《高中數(shù)學(xué) 第二章 統(tǒng)計 2.3.1 變量之間的相關(guān)關(guān)系 第二章 統(tǒng)計 2.3.2 兩個變量的線性相關(guān)課件2 新人教A版必修3》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 統(tǒng)計 2.3.1 變量之間的相關(guān)關(guān)系 第二章 統(tǒng)計 2.3.2 兩個變量的線性相關(guān)課件2 新人教A版必修3（39頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3 變量間的相關(guān)關(guān)系2.3.1 變量之間的相關(guān)關(guān)系2.3.2 兩個變量的線性相關(guān)城門失火殃及池魚城門失火殃及池魚 世界是一個普遍聯(lián)系的整體，任何事物都與其世界是一個普遍聯(lián)系的整體，任何事物都與其他事物相聯(lián)系他事物相聯(lián)系. . 函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式量形式. .對于兩個變量，如果當(dāng)一個變量的取值一對于兩個變量，如果當(dāng)一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系量之間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系. . 在中學(xué)校園里，有這樣一種說法：在中學(xué)校園里，有這

2、樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題.”.”按照按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著某種關(guān)系，我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個變量，某種關(guān)系，我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎那么這兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎? ? 不是函數(shù)關(guān)系，但這兩個變量是有一定關(guān)系的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系. 如果能通過數(shù)學(xué)成績對物理成績進行合理估計，將有著非常重要的現(xiàn)實意義.1.1.理解兩個變量的相關(guān)關(guān)系的概念理解兩個

3、變量的相關(guān)關(guān)系的概念. .( (重點）重點）2.2.會作散點圖，并利用散點圖判斷線性相關(guān)關(guān)系會作散點圖，并利用散點圖判斷線性相關(guān)關(guān)系. .（難點）（難點）3.3.了解最小二乘法的思想及回歸方程系數(shù)公式的推導(dǎo)了解最小二乘法的思想及回歸方程系數(shù)公式的推導(dǎo)過程過程. .4.4.通過實例加強回歸直線方程含義的理解，能夠?qū)嵧ㄟ^實例加強回歸直線方程含義的理解，能夠?qū)嶋H問題進行分析和預(yù)測際問題進行分析和預(yù)測. . 當(dāng)自變量一定時當(dāng)自變量一定時, ,因變量的取值帶有一定的隨機性因變量的取值帶有一定的隨機性的兩個變量之間的關(guān)系稱為的兩個變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系. .例例：（：（1 1）商品銷售收入

4、與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系; ; （2 2）糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系）糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系; ; （3 3）人體內(nèi)脂肪含量與年齡之間的關(guān)系）人體內(nèi)脂肪含量與年齡之間的關(guān)系. .變量之間的相關(guān)關(guān)系變量之間的相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系是一種相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系非確定關(guān)系【課堂探究課堂探究1 1】不同點不同點：1.1.函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系, ,是兩個非隨是兩個非隨機變量之間的關(guān)系機變量之間的關(guān)系; ;而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系, ,是是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系. .2.2.

5、兩個變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因是受許多不確定兩個變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因是受許多不確定的隨機因素的影響的隨機因素的影響. .3.3.需要通過樣本來判斷變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系需要通過樣本來判斷變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系. .相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點：相同點相同點：均是指兩個變量的關(guān)系：均是指兩個變量的關(guān)系 在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)的樣本平均數(shù). .以以

6、x x軸表示年齡，軸表示年齡，y y軸表示脂肪含量，你軸表示脂肪含量，你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎？能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎？ 年齡年齡2323272739394141454549495050脂肪脂肪9.59.517.817.821.221.225.925.927.527.526.326.328.228.2年齡年齡5353545456565757585860606161脂肪脂肪29.629.630.230.231.431.430.830.833.533.535.235.234.634.6在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩

7、個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖散點圖. . 這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)正相關(guān). .如果兩個變量成負(fù)相關(guān)，從整體上看這兩個變量如果兩個變量成負(fù)相關(guān)，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何？的變化趨勢如何？一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域. .例例1 1 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和

8、房屋的面積的數(shù)據(jù)：屋的面積的數(shù)據(jù)：畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖，并指出銷售價格與房屋畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖，并指出銷售價格與房屋面積這兩個變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)面積這兩個變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān). . 房屋面積房屋面積（平方米）（平方米）616170701151151101108080135135105105銷售價格銷售價格（萬元）（萬元） 12.212.2 15.315.324.824.821.621.618.418.429.229.22222售價售價/ /萬元萬元正相關(guān)正相關(guān)解：解：在下列兩個變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？在下列兩個變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？正方形邊長與面積之間的關(guān)系；正方形邊長與

