(shù)據(jù)如下: 品牌 甲 乙 首次出現(xiàn)故障 的時間x(年) 03 02 轎車數(shù)量(輛) 2 1 3 44 2 3 45 (1)從該廠生產(chǎn)的甲種品牌轎車中隨機抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率; (2)從該廠生產(chǎn)的乙種品牌轎車中隨機抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率.(將頻率視為概率) 變式拓展 1．【解析】(1)因為, 所以 (2)

19、由所給頻率分布直方圖知,50名受訪職工評分不低于80的頻率為, 所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4. 記“年降水量在[200,250)內(nèi)”為事件C',則P(C')= 0.20. 記“年降水量在[100,250)內(nèi)”為事件D,則D=A'∪B'∪C',且事件A'、事件B'、事件C'是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式,得P(D)=P(A')+P(B')+P(C')=0.55. 即年降水量在[100,250)內(nèi)的概率為0.55. 考點沖關(guān) 1．【答案】A 【解析】互斥事件不一定是對立事件,對立事件一定是互斥事件,所以A正確,B錯誤; 當A=B時

20、,A,B中恰有一個發(fā)生的概率為0,所以C錯誤; 若事件A為不可能事件，事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率與A，B中恰有一個發(fā)生的概率相等，故D錯誤. 2．【答案】D 【解析】從含有8件正品、2件次品的10件產(chǎn)品中，任意抽取3件，選項A，3件都是正品是隨機事件，故A錯誤； 選項B，至少有1件次品是隨機事件，故B錯誤； 選項C，3件都是次品是不可能事件，故C錯誤； 選項D，至少有1件正品是必然事件，故D正確，故選D． 3．【答案】B 【解析】由互斥事件及對立事件的定義知,事件“甲分得紅牌”與事件“丁分得紅牌”是互斥但不對立事件.選B． 4．【答案】C 5．【答案】B 【解析

21、】因為P(A)+P(B)=+==P(A∪B),所以A,B之間的關(guān)系一定為互斥事件.選擇B． 6．【答案】B 【解析】由題意知,從袋中取出2個球包含事件:2個都是紅球, 2個都是黑球，1個紅球和1個黑球.由互斥事件的性質(zhì)知,取出的2個球中恰好一個紅球一個黑球的概率是.選B． 7．【答案】B 【解析】由題意知,,不一定是互斥事件,所以,,,所以,只有④正確,所以說法正確的個數(shù)為1.選B． 8．【解析】必然事件有(1);隨機事件有(2)(3). 對于(3),當|a+b|=|a|+|b|時,有兩種可能:一種可能是a,b同號,即ab>0;另外一種可能是a,b中至少有一個為0,即ab=0.

22、9．【解析】(1)由于事件C“至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”,即事件A與事件C有可能同時發(fā)生,故A與C不是互斥事件. (2)事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發(fā)生的,故B與E是互斥事件;由于事件B發(fā)生會導(dǎo)致事件E一定不發(fā)生,且事件E發(fā)生會導(dǎo)致事件B一定不發(fā)生,故B與E還是對立事件. (3)事件B“至少訂一種報紙”中包括“只訂乙報”,即有可能“不訂甲報”,也就是說事件B和事件D有可能同時發(fā)生,故B與D不是互斥事件. (4)事件B“至少訂一種報紙”中包括“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”.事件C“至多訂一種報紙”中包括“一種報紙也不訂”“只訂甲報”“只

23、訂乙報”.也就是說事件B與事件C可能同時發(fā)生,故B與C不是互斥事件. (5)由(4)的分析,事件E“一種報紙也不訂”是事件C中的一種可能情況,所以事件C與事件E可能同時發(fā)生,故C與E不是互斥事件. (2)方法一：記“至少有3人排隊等候”為事件H, 則H=D∪E∪F, 所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. 方法二：因為G與H互為對立事件,所以P(H)=1-P(G)=1-0.56=0.44. 11．【解析】(1)設(shè)A,B,C分別表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在第1年,第2年和第3年之內(nèi),設(shè)D表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在保修期內(nèi), 因為A,B,C是互斥的,其概率分別為P(A)=,P(B)=,P(C)=, 所以P(D)= P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=, 即首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為. (2)乙品牌轎車首次出現(xiàn)故障未發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為, 故首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為1-. 14