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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和 [全盤鞏固] 1．設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，a3＝，S3＝，則公比q＝(　　) A. B．－ C．1或－ D．1或 解析：選C　當q＝1時，a1＝a2＝a3＝，S3＝a1＋a2＋a3＝，符合題意；當q≠1時，由題意得解得q＝－.故q＝1或q＝－. 2．各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，前三項和為21，則a3＋a4＋a5＝(　　) A．33 B．72

2、 C．84 D．189 解析：選C　∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1＋a1·q＋a1·q2＝21,3＋3×q＋3×q2＝21， 即1＋q＋q2＝7，解得q＝2或q＝－3.∵an>0，∴q＝2，a3＋a4＋a5＝21×q2＝21×4＝84. 3．已知等比數(shù)列{an}滿足an>0(n∈N*)，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，則當n≥1時，log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝(　　) A．(n＋1)2 B．n2 C．n(2n－1) D．(n－1)2 解析：選B　由等比數(shù)列的性

3、質可知a5a2n－5＝a，又a5a2n－5＝22n，所以an＝2n.又log2a2n－1＝log222n－1＝2n－1， 所以log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2. 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，anan＋1＝2n，則＝(　　) A．2 B．4 C．5 D. 解析：選B　依題意得＝＝2，即＝2，故數(shù)列a1，a3，a5，a7，…是一個以5為首項、2為公比的等比數(shù)列，因此＝4. 5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝(　　) A．2n－1

4、 B.n－1 C.n－1 D. 解析：選B　∵Sn＝2an＋1，∴當n≥2時，Sn－1＝2an.∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an. ∴3an＝2an＋1.∴＝.又∵S1＝2a2，∴a2＝.∴＝. ∴{an}從第二項起是以為公比的等比數(shù)列． ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋＝n－1再利用Sn＝2an＋1，. 6．定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數(shù)： ①f

5、(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 解析：選C　法一：設{an}的公比為q.①f(an)＝a，∵＝2＝q2，∴{f(an)}是等比數(shù)列．排除B，D；③f(an)＝，∵＝＝，∴{f(an)}是等比數(shù)列．排除A. 法二：不妨令an＝2n.①因為f(x)＝x2，所以f(an)＝4n.顯然{f(2n)}是首項為4，公比為4的等比數(shù)列．②因為f(x)＝2x，所以f(a1)＝f(2)＝22，f(a2)＝f(4)＝24，f(a3)＝f(8)＝28，所以＝＝4≠＝＝1

6、6，所以{f(an)}不是等比數(shù)列．③因為f(x)＝，所以f(an)＝＝()n.顯然{f(an)}是首項為，公比為的等比數(shù)列．④因為f(x)＝ln|x|，所以f(an)＝ln 2n＝nln 2.顯然{f(an)}是首項為ln 2，公差為ln 2的等差數(shù)列． 7．(20xx·重慶高考)已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________. 解析：由a1，a2，a5成等比數(shù)列，得(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，即(1＋d)2＝1＋4d，解得d＝2(d＝0舍去)，S8＝8×1＋×2＝64. 答案：64 8．(20xx·杭州

7、模擬)公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項ak1，ak2，ak3，…，構成等比數(shù)列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，則k4＝______. 解析：據(jù)題意等差數(shù)列的a1，a2，a6成等比數(shù)列，設等差數(shù)列的公差為d，則有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1?ak4＝64a1＝a1＋3a1(n－1)，解得n＝22. 答案：22 9．(20xx·江蘇高考)在正項等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________． 解析：設等比數(shù)列的首項為a1，公比為q>0， 由得a1＝，q＝

8、2.所以an＝2n－6. a1＋a2＋…＋an＝2n－5－2－5，a1a2…an＝2. 由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，得2n－5－2－5>2， 由2n－5>2，得n2－13n＋10<0， 解得a1a2…an，n≥13時不滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，故n的最大值為12. 答案：12 10．數(shù)列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)． (1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列； (2)求通項an； (3)當k＝－1時，求和a＋a＋…＋a. 解：(1)證明：∵Sn＝1＋kan，① Sn－

9、1＝1＋kan－1，② ①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)，∴(k－1)an＝kan－1，＝為常數(shù)，n≥2. ∴{an}是公比為的等比數(shù)列． (2)∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝.∴an＝·n－1＝－. (3)∵{an}中a1＝，q＝，∴{a}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 當k＝－1時，等比數(shù)列{a}的首項為，公比為， ∴a＋a＋…＋a＝＝. 11．已知函數(shù)f(x)＝的圖象過原點，且關于點(－1,2)成中心對稱． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝f(an)，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式．

10、 解：(1)∵f(0)＝0，∴c＝0.∵f(x)＝的圖象關于點(－1,2)成中心對稱， ∴f(x)＋f(－2－x)＝4，解得b＝2.∴f(x)＝. (2)∵an＋1＝f(an)＝， ∴當n≥2時， ＝·＝·＝·＝2. 又＝2≠0， ∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， ∴＝2n，∴an＝. 12．已知等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q. (1)求an與bn； (2)設cn＝3bn－λ·2，若數(shù)列{cn}是遞增數(shù)列，求λ的取值范圍． 解：(1)由已知可得所以q2＋q－1

11、2＝0， 解得q＝3或q＝－4(舍)，從而a2＝6，所以an＝3n，bn＝3n－1. (2)由(1)知，cn＝3bn－λ·2＝3n－λ·2n. 由題意，cn＋1>cn對任意的n∈N*恒成立， 即3n＋1－λ·2n＋1>3n－λ·2n恒成立，亦即λ·2n<2·3n恒成立，即λ<2·n恒成立． 由于函數(shù)y＝n是增函數(shù)，所以min＝2×＝3， 故λ<3，即λ的取值范圍為(－∞，3)． [沖擊名校] 1．設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是__

12、______． 解析：由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)f(1)＝[f(1)]3＝3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝n，所以Sn＝＋2＋3＋…＋n＝＝1－n. ∵n∈N*，∴≤Sn<1. 答案： 2．數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝t，點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，n∈N*. (1)當實數(shù)t為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (2)在(1)的結論下，設bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，求Tn. 解：(1)∵點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上， ∴an＋1＝3

13、Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)． ∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1， ∴當t＝1時，a2＝4a1，數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (2)在(1)的結論下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n， ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋. [高頻滾動] 1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn

14、－4＝130，則n＝(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 解析：選B　Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14. 2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，n∈N*)． (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解：(1)證明：因為an＝2an－1＋2n， 所以＝＝＋1，即－＝1， 所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差d＝1，其首項＝，所以＝＋(n－1)×1＝n－， 解得an＝×2n＝(2n－1)2n－1. (2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，① 2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，② ①－②，得 －Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3.所以Sn＝(2n－3)2n＋3.