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1、第三章習題解答 3.13 某發(fā)動機飛輪在時間間隔t內(nèi)的角位移為 0 = at^bP-ct\G : radj'.s).求t時刻的角速度和角加速度。 解：①=隼=。+3b/-4c/3/=騫=64一 12c「 3.14 桑塔納汽車時速為166km/h,車輪滾動半徑為0.26m,發(fā)動機轉(zhuǎn)速與驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速 比為0.909,問發(fā)動機轉(zhuǎn)速為每分多少轉(zhuǎn)？ 解：設(shè)車輪半徑為R=0.26m,發(fā)動機轉(zhuǎn)速為n1,驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速為n2,汽車速度為 v=166km/ho顯然，汽車前進的速度就是驅(qū)動輪邊緣的線速度， v = 2/r Rh2 = 2萬 Rn、［ 0.909 ,所以： O' 題3-15圖 n, =

2、=。鬻:靄產(chǎn)=9.24 x 104 rev//? = 1.54x 10 J*ev/min 3.15如題3?15圖所示，質(zhì)量為加的空心圓柱體,質(zhì)量均勻分布, 其內(nèi)外半徑為門和-2,求對通過其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。 解：設(shè)圓柱體長為〃，密度為P，那么半徑為r,厚為dr的薄圓筒的質(zhì) 量dm為： dm = 對其軸線的轉(zhuǎn)動慣量力2為 di（）o = r2dm = hp2 冗山 r2 1 100r = hp ,24/./dr =—團（6 - ） 3.17如題3?17圖所示，一半圓形細桿,半徑為三，質(zhì)量為 求對過細桿一.端兒*軸的轉(zhuǎn)動慣量。 解：如下圖，圓形細桿對過O軸且垂直于圓形細桿所在

3、平 面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為mR?,根據(jù)垂直軸定理人=/、+'和問題 1 題3.17圖 的對稱性知：圓形細桿對過打軸的轉(zhuǎn)動慣量為LmR2,由轉(zhuǎn) 2 動慣量的可加性可求得：半圓形細桿對過細桿二端"軸的轉(zhuǎn)動慣量為：『口2 3.18在質(zhì)量為M,半徑為R的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為I■的兩個圓孔，圓孔中心在半徑R的中點，求剩余局部對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。 解：大圓盤對過圓盤中心。且與盤面垂直的軸線（以下簡稱。 軸）的轉(zhuǎn)動慣量為 /“河川由于對稱放置，兩個小圓盤對。軸的轉(zhuǎn)動慣量相 等，設(shè)為r,圓盤質(zhì)量的面密度〃=m分廢，根據(jù)平行軸定理， /'= 一皿2）M + （皿2）（?2 =

4、冬+1M/ r=i-ir=\MR2 - Mr' -\Mr2 =^M(R2-r2-2r4/R2) 3.19 —轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為I=8.0kgm2,轉(zhuǎn)速為s=41.9rad/s,兩制動閘瓦對輪的壓 力都為392N,閘瓦與輪緣間的摩擦系數(shù)為「0.4,輪半徑為r=0.4m, 間從開始制動到靜止需多長時間？ 解：由轉(zhuǎn)動定理： M = Ia, 習題3-19 a = ±~= 2*° 絲邛 2x°.4 = 15.68%//s 1 8.0 ' 制動過程可視為勻減速轉(zhuǎn)動，a = Ar = \（ol a = 41.9/15.68 = 2.67s 3.20 一輕繩繞于r=0.2m的飛輪邊緣

5、，以恒力F=98N拉繩，如題3-20圖（a） 飛輪的轉(zhuǎn)動慣量2,軸承無摩擦。求 (1) 飛輪的角加速度。 繩子拉下5m時，飛輪的角速度和動能。 (3) 如把重量P=98N的物體掛在繩端，如題3-20圖（b） 所示，再求上面的結(jié)果。 解（1）由轉(zhuǎn)動定理得： M r F 0.2x98 1Q 9 . _2 a - - = = = 39.2rad s I I 0.5 題3-20圖 （2）由定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理得：A = Ek =-Icer = F?/? =490J (0 = 0.5 2x490 …j T =44.27 racbs （3）物體受力如下圖: a P—

6、T=ma rV = Ja 解方程組并代入數(shù)據(jù)得: a = ra T = T' 設(shè)挖去兩個小圓盤后，剩余局部對。軸的轉(zhuǎn)動慣量為r 98x9,8x0.2 PN + Jg 98x0.22 =2\.7Srad -s~ 2 2g 2 = -Jco2 =-*0.5*33.152 =274.7J 2 2 3.21現(xiàn)在用阿特伍德機測滑輪轉(zhuǎn)動慣量。用輕線且盡可能潤滑輪軸。兩端懸掛重物 質(zhì)量各為mi=0.46kg, m2=0.5kg,滑輪半徑為0.05m。自靜止始，釋放重物后并測得0.5s 內(nèi)m2下降了 0.75m?；嗈D(zhuǎn)動慣量是多少？ 解： 隔離012、mi及滑輪，受力及運動情況如 6—

