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1 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué) 葉峰 北京大學(xué)哲學(xué)系 yefeng 2 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué) 自然主義是當(dāng)代主要哲學(xué)思潮之一 筆者最近幾年在自然主義框架下做了一些數(shù)學(xué)哲學(xué)方面的研究工作 包括嘗試論證自然主義蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)唯名論 從自然主義的角度分析當(dāng)前唯名論或反實(shí)在論數(shù)學(xué)哲學(xué)的不足 在自然主義的框架下探索對經(jīng)典數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 以及在自然主義的框架下分析邏輯與算術(shù)的分析性 先天性與必然性 分析數(shù)學(xué)的客觀性等等 摘要 3 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué) 這個報告先簡要介紹什么是自然主義 第1節(jié) 當(dāng)前接受自然主義的各種數(shù)學(xué)哲學(xué)派別 第2節(jié) 及筆者所接受的一種徹底的自然主義 第3節(jié) 然后它將介紹筆者的三篇論文的內(nèi)容 第一篇試圖論證這種徹底的自然主義蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)唯名論 第4節(jié) 第二篇提出唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)該完成的任務(wù) 討論當(dāng)前各種唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的不足 第5節(jié) 第三篇介紹在自然主義框架下解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的一種策略 第6節(jié) 摘要 4 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué) 三篇論文如下 NaturalismandAbstractEntities forthcominginInternationalStudiesinthePhilosophyofScience Whatanti realisminphilosophyofmathematicsmustoffer forthcominginSynthese OnlineFirstVersion 摘要 5 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué) 1 什么是自然主義 6 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)1 什么是自然主義 哲學(xué)是世界觀究竟什么事物存在 物體 現(xiàn)象 靈魂 共相 抽象實(shí)體 經(jīng)驗 我們自身是什么 我自己是什么 物理系統(tǒng) 具有意識屬性的生物體 先驗自我 靈魂 我們怎么認(rèn)識存在著的事物 經(jīng)驗 直覺 先定和諧 靈魂的回憶 物理相互作用 什么是意義 真理 可能性 意識 意向性 自由意志 倫理原則 什么是哲學(xué) 7 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)1 什么是自然主義 科學(xué)方法是獲得知識的最可靠方法 沒有優(yōu)于科學(xué)方法的所謂第一哲學(xué) FirstPhilosophy 方法 蒯因 與先驗哲學(xué)相對立 接受當(dāng)前的科學(xué)結(jié)論是最理性的態(tài)度 雖然當(dāng)前科學(xué)的結(jié)論可能再被修改 還未斷言我們自身是什么 認(rèn)識過程是什么 一個靈魂或 先驗自我 transcendentalego 在用科學(xué)方法認(rèn)識 外部世界 方法論自然主義 8 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)1 什么是自然主義 當(dāng)前的科學(xué)結(jié)論蘊(yùn)涵著 宇宙是物質(zhì)的 而且人類自身也是物質(zhì)的 是進(jìn)化的結(jié)果 沒有非物質(zhì)的心靈實(shí)體 即科學(xué)反對實(shí)體二元論 但還有一些分歧物理主義 心理過程原則上是物理過程 屬性二元論 心靈屬性是一些復(fù)雜系統(tǒng)如大腦具有的 原則上不可還原為物理屬性的屬性 是否接受方法論自然主義蘊(yùn)涵著必須接受物理主義 這還有爭議 從方法論自然主義到物理主義 9 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)1 什么是自然主義 存在著的就是物理對象 人類是復(fù)雜物理系統(tǒng) 所有屬性 規(guī)律 原則上 可歸約為物理屬性與定律不考慮計算復(fù)雜性的話 沒有什么屬性與規(guī)律原則上不可歸約 給定所有基本粒子 它們的物理狀態(tài)及它們遵從的物理定律 一切其它屬性 心理 倫理 美學(xué)等屬性 就都確定 認(rèn)知過程是物理過程 意義 真理等等都要在物理主義的框架下被理解 作為一種世界觀的物理主義 10 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)1 