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歌德是18世紀德國的一位著名文藝大師 一天 他與一位批評家 狹路相逢 這位文藝批評家生性古怪 遇到歌德走來 不僅沒有相讓 反而賣弄聰明 一邊高傲地往前走 一邊大聲說道 我從來不給傻子讓路 面對如此尷尬的局面 歌德只是笑笑 一邊謙恭的閃在一旁 一邊有禮貌回答道 呵呵 我可恰恰相反 你能分析此故事中歌德與批評家的言行語句嗎 批評家 1 我不給傻子讓路 2 你歌德是傻子 3 我不給你讓路 歌德 1 我給傻子讓路 2 你批評家是傻子 3 我給你讓路 常用邏輯用語 數(shù)學是思維的科學 邏輯是研究思維形式和規(guī)律的科學 邏輯用語是我們必不可少的工具 通過學習和使用常用邏輯用語 掌握常用邏輯用語的用法 糾正出現(xiàn)的邏輯錯誤 體會運用常用邏輯用語表述數(shù)學內(nèi)容的準確性 簡捷性 命題的概念一般地 在數(shù)學中 我們把用語言 符號或式子表達的 可以判斷真假的語句叫做命題 其中判斷為真的語句叫做真命題 判斷為假的語句叫做假命題 1 1 1命題 例1判斷下列語句中哪些是命題 是真命題還是假命題 1 空集是任何集合的子集 2 若整數(shù)a是素數(shù) 則a是奇數(shù) 3 一次函數(shù)的圖象是直線嗎 4 若平面內(nèi)兩條直線不相交 則這兩條直線平行 5 6 x 15 真命題 真命題 真命題 假命題 上面 2 4 具有 若p 則q 的形式 1 5 也可改寫成這種形式 若p 則q 也可寫成 如果p 那么q 只要p 就有q 等形式 其中p叫做命題的條件 q叫做命題的結(jié)論 例2指出下列命題中的條件p和結(jié)論q 1 若整數(shù)a能被2整除 則a是偶數(shù) 2 若四邊形是菱形 則它的對角線互相垂直且平分 有一些命題表面上不是 若p 則q 的形式 但可以改寫成 若p 則q 的形式 例如 對頂角相等 全等三角形的對應邊相等 例3將下列命題改寫成 若p 則q 的形式 并判斷真假 1 垂直于同一條直線的兩條直線平行 2 負數(shù)的立方是負數(shù) 3 對頂角相等 4 等腰三角形兩腰的中線相等 5 無理數(shù)是實數(shù) 6 沒有一個無理數(shù)不是實數(shù) 思考 下列語句是命題嗎 1 x 15 2 2x 1 3 3 x能被2和3整除 有些語句中含有變量 在沒有給出這些變量的值之前無法判斷語句的真假 這種含有變量的語句叫開語句 開語句不是命題 1 全校所有的學生都參加了校運會 2 所有的中國公民的合法權利都受到中國憲法的保護 3 每一個中國公民都有遵守憲法的義務 4 任何中國公民都不能違背中華人民共和國憲法 觀察下列命題 5 對任意的實數(shù)x 都有x2 0 6 存在能被3和5都整除 1 1 2量詞 1 全稱量詞 表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞 所有 任意 每一個 等 讀作 對任意x 記作 2 全稱命題 含有全稱量詞的命題稱為全稱命題 其一般形式為 M為給定的集合 p x 是M中所有元素都具有的性質(zhì) 判斷全稱命題的真假 1 所有的素數(shù)是奇數(shù) 2 x R x2 1 1 3 對每個無理數(shù)x x2也是無理數(shù) 要判定全稱命題 x M p x 是真命題 需要對集合M中每個元素x 證明p x 成立 如果在集合M中找到一個元素x0 使得p x0 不成立 那么這個全稱命題就是假命題 如何判斷一個全稱命題的真假 觀察下列命題 有的平行四邊形是菱形 有一個素數(shù)不是奇數(shù) 有的平行四邊形的四個內(nèi)角都是直角 存在一個函數(shù) 圖象不關于原點對稱 有一些實數(shù)不能做分母 3 存在量詞 表示個體或部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞 至少有一個 存在一個 有些 有的 讀作 存在x 記作 4 存在性命題 特稱命題 含有存在量詞的命題稱為存在性命題 其一般形式為 M為給定的集合 p x 是M中有 存在 一些元素具有的性質(zhì) 讀作 存在一個x屬于M 使p x 成立 判斷存在性命題的真假 1 有一個實數(shù)x 使x2 2x 3 0 2 存在兩個相交平面垂直于同一條直線 3 有些數(shù)只有兩個正因數(shù) 4 存在實數(shù)x 使 0 5 存在整數(shù)x能被3和5都整除 要判定存在性命題 x M p x 是真命題 只需在集合M中找到一個元素x 使p x 成立即可 如果在集合M中 使p x 成立的元素x不存在 則存在性命題是假命題 如何判斷一個存在性命題的真假 例2 判斷下列命題的真假 1 2 3 4 例與練 例1 用量詞符號表示下列命題 1 任意一個實數(shù)的絕對值都是非負數(shù) 2 存在一個自然數(shù)x 使 真 假 真 假 1 2基本邏輯聯(lián)結(jié)詞 在數(shù)學中 有時會使用一些聯(lián)結(jié)詞 如 且 或 非 在生活用語中 我們也使用這些聯(lián)結(jié)詞 但表達的含義和用法與數(shù)學中的含義和用法不盡相同 下面介紹數(shù)學中使用聯(lián)結(jié)詞 