7、r T 圖所示。對m2、mi分別應(yīng)用牛頓第二定律： 一 / \ ipL ri-ia m2g-T2 = m2a (1);刀-m}g = mxa (2) 對滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理: (T2-T})R = /J3 = la/R (3) 質(zhì)點m2作勻加速直線運動，由運動學公式：\y = \ar , :.a = 2^ylt2 =2x0.75/5.02 =QMm/s2 由 ⑴、⑵可求得 乙一(=(〃％ -叫)g - (機2 +叫)。，代入(3)中，可求得 I =[(m2 +mi)]R2,代入數(shù)據(jù): I = (0.04x9.8/0.06 - 0.96) x 0.052 = 1.39x 10-2A

8、gw2 3.22 質(zhì)量為m,半徑為三的均勻圓盤在水平面上繞中心軸轉(zhuǎn)動，如題3-22圖所示。盤與 水平面的動摩擦因數(shù)為二，圓盤的初角速度為g,問到停止轉(zhuǎn)動，圓盤共轉(zhuǎn)了多少圈？ 解：I=-mR2 如圖斯,示：dm = 2兀ordr M = jdM = -^r/jgdm =r~dr - 由轉(zhuǎn)動定律: dco dO ~dO~dt T dco =J co—— de 得：；mR2 f cod co =— A。2 )—〃mgR . dG 8〃g 積分得: 所以從角速度為①。到停止轉(zhuǎn)動，圓盤共轉(zhuǎn)了網(wǎng)匯圈。 16%/g 3.23 如下圖，彈簧的倔強系數(shù)k=2N/m,

9、可視為圓盤的滑輪 半徑r=0.05m,質(zhì)量w/=80g,設(shè)彈簧和繩的質(zhì)量可不計,繩 不可伸長，繩與滑輪間無相對滑動，運動中阻力不計，求1kg 質(zhì)量的物體從靜止開始（這時彈簧不伸長）落下1米時，速 度的大小等于多少（g取lOm/s?） 解：以地球、物體、彈簧、滑輪為系統(tǒng)，其能量守恒物 體地桌面處為重力勢能的零點，彈簧的原長為彈性勢能的零點, 那么有: 一〃7 v2 +-J(o2 + - kx2 -m.gh = 0 2 2 2 1 7 1 2 L v = rco J - - mr x = h 2 解方程得…J等得 代入數(shù)據(jù)計算得：v=1.48m/s o 即物體卜.落0.5m的速度

10、為1.48m/s 3.24如題3-24圖所示，均質(zhì)矩形薄板繞豎直邊轉(zhuǎn)動,初始角速度為4， 轉(zhuǎn)動時受到空氣的阻力。阻力垂直于板面，每一小面積所受阻力的大 小與其面積及速度平方的乘積成正比，比例常數(shù)為ko試計算經(jīng)過多 少時間，薄板角速度減為原來的一半，設(shè)薄板豎直邊長為b,寬為a, 薄板質(zhì)量為m0 解；如下圖，取圖示的陰影局部為研究對象 題3-24圖 v = xco df = kv'dS = kx?（S bdx dM = X'df = karbx3dx a a 1 =\dM = \ka)1bx3dx = -karbaA 0 0 4 ..rdcD , . d（o 41」 f 41 d（

11、o 4J 4m dt M kco~ha j kba co~ kba co0 3kba~% 所以經(jīng)過T—的時間，薄板角速度減為原來的一半。 3kbeT ①o 3-25 一個質(zhì)量為半徑為R并以角速度。旋轉(zhuǎn)的飛輪（可看 作勻質(zhì)圓盤），在某一瞬間突破口然彳T一片質(zhì)量為，〃的碎片從輪 _ ° 的邊緣上飛出，見題3-25圖。假定碎片脫離飛輪時的瞬時速度 一WU 方向正好豎直?可上， Qy （1）問它能上升多高？ （2）求余下局部的角速度、角動量和轉(zhuǎn)動動能。 題3-25圖 解：（1）碎片以的初速度豎直向上運動。上升的高度：〃=生=《竺 2g 2g （2）余下局部的角速度仍為s 角