什么是自然主義 D Papineau PhilosophicalNaturalism Oxford BlackwellD Papineau Naturalism inStanfordEncyclopediaofPhilosophy 參考文獻(xiàn) 11 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué) 2 自然主義與當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué) 12 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)2 自然主義與當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué) 多數(shù)當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)研究者接受方法論自然主義 即 承認(rèn)現(xiàn)代科學(xué)的結(jié)論 在此基礎(chǔ)上考慮數(shù)學(xué)哲學(xué)問題 承認(rèn)現(xiàn)代科學(xué)的方法 包括概念分析 邏輯推理 及假說 演繹 觀察驗證等方法 是獲得知識的最可靠方法 沒有嘗試所謂超驗 transcendental 方法 沒有假設(shè)某種在自然主義的框架下不可解釋的直覺 誰接受自然主義 13 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)2 自然主義與當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué) 哥德爾是例外 現(xiàn)代科學(xué)的唯物主義是錯的抽象直觀是認(rèn)識數(shù)學(xué)公理的主要途徑 誰接受自然主義 14 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)2 自然主義與當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué) 當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的核心問題 是關(guān)于數(shù)學(xué)對象的本體論問題 即是否存在著抽象數(shù)學(xué)對象 實(shí)在論 抽象數(shù)學(xué)對象存在 數(shù)學(xué)定理是關(guān)于抽象數(shù)學(xué)對象的真理 難題 我們?nèi)绾慰赡塬@得關(guān)于不存在于時空之中的抽象數(shù)學(xué)對象的知識 唯名論 或反實(shí)在論 不存在所謂抽象數(shù)學(xué)對象 或它們不獨(dú)立于我們的語言與思想存在 難題 數(shù)學(xué)定理還是真理嗎 如不是 數(shù)學(xué)如何可能成為科學(xué)的基礎(chǔ) 在科學(xué)應(yīng)用中得出真理 當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的核心問題是什么 15 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)2 自然主義與當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué) 蒯因的實(shí)用主義實(shí)在論 科學(xué)必須用數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)應(yīng)用不可或缺地承諾抽象數(shù)學(xué)對象 因此科學(xué)的成功核證了 justify 抽象數(shù)學(xué)對象存在 Burgess的反反實(shí)在論 數(shù)學(xué)與其它科學(xué)分支一樣 是科學(xué)的分支 方法論自然主義要求我們一樣接受數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)真理 并非需要物理學(xué)應(yīng)用才能核證數(shù)學(xué)真理 Maddy的數(shù)學(xué)自然主義 數(shù)學(xué)有自己的方法論原則 數(shù)學(xué)對象在而且只在數(shù)學(xué)內(nèi)部斷定它們存在那種意義上存在 方法論自然主義之下的不同數(shù)學(xué)哲學(xué) 16 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)2 自然主義與當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué) 各種唯名論 可以改寫科學(xué)理論使它不必指稱抽象數(shù)學(xué)對象 因此科學(xué)的成功不核證抽象數(shù)學(xué)對象存在 Field 科學(xué)語言中的對象數(shù)學(xué)對象的指稱應(yīng)該理解為比喻式的 不是真的指稱對象 Yablo 科學(xué)也許不得不在表面上指稱抽象數(shù)學(xué)對象 但科學(xué)的成功并不核證抽象數(shù)學(xué)對象存在 Hoffman Leng Melia 數(shù)學(xué)只需假設(shè)一些可能的結(jié)構(gòu) 或可能的具體對象 Chihara Hellman 方法論自然主義之下的不同數(shù)學(xué)哲學(xué) 17 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)2 