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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第三節(jié)　圓的方程 [考綱傳真]　1.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想． 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心(a，b)，半徑r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 圓心，半徑 2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系： (1)若M

2、(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)． (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個(gè)圓．(　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　) (4)若點(diǎn)M(x0，y0

3、)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　) [解析]　由圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，知(1)(3)(4)正確． (2)中，當(dāng)t≠0時(shí)，表示圓心為(－a，－b)，半徑為|t|的圓，不正確． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962378】 A．a(chǎn)＜－2或a＞ B．－＜a＜0 C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜ D　[由題意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0， 解得－2＜a＜.] 3．(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)

4、圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－　　　B．－　　　C.　　　D．2 A　[圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標(biāo)為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－.] 4．(20xx·西安質(zhì)檢)若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． x2＋(y－1)2＝1　[兩圓關(guān)于直線對(duì)稱則圓心關(guān)于直線對(duì)稱，半徑相等，則圓C的圓心為(0,1)，半徑為1，標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1.] 5．(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓＋＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓

5、心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． 2＋y2＝　[由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點(diǎn)．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋y2＝r2(00)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝.] 求圓的方程 　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為(　　) A. B. C. D． (2)(20xx·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓

6、C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為_(kāi)_______． (1)B　(2)(x－2)2＋y2＝9　[(1)法一：在坐標(biāo)系中畫(huà)出△ABC(如圖)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助圖形直接觀察得出)，所以△ABC為等邊三角形．設(shè)BC的中點(diǎn)為D，點(diǎn)E為外心，同時(shí)也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，從而|OE|＝＝＝，故選B. 法二：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則解得 所以△ABC外接圓的圓心為. 因此圓心到原點(diǎn)的距離d＝＝. (2)因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a>0， 所以圓心到直線2x

7、－y＝0的距離d＝＝， 解得a＝2， 所以圓C的半徑r＝|CM|＝＝3， 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9.] [規(guī)律方法]　1.直接法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程． 2．待定系數(shù)法求圓的方程：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值． 溫馨提醒：解答圓的方程問(wèn)題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)． [變式訓(xùn)練1]　(20xx·河南百

8、校聯(lián)盟聯(lián)考)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962379】 x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)　[法一：∵圓過(guò)A(5,2)，B(3，－2)兩點(diǎn)， ∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上． 易知線段AB的垂直平分線方程為y＝－(x－4)． 設(shè)所求圓的圓心為C(a，b)，則有 解得a＝2，且b＝1. 因此圓心坐標(biāo)C(2,1)，半徑r＝|AC|＝. 故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法二：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)

9、， 則 解得D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝－5， ∴所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0.] 　與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 　已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． [解]　(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2. 2分 又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. 5分 (2)可知表示直線MQ的斜率k. 6分 設(shè)直線MQ的

10、方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0. 8分 由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，所以≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值為2＋，最小值為2－. 12分 [遷移探究1]　(變化結(jié)論)在本例的條件下，求y－x的最大值和最小值． [解]　設(shè)y－x＝b，則x－y＋b＝0. 3分 當(dāng)直線y＝x＋b與圓C相切時(shí)，截距b取到最值， ∴＝2，∴b＝9或b＝1. 10分 因此y－x的最大值為9，最小值為1. 12分 [遷移探究2]　(變換條件結(jié)論)若本例中條件“點(diǎn)Q(－2,3)”改為“點(diǎn)Q是直線3x＋4y＋1＝0上的動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，試求|MQ|的最小值． [解]　∵圓心C(2

11、,7)到直線3x＋4y＋1＝0上動(dòng)點(diǎn)Q的最小值為點(diǎn)C到直線3x＋4y＋1＝0的距離， ∴|QC|min＝d＝＝7. 5分 又圓C的半徑r＝2， ∴|MQ|的最小值為7－2. 12分 [規(guī)律方法]　1.處理與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解． 2．某些與圓相關(guān)的最值可利用函數(shù)關(guān)系求最值． 根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、函數(shù)的性質(zhì)、利用基本不等式求最值是比較常用的． [變式訓(xùn)練2]　設(shè)P為直線3x－4y＋11＝0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點(diǎn)分

12、別為A，B，求四邊形PACB的面積的最小值． [解]　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1， 2分 圓心為C(1,1)，半徑為r＝1. 5分 根據(jù)對(duì)稱性可知，四邊形PACB的面積為 2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝. 8分 要使四邊形PACB的面積最小，則只需|PC|最小，最小時(shí)為圓心到直線l：3x－4y＋11＝0的距離 d＝＝＝2. 10分 所以四邊形PACB面積的最小值為 ＝＝. 12分 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 　(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

13、 (1)求M的軌跡方程； (2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積． [解]　(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4. 2分 設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)． 由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部， 所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. 5分 (2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，為半徑的圓． 由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上． 又P在圓N上，從而ON⊥PM. 7

14、分 因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為－， 故l的方程為y＝－x＋. 10分 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為，|PM|＝，所以△POM的面積為. 12分 [規(guī)律方法]　求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解． (2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解． (3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解． (4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解． [變式訓(xùn)練3]　已知點(diǎn)A(－1,0)，點(diǎn)B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|＝|AB|，求點(diǎn)C與點(diǎn)P(1,4)所連線段的中點(diǎn)M的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：

15、57962380】 [解]　由題意可知：動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以(－1,0)為圓心，3為半徑長(zhǎng)的圓，方程為(x＋1)2＋y2＝9. 3分 設(shè)M(x0，y0)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得 C(2x0－1,2y0－4)， 6分 代入點(diǎn)C的軌跡方程得4x＋4(y0－2)2＝9， 化簡(jiǎn)得x＋(y0－2)2＝， 10分 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋(y－2)2＝. 12分 [思想與方法] 1．確定一個(gè)圓的方程，需要三個(gè)獨(dú)立條件，“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法． 2．解答圓的問(wèn)題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算． [易錯(cuò)與防范] 1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時(shí)易忽視D2＋E2－4F＞0這一前提條件． 2．求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個(gè)獨(dú)立方程． 3．求軌跡方程和求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指明軌跡表示什么曲線．