12、動量 L = Jeo = （^M — m）R2co 轉(zhuǎn)動動能 Ek=-（-M-m）R2co2 3.26 兩滑冰運發(fā)動，在相距1.5〃？的兩平行線上相向而行。兩人質(zhì)量分別為mA=60kg, mn=70kg,他們的速率分別為VA=7m.s", vti=6m.sl,當二者最接近時，便拉起手來，開 始繞質(zhì)心作圓運動，并保持二者的距離為1.5m。求該瞬時: （1）系統(tǒng)對通過質(zhì)心的豎直軸的總角動量; （2）系統(tǒng)的角速度; （3）兩人拉手前、后的總動能。這一過程中能量是否守恒？ mB x c— 解：如下圖， /八 60x1.5 9 , 一 9 21 （1） x = ——= =—m I-x

13、 = \.j = —m m《+ m § 60 + 70 13 13 26 L = mAvA(l-x) + tnBvBx = 60x7x21/26 + 70x6x9/13 = 6.30xl02kgm2 ? s~x (2) L = Jeo a)c ，代入數(shù)據(jù)求得：2=8.67%TsT _ _C_ c Jc mBx2 + mA(l-x)2 （3）以地面為參考系。 拉手前的總動能：以=，后+；〃7溫，代入數(shù)據(jù)得4=2730人 拉手后的總動能：包括兩個局部：（1）系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動能（2）系統(tǒng)隨質(zhì)心平動的動 能 vc = =0 m/tvA + mBvB _ 70x6-60x7

14、 70 + 60 % = =；/// =27301 動能不變，總能量守恒（因為兩人之間的距離不變，所以兩人之間的拉力不做功, 故總動能守恒，但這個拉力的沖量不為0,所以總動量不守恒）。 3.27 ―均勻細棒長為I,質(zhì)量為小，以與棒長方向相垂直的速度用在光滑 水平面內(nèi)平動時，與前方一固定的光滑支點。發(fā)生完全非彈性碰撞，碰 撞點位于離棒中心一方〃4處，如題3-27圖所示，求棒在碰撞后的瞬時繞 過。點垂直于桿所在平面的軸轉(zhuǎn)動的角速度4 O 解：如下圖：碰撞前后系統(tǒng)對點O的角動量守恒。 題3-27圖 碰撞前后：=〃?％//4 碰撞前后: —ml2 — 12 UJ

15、 由 A = 4 可求得：。（）=~^1~八。"，? 題3-28圖 3.28 如題3-28圖所示，一質(zhì)量為m的小球由一繩索系著,以角 速度so在無摩擦的水平面上，作半徑為/-0的圓周運動.如果在 繩的另一端作用一豎直向下的拉力，使小球作半徑為山〃的圓 周運動.試求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所作的功. 解：如下圖，小球?qū)ψ烂嫔系男】椎慕莿恿渴睾? （1）初態(tài)始角動量 口=〃喏豌；終態(tài)始角動量 4=，%% 由A =4求得：3 = 4g I 1 1 （2）拉力作功：W = 3.29 質(zhì)量為0.50 kg,長為0.40 m的均勻細棒，可繞垂直于棒的一 筆 端的水平軸轉(zhuǎn)動.如將此棒放

16、在水平位置，然后任其落下，如題3-29 圖所示，求：（1）當棒轉(zhuǎn)過60。時的角加速度和角速度；（2）下11 落到豎直位置時的動能；（3）下落到豎直位置時的角速度. 解：設(shè)桿長為/,質(zhì)量為加 題3-29圖 (1)由同轉(zhuǎn)動定理有: 代入數(shù)據(jù)可求得：a = 18.3即&/?$" 由剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得：mg-cosO = --ml2co2 3 。二產(chǎn)片 ,代入數(shù)據(jù)得：/= 7.978/w/?sT (也可以用轉(zhuǎn)動 定理求得角加速度再積分求得角速度) (2)由剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得：W = \Ek Ek = mgh = 0.5x9.8x0.2 = 0.98J ,.、 f2E~

17、 I2x0.98- o c」_1 (3) 69 = Ai = " = 8.573rat/? s V J ^x0,5x0.42 3-30如題3-30圖所示，A與B兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器連接，A輪的轉(zhuǎn)動慣量J = 10.0 kg-m2 ,開始時B輪靜止，A輪以0=600 rmin"的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動，然后使A與B連 接，因而B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于〃 =200「min”為止.求： (1)B輪的轉(zhuǎn)動慣量；(2)在嚙合過程中損失的機械能. 解：研究對象：A、B系統(tǒng)在銜接過程中, 對軸無外力矩作用，故有 Z =常矢 => (

18、, =4￡色二那么代入數(shù)據(jù)可求得：j, = 20kg M °一02 題 3-3()圖 (2) \Ek = i (J^ + J2 -1 (J, + J2)