自然主義與當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué) 對當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本問題的更多的介紹 可參看葉峰 二十世紀(jì)數(shù)學(xué)哲學(xué) 一個自然主義者的評述 第一章 參考文獻(xiàn) 18 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué) 3 一種徹底的自然主義 19 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)3 一種徹底的自然主義 人類是這個物質(zhì)宇宙的一部分 是宇宙中的物質(zhì)進(jìn)化的產(chǎn)物 認(rèn)知的主體就是大腦 認(rèn)知過程最終是物理過程 大腦的知識來源于基因決定的大腦的內(nèi)在結(jié)構(gòu)及大腦與環(huán)境的物理作用 認(rèn)知的主體不是非物質(zhì)的心靈 或所謂 超驗自我 認(rèn)知過程不是 主體 對所謂 外部世界 的認(rèn)識 是 無我 或 無主體 的自然主義世界觀 一種徹底的自然主義 20 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)3 一種徹底的自然主義 與物理主義相容 但也不明確排斥屬性二元論 不是獨(dú)斷的信念 只是方法論自然主義的謹(jǐn)慎推論只假設(shè)主流科學(xué)較肯定地接受的結(jié)論 從謹(jǐn)慎的 極小的前提出發(fā) 看看能夠解釋多少世界與人類活動的各個方面 包括人類的數(shù)學(xué)實(shí)踐 如果可以確定地發(fā)現(xiàn)徹底自然主義不能容納的東西 那么只能放棄徹底自然主義 如果可以解釋意義 真理 可能性 意向性 意識 自由意志 倫理原則 數(shù)學(xué)知識等等等等 那么應(yīng)該由反對者回答為什么他們相信那些超出主流科學(xué)所接受的結(jié)論的那些東西 一種徹底的自然主義 21 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)3 一種徹底的自然主義 是一種極小主義 徹底自然主義正面所做的應(yīng)該是各方都可以接受的 即使你相信有靈魂 你也應(yīng)該承認(rèn)有大腦 而且大腦有極其復(fù)雜的功能 僅僅假設(shè)大腦的對意義 真理 數(shù)學(xué)應(yīng)用等等的解釋也是可接受的 用細(xì)致 辛苦的技術(shù)性工作代替模糊的思辨 一種徹底的自然主義 22 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)3 一種徹底的自然主義 關(guān)于語言 語言是大腦進(jìn)化到一定程度后產(chǎn)生的功能 大腦識別 記憶聲音文字 將它們與其它 由神經(jīng)元實(shí)現(xiàn)的 記憶在大腦中相連接 并通過控制身體的行動將它們與環(huán)境中的事物相聯(lián)系 而使得聲音文字成為語言 語言不是 超驗主體 用來描繪 外部世界 的工具 關(guān)于概念 概念是大腦中的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)概念與對象之間的表示關(guān)系 即指稱 是物質(zhì)性的事物之間的物質(zhì)性的關(guān)系 即自然化的表示關(guān)系 概念不是獨(dú)立于大腦 大腦可以 把握 的抽象事物 徹底的自然主義的推論 23 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)3 一種徹底的自然主義 關(guān)于語言的意義 指稱 徹底的自然主義的推論 兔子 兔子 大腦 自然化的表示關(guān)系 兔子 指稱 表示詞項的概念 自然化的表示關(guān)系 神經(jīng)元聯(lián)結(jié) 表示事物的概念 涵義 關(guān)于真理真理也是大腦中的事物與大腦外的事物之間的物質(zhì)性的 自然的關(guān)系 24 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)3 一種徹底的自然主義 關(guān)于可能性 不存在所謂可能世界 可能事態(tài) 各種可能性即各種可想象性 要從大腦想象事物的方式的特征去解釋可能性 所謂大腦想象事物 即大腦處理一些語言描述 即一些神經(jīng)元活動 關(guān)于抽象數(shù)學(xué)對象 不存在所謂抽象對象 大腦不會神秘地 把握 獨(dú)立于人類的抽象對象或概念 真正存在的是大腦想象所謂 抽象對象 時創(chuàng)造出的大腦中的 作為神經(jīng)元結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)概念 思想 徹底的自然主義的推論 25 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)3 一種徹底的自然主義 關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用 一個數(shù)學(xué)應(yīng)用過程 是大腦與環(huán)境中的事物相互作用的過程 是自然現(xiàn)象 解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性是解釋一類自然現(xiàn)象中的規(guī)律性 徹底的自然主義的推論 26 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)3 一種徹底的自然主義 自然主義不是基礎(chǔ)主義 