9、面積之間的關(guān)系；作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；人的身高與年齡之間的關(guān)系；人的身高與年齡之間的關(guān)系；降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系. .答案：答案：【變式練習(xí)變式練習(xí)】【總結(jié)提升總結(jié)提升】在研究兩個變量之間是否存在某種關(guān)系時，必須從在研究兩個變量之間是否存在某種關(guān)系時，必須從散點圖入手，對于散點圖，可以作如下判斷：散點圖入手，對于散點圖，可以作如下判斷：（1 1）如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，變）如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，變量之間就是函數(shù)關(guān)系；量之間就是函數(shù)關(guān)系；（2 2）如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲

10、線的附近，）如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線的附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；變量之間就有相關(guān)關(guān)系；（3 3）如果所有的樣本點都落在某一直線的附近，）如果所有的樣本點都落在某一直線的附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系；變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系；（4 4）如果散點圖中的點的分布幾乎沒有什么規(guī)）如果散點圖中的點的分布幾乎沒有什么規(guī)則，則這兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系，即兩個則，則這兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系，即兩個變量之間是相互獨立的變量之間是相互獨立的. .除了散點圖，還有其他的表示相關(guān)關(guān)系的圖形嗎？除了散點圖，還有其他的表示相關(guān)關(guān)系的圖形嗎？ 年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中年齡和人體脂肪含量的

11、樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點？的點的分布有什么特點？ 這些點大致分布在一條直線附近這些點大致分布在一條直線附近. .回歸直線回歸直線【課堂探究課堂探究2 2】我們再觀察它的圖象發(fā)現(xiàn)這些點大致分布在一條直我們再觀察它的圖象發(fā)現(xiàn)這些點大致分布在一條直線附近線附近, ,像這樣，如果散點圖中點的分布從整體上像這樣，如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系具有線性相關(guān)關(guān)系, ,這條直線叫做這條直線叫做回歸直線，回歸直線，該直該直線所對應(yīng)的方程叫做線所對應(yīng)的方程叫做回歸方程回歸方程. .那么，我們該怎樣求

12、出這個回歸方程呢？那么，我們該怎樣求出這個回歸方程呢？請同學(xué)們展開討論，能得出哪些具體的方案？請同學(xué)們展開討論，能得出哪些具體的方案？方案方案1 1先畫出一條直線，測量出各點與它的距離，先畫出一條直線，測量出各點與它的距離，再移動直線，到達一個使距離的和最小的位置時，測再移動直線，到達一個使距離的和最小的位置時，測出它的斜率和截距，得到回歸方程出它的斜率和截距，得到回歸方程. .如圖：如圖：方案方案2 2在圖中選兩點作直線，使直線兩側(cè)的點在圖中選兩點作直線，使直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同的個數(shù)基本相同. .方案方案3 3如果多取幾組點，確定多條直線，再求出這如果多取幾組點，確定多條直線，再求出這

13、些直線的斜率和截距的平均數(shù)作為回歸直線的斜率些直線的斜率和截距的平均數(shù)作為回歸直線的斜率和截距而得到回歸方程和截距而得到回歸方程. . 如圖如圖: :對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：(x(x1 1，y y1 1) )，(x(x2 2，y y2 2) )， ，( (x xn n，y yn n) )，如何求回歸方程？，如何求回歸方程？ ybxa最小二乘法最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做和最小的方法叫做最小二乘法最小二乘法. .1211221()()()niiiniiniiiniix

14、xyybxxx ynx yxnxaybx ybxa例例2 2 有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表： /130130128128132132150150156156熱飲杯數(shù)熱飲杯數(shù)12127 74 40 0- -5 5攝氏溫度攝氏溫度13013012812813213215015015615612127 74 40 0- -5 554547676939389891041041161163636313127272

15、323191915155454767693938989104104116116363631312727232319191515（1 1）畫出散點圖）畫出散點圖. .（2 2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律系的一般規(guī)律. .（3 3）求回歸方程）求回歸方程. .（4 4）如果某天的氣溫是）如果某天的氣溫是2 2 ，預(yù)測這天賣出的熱，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)飲杯數(shù). .解解: :（1 1）散點圖如下：散點圖如下：熱飲杯數(shù)熱飲杯數(shù)溫度溫度/O10 20 30 4010 20 30 4050506060160160150150140140130

16、130120120110110100100 90 90 80 80 70 70-10-10（2 2）從散點圖看到，各點散布在從左上角到右下角）從散點圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負(fù)相的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少. .（3 3）從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線）從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此利用公式求出回歸方程的系數(shù)的附近，因此利用公式求出回歸方程的系數(shù). .得回歸得回歸方程方程. . = -2.352x+147.767= -2.3

17、52x+147.767（4 4）當(dāng)）當(dāng)x=2x=2時，時， =143.063. =143.063.因此，某天的氣溫為因此，某天的氣溫為2 2 時，這天大約可以賣出時，這天大約可以賣出143143杯熱飲杯熱飲. .yy求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進行：求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進行：第一步，計算平均數(shù)第一步，計算平均數(shù) ， ; ; 第二步，求和第二步，求和 ， ; ; 第三步，計算第三步，計算 第四步，寫出回歸方程第四步，寫出回歸方程. . xy1niiix y21niix1122211()() , ;()nniiiiiinniiiixx yyx ynx ybaybxxxx