且 或 非 聯(lián)結(jié)命題時的含義和用法 1 且 小紅是共青團員 且學習成績?nèi)嗟谝?2既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù) 12能被3整除且能被4整除 邏輯聯(lián)結(jié)詞 且 與日常語言中的 并且 及 和 相當 它表達了兩層含義 P1 小紅是共青團員 q1 小紅學習成績?nèi)嗟谝?P2 2是質(zhì)數(shù) q2 2是偶數(shù) 一般地 用邏輯聯(lián)結(jié)詞 且 把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來 就得到一個新命題 記作p q 讀作 p且q 例1 把下列命題用 且 聯(lián)結(jié)成新命題 并判斷它們的真假 1 p 正方形的四條邊相等 q 正方形的四個角相等 2 p 35是5的倍數(shù) q 35是8的倍數(shù) 3 p 三角形兩條邊的和大于第三邊 q 三角形兩條邊的差小于第三邊 1 p q真 2 p q假 3 p q真 命題p q真與假的判定 真值表 假 假 假 真 當p q都是真命題時 p q是真命題 當p q命題中有一個是假命題 則p q是假命題 如果p q是真命題 則p q一定都是真命題 如果p q是假命題 則p q兩個命題中至少有一個是假命題 由邏輯聯(lián)結(jié)詞 且 構成的命題的含義 A B x x A x B 深化理解概念 我們可以用 且 來定義集合A和B的交集 例2 將下列命題用 且 聯(lián)結(jié)成復合命題 并判斷他們的真假 1 p 平行四邊形的對角線互相平分 q 平行四邊形對角線的長相等 2 p 菱形的對角線互相垂直 q 菱形的對角線互相平分 p q是真 p q是假 3 1既是奇數(shù) 又是質(zhì)數(shù) p q是假 向東走或向西走 要蘋果或要香蕉 不可兼 可兼 2 或 一般地 用邏輯聯(lián)結(jié)詞 或 把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來 就得到一個新命題 記作p q 讀作 p或q 由 或 的含義 我們可以用 或 來定義集合A和B的并集 A B x x A x B 深化理解概念 p或q形式復合命題的真值表 假 真 真 真 如果p q兩個命題中至少一個是真命題 則p q是真命題 只有當p q兩個命題都是假命題時 p q是假命題 如果p q是真命題 則p q至少有一個是真命題 如果p q是假命題 則p q兩個命題中一定都是假命題 例3 判斷下列命題的真假 1 3 3 3 周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等 2 集合A是集合A B的子集或是集合A B的子集 真命題 真命題 假命題 4 24是8的倍數(shù)或24是9的倍數(shù) 5 方程x2 3x 4 0的判別式大于或等于0 真命題 真命題 思考 如果為p q真命題 那么p q一定是真命題嗎 反之 如果p q為真命題 那么p q一定是真命題嗎 是 不一定 思考 如果為p q假命題 那么p q一定是假命題嗎 反之 如果p q為假命題 那么p q一定是假命題嗎 是 不一定 問題 下列各組命題中的兩個命題間有什么關系 1 35能被5整除 35不能被5整除 2 方程x2 x 1 0有實數(shù)根 方程x2 x 1 0無實數(shù)根 3 非 一般地 對一個命題p加以否定 就得到一個新命題 記作 p 讀作 非p 或 p的否定 顯然p與 p不能同真或同假 其中一個為真 另一個必然為假 深化理解概念 由 非 的含義 我們可以用 非 來定義集合A在全集U中的補集 p與 非p 的真值表 p p 假 真 例4 寫出下列語句的非 1 3是奇數(shù) 2 有些三角形是鈍角三角形 3 10 23 4 一切分數(shù)都是有理數(shù) 5 我們班同學中至少有5個身高大于1 8米 下面給出一些關鍵詞的否定 1 存在性命題的否定 存在性命題 p x A p x 它的否定是 p x A p x 2 全稱命題的否定 全稱命題 q x A q x 它的否定是 q x A q x 1 任意三角形都有外接圓 2 任何無理數(shù)的平方仍然是無理數(shù) 例3 判斷下列命題的真假 3 有些實數(shù)不存在平方根 鞏固練習 1 下列命題中為全稱命題的是 A 今天有人請假B 矩形都有外接圓C 存在一個實數(shù)與它的相反數(shù)的和為0D 過直線外一點有一條直線和已知直線平行 2 下列命題中真命題的是 任何一個一元二次方程都有不相等的兩實根B 一切實數(shù)都有平方根C 有些二次函數(shù)的圖象不是拋物線D 存在體積相等的球和正方體 3 任何一個三角形的三條高線都交于一點 是一個 性命題 填 全稱 存在 它是一個 命題 填 真 假 4 判斷下列命題的真假 1 2 3 4 課堂小結(jié) 兩種命題的含義 2 要判斷一個存在性命題為真 只要在給定的集合中 找到一個元素x 使p x 為真 否則命題為假 1 要判斷一個全稱命題為真 必須對給定的集合中的每一個元素x 使p x 為真 要判斷一個全稱命題為假 只要在給定的集合中找到一個元素x 使p x 為假