對數(shù)學(xué)應(yīng)用的解釋不是對數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)主義的辯護(hù) 自然主義不認(rèn)為有傳統(tǒng)意義上的先天的 絕對可靠的基礎(chǔ)知識 設(shè)想傳統(tǒng)意義上的先天的 絕對可靠的知識 必須預(yù)設(shè)絕對的 超自然的認(rèn)知主體 大腦的知識 是大腦在進(jìn)化及與環(huán)境的相互作用中產(chǎn)生的 大腦可以重新組織自己的知識庫 區(qū)分更可靠的與更不可靠的知識 但沒有傳統(tǒng)意義上的先天的 絕對可靠的知識 一個說明 27 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué) 4 從自然主義到唯名論 28 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)4 從自然主義到唯名論 NaturalismandAbstractEntities forthcominginInternationalStudiesinthePhilosophyofScience 論文 29 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)4 從自然主義到唯名論 對數(shù)學(xué)實(shí)踐的完備的自然主義描述無須假設(shè)抽象實(shí)體數(shù)學(xué)實(shí)踐是大腦的活動 對數(shù)學(xué)實(shí)踐的自然主義描述 最終是描述神經(jīng)元活動及其與環(huán)境中的事物的物理相互作用 這種描述無需也不能用 指稱 等語義概念 也無需說大腦中一個實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的神經(jīng)元結(jié)構(gòu) 指稱 什么抽象實(shí)體 基本論證 30 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)4 從自然主義到唯名論 大腦A正在將它的數(shù)學(xué)概念應(yīng)用于描述實(shí)驗室中的物理對象 描述大腦A的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動 只需描述大腦A中的神經(jīng)元如何活動 如何與實(shí)驗室中的物理對象相聯(lián)系等等 不必說大腦A中的神經(jīng)元 指稱 了什么數(shù)學(xué)對象 大腦B在描述大腦A的活動 以及大腦A與實(shí)驗室中的物理對象之間的聯(lián)系 大腦B中的神經(jīng)元以相似的方式活動 與大腦A及實(shí)驗室中的其它物理對象相聯(lián)系 大腦B中的神經(jīng)元也不 指稱 任何數(shù)學(xué)對象 一個誤解 描述神經(jīng)元活動依舊需要用數(shù)學(xué) 31 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)4 從自然主義到唯名論 經(jīng)典數(shù)學(xué)對科學(xué)的不可或缺性僅僅意味著 某些形式的大腦神經(jīng)元活動 比如 研究與應(yīng)用經(jīng)典數(shù)學(xué)而非直覺主義數(shù)學(xué)的大腦神經(jīng)元活動 對于大腦認(rèn)識世界來說是不可或缺的 接受 存在大于1000的素數(shù) 這個語句 本身也是一些神經(jīng)元活動 與抽象實(shí)體的存在性無關(guān) 大腦中的由神經(jīng)元實(shí)現(xiàn)的概念 思想 可以與物質(zhì)性的事物產(chǎn)生自然化的 表示 或 真 關(guān)系 但這是物質(zhì)性的聯(lián)系 不是超出自然主義的 語義表示 指稱 或 真 其它一些澄清 32 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)4 從自然主義到唯名論 論證實(shí)在論有認(rèn)識論難題 需要假設(shè)關(guān)于人類的認(rèn)知能力的某些局限 如因果知識論假設(shè) 這個論證是正面地說 大腦的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動無須與所謂抽象數(shù)學(xué)實(shí)體相聯(lián)系 而不是反面地說大腦由于其局限性不可能認(rèn)識到抽象數(shù)學(xué)實(shí)體 論證實(shí)在論有指稱難題 也需要關(guān)于指稱關(guān)系如何實(shí)現(xiàn)的假設(shè) 如因果指稱論 這個論證是正面地說 描述大腦的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動無須說明大腦指稱了什么抽象數(shù)學(xué)實(shí)體 而不是反面地說大腦不可能指稱到抽象數(shù)學(xué)實(shí)體 與傳統(tǒng)的反實(shí)在論論證的比較 33 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)4 從自然主義到唯名論 對論證的結(jié)論唯名論的定義無需用到 抽象實(shí)體 這個概念 數(shù)學(xué)概念 思想 詞項 語句本身是物理對象 它們在大腦的認(rèn)知活動中有相對抽象的功能 它們與大腦外的物理對象間接地產(chǎn)生聯(lián)系 數(shù)學(xué)概念 思想 詞項 語句等的意義在于它們的這些認(rèn)知功能 及它們與大腦外的物理對象的聯(lián)系 對數(shù)學(xué)概念 思想 