4、5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．
2．圓錐曲線中常見最值問題及解題方法
(1)兩類最值問題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題．
(2)兩種常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法等求解．
如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2,1)的距
5、離為.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求△ABP面積取最大值時直線l的方程．
解：(1)設(shè)橢圓左焦點為F(－c,0)，則由題意得
得所以橢圓方程為＋＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M.
由題意知直線AB的斜率存在且不為零，故可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(m≠0)，
由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①
則Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
所以線段AB的中點M.
因為M在直線OP上，所以＝.得m＝0(舍去)或k
6、＝－.
此時方程①為3x2－3mx＋m2－3＝0，則
Δ＝3(12－m2)＞0，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·.
設(shè)點P到直線AB的距離為d，則d＝＝.設(shè)△ABP的面積為S，則
S＝|AB|·d＝·.
其中m∈(－2，0)∪(0,2)．
令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈(－2，0)∪(0,2)，
u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)
＝－4(m－4)(m－1－)(m－1＋)．
所以當且僅當m＝1－時，u(m)取到最大值．即S取到最大值．
綜上，所求直線l的方程為3x＋2y＋2－2＝0.
考點二
定 點 問 題
[例2] (20xx·
7、陜西高考)已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.
(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；
(2)已知點B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點．
[自主解答]
(1)如圖，設(shè)動圓圓心O1(x，y)，由題意，|O1A|＝|O1M|，
當O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點，
∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝，
化簡得y2＝8x(x≠0)．
又當O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標(0,0)也滿足方程y2＝8x，
∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x
8、.
(2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
將y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝，①x1x2＝，②
因為x軸是∠PBQ的角平分線，所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b＝0，③
將①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此時Δ>0，∴直線l的方程為y＝k(x－1)，
9、∴直線l過定點(1,0)．
【方法規(guī)律】
圓錐曲線中定點問題的兩種解法
(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點．
(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)．
在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設(shè)過點T(t，m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.
(1)設(shè)動點P滿足PF2－PB2＝4，求點P的軌跡；
(2)設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關(guān))
10、．
解：由題設(shè)得A(－3,0)，B(3,0)，F(xiàn)(2,0)．
(1)設(shè)點P(x，y)，由PF2＝(x－2)2＋y2，PB2＝(x－3)2＋y2，PF2－PB2＝4，
得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，化簡得x＝.故所求點P的軌跡為直線x＝.
(2)證明：由題設(shè)知，直線AT的方程為y＝(x＋3)，直線BT的方程為y＝(x－3)．
點M(x1，y1)滿足解得＝－·，
因為x1≠－3，則＝－·，解得x1＝，從而得y1＝.
點N(x2，y2)滿足解得x2＝，y2＝.
若x1＝x2，則由＝及m>0，得m＝2，此時直線MN的方程為x＝1，過點D(1,0)．
若x1≠x2，則m
11、≠2，直線MD的斜率kMD＝＝，
直線ND的斜率kND＝＝，得kMD＝kND，所以直線MN過D點．
因此，直線MN必過x軸上的點(1,0)．
高頻考點
考點三 圓錐曲線中的定值問題
1．圓錐曲線中的定值問題，是近幾年來高考命題的熱點，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為高檔題．
2．高考中關(guān)于圓錐曲線中的定值問題有以下幾個命題角度：
(1)求代數(shù)式為定值；
(2)求點到直線的距離為定值；
(3)求某線段長為定值．
[例3] (20xx·江西高考)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3.
(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖所示，
12、A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m－k為定值．
[自主解答] (1)因為e＝＝，所以a＝c，b＝c.
代入a＋b＝3，得c＝，a＝2，b＝1.故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明：法一：因為B(2,0)，P不為橢圓頂點，則直線BP的方程為y＝k(x－2)，①把①代入＋y2＝1，
解得P.直線AD的方程為：y＝x＋1.②
①與②聯(lián)立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三點共線知
＝，解得N.
所以MN的斜率為m＝＝＝，
則2m－k＝－k＝(定值)．
法二：
13、設(shè)P(x0，y0)(x0≠0，x0≠±2)，則k＝，
直線AD的方程為：y＝(x＋2)，直線BP的方程為：y＝(x－2)，
直線DP的方程為：y－1＝x，令y＝0，由于y0≠1，可得N
聯(lián)立解得M，
因此MN的斜率為
m＝＝
＝＝，
所以2m－k＝－
＝
＝
＝
＝(定值)．
圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略
(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；
(2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；
(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式
14、，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得．
如圖所示，已知點A(1，)是離心率為的橢圓C：＋＝1(a>b>0)上的一點，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點，且A、B、D三點不重合．
(1)求橢圓C的方程；
(2)△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；
(3)求證：直線AB、AD斜率之和為定值．
解：(1)由題意，可得e＝＝，＋＝1，a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝，c＝，所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)直線BD的方程為y＝x＋m，D(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
所以Δ＝－8
15、m2＋64>0，則－2
【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪突破熱點題型：第8章 第9節(jié) 圓錐曲線的綜合問題