18、nx【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系( )( )A.A.出租車費與行駛的里程出租車費與行駛的里程 B.B.房屋面積與房屋價格房屋面積與房屋價格C.C.身高與體重身高與體重 D.D.鐵的大小與質(zhì)量鐵的大小與質(zhì)量C C2.2.設(shè)某大學(xué)的女生體重設(shè)某大學(xué)的女生體重y(y(單位：單位：kg)kg)與身高與身高x(x(單位：單位：cm)cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(x(xi i，y yi i) )(i(i1,21,2，n)n)，用最小二乘法建立的回歸方程，用最小二乘法建立的回歸方程為為 0.85x0.85x85.718

19、5.71，則下列結(jié)論中不正確的是，則下列結(jié)論中不正確的是 ( () )yA Ay y與與x x具有正的線性相關(guān)關(guān)系具有正的線性相關(guān)關(guān)系B B回歸直線過樣本點的中心回歸直線過樣本點的中心C C若該大學(xué)某女生身高增加若該大學(xué)某女生身高增加1 cm1 cm，則其體重約增，則其體重約增加加0.85 kg0.85 kgD D若該大學(xué)某女生身高為若該大學(xué)某女生身高為170 cm170 cm，則可斷定其體，則可斷定其體重必為重必為58.79 kg58.79 kg解解: :選選D.D.本題考查線性回歸方程的特征與性質(zhì)，意在考本題考查線性回歸方程的特征與性質(zhì)，意在考查考生對線性回歸方程的了解，解題思路：查考生對

20、線性回歸方程的了解，解題思路：A A，B B，C C均均正確，是回歸方程的性質(zhì)，正確，是回歸方程的性質(zhì)，D D項是錯誤的，線性回歸方項是錯誤的，線性回歸方程只能預(yù)測學(xué)生的體重選項程只能預(yù)測學(xué)生的體重選項D D應(yīng)改為應(yīng)改為“若該大學(xué)某女若該大學(xué)某女生身高為生身高為170 cm170 cm，則估計其體重大約為，則估計其體重大約為58.79 kg58.79 kg” 易錯點易錯點 本題易錯一：對線性回歸方程不了解，無法本題易錯一：對線性回歸方程不了解，無法得出答案；易錯二：對回歸系數(shù)得出答案；易錯二：對回歸系數(shù)b b不了解，錯選不了解，錯選C C；易錯；易錯三：線性回歸方程有預(yù)測的作用，得出的結(jié)果不是

21、準(zhǔn)確三：線性回歸方程有預(yù)測的作用，得出的結(jié)果不是準(zhǔn)確結(jié)果，誤以為結(jié)果，誤以為D D項是對的項是對的. .4.4.已知已知x,yx,y的取值如下表所示：的取值如下表所示：如果如果y y與與x x線性相關(guān)，且線性回歸方程為線性相關(guān)，且線性回歸方程為 , ,則則 =( )=( ) A. B. C. D. A. B. C. D.解：解：因為因為 又又 , ,7 ybx2b12121101 11010234546x3,y5,33 7 a27153b,b.22所所以以所所以以B B5 5為分析初中升學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績對高一學(xué)生學(xué)習(xí)情為分析初中升學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績對高一學(xué)生學(xué)習(xí)情況的影響，在高一年級學(xué)生中隨機抽

22、取了況的影響，在高一年級學(xué)生中隨機抽取了1010名學(xué)生，名學(xué)生，他們的入學(xué)成績與期末考試成績?nèi)缦卤恚核麄兊娜雽W(xué)成績與期末考試成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號學(xué)生編號1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010入學(xué)成績?nèi)雽W(xué)成績x x6363676745458888818171715252999958587676期末成績期末成績y y6565787852528282929289897373989856567575(1)(1)若變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線若變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線的方程的方程. .(2)(2)若某學(xué)生的入學(xué)成績?yōu)槿裟硨W(xué)生的入學(xué)成績?yōu)?080分，試估計他

23、的期末分，試估計他的期末成績成績【解析解析】 （1）1(63674588817152995876)7010 x ， 1(65785282928973985675)76,10y1221 0.765 56,niiiniix ynx ybxnx所所以以22.410 8,aybx故所求線性回歸直線方程是故所求線性回歸直線方程是22.410 80.765 56yx （2 2）某學(xué)生入學(xué)成績?yōu)椋┠硨W(xué)生入學(xué)成績?yōu)?8080 分，代入上式可求得分，代入上式可求得84y ，即這個學(xué)生，即這個學(xué)生 期末期末成績的預(yù)測分值約為成績的預(yù)測分值約為 8484 分分 變量間的關(guān)系變量間的關(guān)系函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系散點圖散點圖線性相關(guān)線性相關(guān)確定關(guān)系確定關(guān)系線性回歸方程線性回歸方程不確定關(guān)系不確定關(guān)系 追趕時間的人，生活就會寵愛他；放棄時間的人，生活就會冷落他.