詞項 語句等在大腦中的認(rèn)知功能 及它們與大腦外的物理對象的聯(lián)系的自然主義描述 已經(jīng)就是對大腦的數(shù)學(xué)實(shí)踐的完備的描述 與傳統(tǒng)的反實(shí)在論論證的比較 34 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)4 從自然主義到唯名論 Quine同時支持物理主義與數(shù)學(xué)實(shí)在論 Quine的 承諾抽象實(shí)體 概念預(yù)設(shè)了超自然的承諾主體如果一個大腦承諾了抽象實(shí)體 僅僅在于大腦以某種方式使用語言 那么這僅僅是大腦以某種方式進(jìn)行神經(jīng)元活動 說一種神經(jīng)元活動方式是 承諾了抽象實(shí)體 是多余的 只有將 我們 理解為自然世界之外的 主體 而不是作為物質(zhì)世界一部分的大腦 才會由 我們 以某種方式使用語言 得出 我們承諾了外部世界 中有某種實(shí)體 與Quine的比較 35 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)4 從自然主義到唯名論 Quine的信念之網(wǎng) 外圍為觀察語句 與經(jīng)驗相聯(lián)系 核心包括數(shù)學(xué)與邏輯 承諾了抽象數(shù)學(xué)對象 描繪了抽象數(shù)學(xué)世界 信念之網(wǎng)整體地接受經(jīng)驗的核證 信念之網(wǎng)是大腦中的神經(jīng)元結(jié)構(gòu) 整體主義僅僅意味著 信念之網(wǎng)作為一個物理系統(tǒng)是整體地與環(huán)境相互作用 只要不假設(shè)一個在信念之網(wǎng)背后的 利用信念之網(wǎng)去描繪 外部世界 的 主體 不必說信念之網(wǎng)的核心描繪了 外部世界 中的抽象數(shù)學(xué)世界 整體主義也與抽象實(shí)體無關(guān) 36 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)4 從自然主義到唯名論 去引號 disquotation 指稱論與真理論 雪 指稱雪 雪是白的 是真的 當(dāng)且僅當(dāng)雪是白的 指稱抽象對象沒有任何困難 3 就指稱3 文字或作為神經(jīng)元的概念與物理對象之間的指稱關(guān)系 是物質(zhì)性的事物之間的非常復(fù)雜的關(guān)系 雪 指稱雪 只是陳述了指稱現(xiàn)象 沒有給出關(guān)于指稱機(jī)制的理論 好比 種瓜得瓜 種豆得豆 只是陳述了遺傳現(xiàn)象 沒有指出遺傳機(jī)制 去引號 真理論也無助于拯救抽象實(shí)體 37 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)4 從自然主義到唯名論 雪 指稱雪的機(jī)制是可以給出的 即語義表示關(guān)系或意向性關(guān)系的自然化 但 3 指稱3的機(jī)制無法同樣給出 去括弧指稱論帶來一個幻覺 認(rèn)為指稱抽象對象與指稱具體事物都是簡單平凡的 去引號 真理論也無助于拯救抽象實(shí)體 38 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué) 5 唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù) 39 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)5 唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù) Whatant realisminphilosophyofmathematicsmustoffer forthcominginSynthese Vol 175 No 1 availableonline 論文 40 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)5 唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù) 如果數(shù)學(xué)對象不存在 那么數(shù)學(xué)知識是關(guān)于什么的知識 數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)直覺 經(jīng)驗是關(guān)于什么的直覺與經(jīng)驗 實(shí)在論者提出 尊重數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識 直覺 經(jīng)驗意味著接受實(shí)在論 唯名論者應(yīng)該指出數(shù)學(xué)實(shí)踐中真正存在的是什么 并用這些真正存在的東西 對數(shù)學(xué)知識 直覺 經(jīng)驗做出與唯名論相一致的解釋 目前的唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)或者未嘗試這一點(diǎn) 或者在嘗試中依舊指稱抽象事物 數(shù)學(xué)知識 直覺 經(jīng)驗在于什么 41 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)5 唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù) 直觀上 數(shù)學(xué)對象與物理對象之間有一些真實(shí)的關(guān)系 如黎曼空間與物理時空在結(jié)構(gòu)上相似 這些關(guān)系是數(shù)學(xué)可應(yīng)用的基礎(chǔ) 