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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 第2講 命題及其關(guān)系、充要條件 一、填空題 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋(m＋1)y＝2－m與直線mx＋2y＝－8互相垂直的充要條件是m＝________. 解析 x＋(m＋1)y＝2－m與mx＋2y＝－8垂直?1·m＋(m＋1)·2＝0?m＝－. 答案 － 2．對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)，給出三個(gè)命題： ①若f(－2)＝f(2)，則f(x)為偶函數(shù)；②若f(－2)≠f(2)，則f(x)不是偶函數(shù)；③若f(－2)＝f(2)，則f(x)一定不是奇函數(shù)．其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______． 解析　①設(shè)f(x)＝x(x2－4

2、)，則f(－2)＝f(2)，但f(x)是奇函數(shù)；②正確；③設(shè)f(x)＝0(x∈R)，則f(－2)＝f(2)＝0，f(x)是奇函數(shù)．所以②正確． 答案?、? 3．下列命題是假命題的是________(填序號(hào))． ①命題“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”的逆否命題是“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”； ②若02”是“－1≤0”的充分不必要條件． 解析?、僬_；②由0

3、能是點(diǎn)，③不正確；④由－1≤0，得x<－1或x≥2，所以④正確． 答案　③ 4． “a＝3”是“直線ax＋3y＝0與直線2x＋2y＝3平行”的________條件． 解析 本題考查了充分、必要條件的判斷及兩直線平行的充要條件．解決本題的關(guān)鍵是牢記兩直線平行的充要條件．直線ax＋3y＝0與直線2x＋2y＝3平行的充要條件是＝≠，解得a＝3. 答案 充要條件 5．有下面四個(gè)判斷： ①命題“設(shè)a、b∈R，若a＋b≠6，則a≠3或b≠3”是一個(gè)假命題； ②若“p或q”為真命題，則p、q均為真命題； ③命題“?a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“?a、b∈R，a2＋b

4、2≤2(a－b－1)”； ④若函數(shù)f(x)＝ln的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則a＝3. 其中正確的有________個(gè)． 解析 對(duì)于①：此命題的逆否命題為“設(shè)a、b∈R，若a＝3且b＝3，則a＋b＝6”，此命題為真命題，所以原命題也是真命題，①錯(cuò)誤；“p或q”為真，則p、q至少有一個(gè)為真命題，②錯(cuò)誤；“?a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“?a、b∈R，a2＋b2<2(a－b－1)”，③錯(cuò)誤；對(duì)于④：若f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝ln(a＋2)＝0，解得a＝－1，④錯(cuò)誤． 答案 0 6．給出下列命題： p：函數(shù)f(x)＝sin4x－cos

5、4x的最小正周期是π； q：?x∈R，使得log2(x＋1)<0； r：已知向量a＝(λ，1)，b＝(－1，λ2)，c＝(－1,1)，則(a＋b)∥c的充要條件是λ＝－1. 其中所有的真命題是________． 解析 本題考查簡(jiǎn)易邏輯中的相關(guān)知識(shí)．對(duì)于p：f(x)＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，最小正周期T＝π，故p為真命題；對(duì)于q：因?yàn)閘og2(x＋1)的范圍是R，所以?x∈R，使得log2(x＋1)<0，故q為真命題；對(duì)于r：由(a＋b)∥c得λ－1＋λ2＋1＝0，∴λ＝0或λ＝－1，故r為假命題． 答案 p、

6、q 7．下列命題中，①△ABC的三邊分別為a，b，c，則該三角形是等邊三角形的充要條件為a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc；②數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝An2＋Bn是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的必要不充分條件；③A＝B是sin A＝sin B的充分不必要條件；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分別為P、Q，則＝＝是P＝Q的充分必要條件． 其中正確的命題是________． 解析 △ABC中，由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，得(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，則a

7、＝b＝c；若△ABC是等邊三角形，則a＝b＝c，故ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，故①正確．Sn＝An2＋Bn是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件，故②錯(cuò)．顯然③正確．對(duì)于④，由于兩不等式的系數(shù)不確定，由＝＝不能推出P＝Q；反之P＝Q時(shí)，若P＝Q＝?，則不一定有＝＝，故＝＝是P＝Q的既不充分也不必要條件． 答案 ①③ 8．關(guān)于x的方程x2－(2a－1)x＋a2－2＝0至少有一個(gè)非負(fù)實(shí)根的充要條件的a的取值范圍是________． 解析　設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，當(dāng)有一個(gè)非負(fù)實(shí)根時(shí)，x1x2＝a2－2≤0，即－≤a≤；當(dāng)有兩個(gè)非負(fù)實(shí)根時(shí)，? 即≤a≤.綜上，得－≤a≤. 答案　

8、 9．若三條拋物線y＝x2＋4ax－4a＋3，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一條與x軸有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________________． 解析　假設(shè)這三條拋物線與x軸均無(wú)公共點(diǎn)，則 解得－

9、分別為x1，x2，則x1＋x2＝－，x1x2＝， 當(dāng)有一負(fù)實(shí)根時(shí)，?a＜0， 有兩個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，綜上所述，a≤1. 答案　(－∞，1] 二、解答題 11．(1)是否存在實(shí)數(shù)p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分條件？如果存在，求出p的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要條件？如果存在，求出p的取值范圍． 解：(1)當(dāng)x>2或x<－1時(shí)，x2－x－2>0， 由4x＋p<0得x<－，故－≤－1時(shí)， “x<－”?“x<－1”?“x2－x－2>0”． ∴p≥4時(shí)，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分條件． (2)若“4

10、x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要條件，則x2－x－2>0的解集是4x＋p<0的解集的子集，由題知不存在．故不存在實(shí)數(shù)p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要條件． 12．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R.若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． 問(wèn)：這個(gè)命題的逆命題是否成立，并給出證明． 解　逆命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0”． 該命題是真命題，證明如下： 法一　(利用原命題的逆命題與否命題等價(jià)證明)： 若a＋b<0，則a<－b，b

11、<－a， 因?yàn)閒(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)， 所以f(a)

12、條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解 由題意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5. ∴綈p：x<1或x>5. q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：xm＋1. 又∵綈p是綈q的充分而不必要條件， ∴∴2≤m≤4. 14．已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝. (1)當(dāng)a＝時(shí)，求(?UB)∩A； (2)命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解 (1)當(dāng)a＝時(shí)， A＝＝， B＝＝， ∴?UB＝. ∴(?UB)∩A＝. (2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a2，即a>時(shí)，A＝{x|2