一些唯名論者提出 數(shù)學(xué)對象是虛構(gòu)的對象 虛構(gòu)對象可以與物理對象相似 可以做模型模擬真實(shí)對象 但虛構(gòu)對象不存在 在什么意義上不存在的事物可以與物理對象相似 可以做模型 所以這只是比喻式的描述 不是真實(shí)的回答 實(shí)在論者可以說 既然所謂虛構(gòu)對象有這些真實(shí)屬性 它們就在抽象的意義上存在 唯名論者應(yīng)說明 數(shù)學(xué)與物理對象之間的真實(shí)關(guān)系在于什么 并說明這如何是數(shù)學(xué)可應(yīng)用的基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)與物理對象的關(guān)系在于什么 42 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)5 唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù) 直觀上 數(shù)學(xué)是客觀的 不是隨意編撰的故事 如果數(shù)學(xué)對象不存在 數(shù)學(xué)的客觀性不在于抽象數(shù)學(xué)對象的客觀存在性 那么數(shù)學(xué)的客觀性在于什么 承認(rèn)客觀性是否蘊(yùn)含著承認(rèn)抽象實(shí)體 承認(rèn)兩個十進(jìn)制數(shù)字相加的結(jié)果的正確與否的客觀性 是否意味著承認(rèn)十進(jìn)制加法運(yùn)算規(guī)則或加法函數(shù)作為抽象實(shí)體的客觀性 一些唯名論者可能否認(rèn)數(shù)學(xué)的客觀性 認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅是虛構(gòu)的故事 但如果一個工程師的數(shù)學(xué)計算上的錯誤使得一座橋梁坍塌 那應(yīng)該是一個客觀的錯誤 而不僅僅是那個工程師編了一個與眾不同的故事 數(shù)學(xué)的客觀性在于什么 43 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)5 唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù) 一些唯名論者稱 5 7 12是字面意義上 literally 假的 但顯然有與 5 7 12 密切相關(guān)的知識 真理 孩子們在學(xué)習(xí)5 7 12顯然學(xué)到了某種知識 而且 這個知識在直觀上是明顯的 普遍的 必然的 與先天的 真正重要的是解釋 假如作為抽象對象的自然數(shù)不存在 那么 5 7 12 蘊(yùn)含的是關(guān)于什么的知識 而它是否及為何是明顯的 普遍的 必然的 與先天的 解釋算術(shù)的顯明性 普遍性 必然性 與先天性 44 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)5 唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù) 在物理學(xué)家看來 宇宙有可能是有限 離散的 如果是 則假設(shè)無窮的實(shí)在性只能是假設(shè)了不存在于時空之中的抽象對象 宇宙是有限還是無窮在物理學(xué)上沒有定論 但數(shù)學(xué)哲學(xué)不應(yīng)依賴于物理學(xué)假說 而且無窮數(shù)學(xué)可應(yīng)用于明顯是有限 離散的事物 如經(jīng)濟(jì)學(xué)中 即使宇宙真是有限 離散的 我們還是一樣應(yīng)用經(jīng)典數(shù)學(xué) 所以 唯名論者對數(shù)學(xué)的解說不應(yīng)以假設(shè)任何形式的無窮的實(shí)在性為基礎(chǔ) 唯名論者應(yīng)回避假設(shè)無窮的實(shí)在性 45 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)5 唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù) 否定數(shù)學(xué)定理為真理后 解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性 應(yīng)該成為一種唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的主要工作 一些唯名論者只是給數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性貼了一個標(biāo)簽 如經(jīng)驗恰當(dāng)性 empiricaladequacy 而沒有真實(shí)地解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性 一些唯名論者解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性時假設(shè)了無窮 一些唯名論者解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性時指稱所謂 虛構(gòu)對象 因此他們的解釋本身是字面意義上假的 一些唯名論者沒有討論這個問題 解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性 46 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)5 唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù) 將數(shù)學(xué)實(shí)踐視為大腦的活動 對數(shù)學(xué)實(shí)踐作完全地在字面意義上真的 科學(xué)的解釋 以認(rèn)知科學(xué)為基礎(chǔ)解釋數(shù)學(xué)知識 直覺 經(jīng)驗 數(shù)學(xué)與物理對象的聯(lián)系 最終在于大腦中由神經(jīng)元實(shí)現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念 思想與其他物理對象之間的聯(lián)系 數(shù)學(xué)的客觀性在于大腦之間的相似性 以及大腦中的數(shù)學(xué)概念 思想與其它物理對象之間的聯(lián)系上的客觀性 在徹底自然主義中完成這些任務(wù)的策略 47 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)5 唯名論數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù) 算術(shù)與邏輯的顯明性 普遍性 必然性 與先天性 應(yīng)該由大腦的由基因決定的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與先天傾向 以及作為進(jìn)化結(jié)果的大腦與環(huán)境之間的先天適應(yīng)性來解釋 數(shù)學(xué)實(shí)踐中所涉及的事物都是有限的 對數(shù)學(xué)實(shí)踐的自然主義描述是嚴(yán)格地有窮主義的 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性 是有限大腦與有限環(huán)境的某類相互作用中的規(guī)律性 抽象掉其中與邏輯無關(guān)的細(xì)節(jié) 它成為經(jīng)典數(shù)學(xué)中的概念 陳述如何可以幫助推導(dǎo)關(guān)于有限事物的真理這個邏輯問題 在徹底自然主義中完成這些任務(wù)的策略 48 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué) 6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 49 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 StrictFinitismandtheLogicofMathematicalApplications bookdraft availableonline 書稿 論文 50 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 一個數(shù)學(xué)應(yīng)用過程 是一個涉及大腦中的數(shù)學(xué)推理等活動 以及大腦中的事物與大腦外的事物的自然化的對應(yīng)關(guān)系的一個物理過程 自然主義圖景中的數(shù)學(xué)應(yīng)用 物理前提 自然化的真 自然化的真 數(shù)學(xué)化的物理假說 物理結(jié)論 數(shù)學(xué)結(jié)論 模擬 數(shù)學(xué)證明 解釋 大腦 抽象思想 51 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性意味著某一類自然現(xiàn)象中的規(guī)律性 即在那一類大腦的數(shù)學(xué)應(yīng)用過程中 只要存在物理前提與環(huán)境中的事物之間的自然化的對應(yīng)關(guān)系 就一定存在物理結(jié)論與環(huán)境中的事物之間的自然化的對應(yīng)關(guān)系 類似于一類物理過程中的某個物理量的守恒性解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性意味著科學(xué)地解釋這一類自然現(xiàn)象中的規(guī)律性 可應(yīng)用性問題是一個科學(xué)問題 對可應(yīng)用性的解釋是一個科學(xué)解釋 可應(yīng)用性的自然化 52 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性時可以忽略所有心理學(xué)上的細(xì)節(jié) 比如可以假設(shè)大腦中的概念 思想就是某個形式語言中的項與公式 可以忽略自然化的對應(yīng)關(guān)系中的細(xì)節(jié) 將其模擬為形式語言與語義模型之間的滿足關(guān)系 因此 可應(yīng)用性成為一個邏輯問題 解釋可應(yīng)用性成為邏輯上的技術(shù)性的工作 可應(yīng)用性問題可以抽象成邏輯問題 53 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 關(guān)于無窮數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)公理 對于表達(dá)關(guān)于宇宙中有限事物的假說 推導(dǎo)關(guān)于它們的結(jié)論 是否絕對地不可或缺 無窮數(shù)學(xué)的證明如何保持對有限事物的真理性 是否可能將數(shù)學(xué)應(yīng)用過程 表達(dá)為從關(guān)于有限具體事物的真假設(shè) 到關(guān)于有限具體事物的真結(jié)論的邏輯有效的推導(dǎo) 應(yīng)用無窮數(shù)學(xué) 如何簡化了關(guān)于宇宙中有限事物的假說的表達(dá) 以及關(guān)于它們的結(jié)論的推導(dǎo) 目前還未研究這個問題 經(jīng)典數(shù)學(xué)可應(yīng)用性的邏輯之謎 54 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 提出一種嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué) strictfinitism 是無量詞的原始遞歸算術(shù) PRA 的一個片斷 所接受的函數(shù)限于初等遞歸函數(shù) 即由加法 自然數(shù) 減法 乘法 冪函數(shù) 用復(fù)合與有界極小化構(gòu)造出的函數(shù) 其陳述可直接解釋為關(guān)于有限 具體的計算設(shè)備 計算機(jī) 大腦等 的字面意義上為真的陳述 一個解釋可應(yīng)用性的嘗試 55 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性 一個解釋可應(yīng)用性的嘗試 物理假設(shè) 自然化的 真 物理結(jié)論 關(guān)于有限物理對象的有效推理 聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理的假設(shè) 模擬 嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)的公理 有限物理對象 有限計算設(shè)備 56 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 解釋經(jīng)典數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的策略 在嚴(yán)格有窮主義的框架中發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué) 證明嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)原則上就足以表達(dá)科學(xué)理論 完成科學(xué)應(yīng)用中的計算與推理 因此 經(jīng)典數(shù)學(xué)的應(yīng)用原則上可歸約為嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)的應(yīng)用 因此 經(jīng)典數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性被歸約為嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性 一個解釋可應(yīng)用性的嘗試 57 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 關(guān)于無窮數(shù)學(xué)對象的公理 不是關(guān)于宇宙中有限事物的科學(xué)結(jié)論的必不可少的前提 數(shù)學(xué)應(yīng)用過程 原則上可轉(zhuǎn)換為從關(guān)于有限具體事物的假設(shè) 到關(guān)于有限具體事物的結(jié)論的邏輯有效的推導(dǎo) 目的是解釋一個邏輯上的謎 不是要用有窮主義數(shù)學(xué)替代經(jīng)典數(shù)學(xué) 對可應(yīng)用性之謎的回答 58 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 解釋經(jīng)典數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的主要技術(shù)性工作是證明 有窮主義猜想 嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)原則上足以為科學(xué)應(yīng)用提供數(shù)學(xué)工具 因此經(jīng)典數(shù)學(xué)的應(yīng)用原則上可歸約為嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)的應(yīng)用 實(shí)現(xiàn)這個解釋要做的工作 59 一種自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)6 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的邏輯解釋 支持有窮主義猜想的理由 目前已證明微積分 基本的度量空間理論 基本的復(fù)分析 勒貝格積分理論 部分泛涵分析 包括作為經(jīng)典量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的無界線性算子的譜理論 等可以在嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)的框架中發(fā)展起來 見FengYe StrictFinitismandtheLogicofMathematicalApplications bookdraft 無窮與連續(xù)在應(yīng)用中只是用來作近似 似乎不應(yīng)該是絕對不可或缺的 由不完全性定理得出的獨(dú)立于嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)的結(jié)論 應(yīng)該理解為歸納結(jié)論 數(shù)理邏輯中已知的獨(dú)立于嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)的一些結(jié)論 都涉及增長太快的函數(shù) 沒有實(shí)際應(yīng)用的機(jī)會 因為宇宙尺度與基本粒子尺度的比 10100 實(shí)現(xiàn)這個解釋要做的工作 60 謝謝