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1、 第二章流體運動學與動力學基礎(chǔ) 2-1 什么叫流線、流管？流線與跡線有什么區(qū)別？ 答： 流線是某瞬時在流場中的一條空間幾何曲線，該曲線上任意一點的切線方向和該點的流體質(zhì)點速度方向平行。 由通過空間某封閉曲線（非流線）的所有流線圍成的管叫做流管。 流線是歐拉觀點下描述流動的曲線，是由同一時刻不同質(zhì)點組成的；跡線是拉格朗日觀點下描述流動的曲線，是給定質(zhì)點在空間走過的軌跡。 2-2 在直角坐標系中，流場速度分量的分布為 試證明過點（1,7）的流線方程為 證明： 流線的控制方程為 （1） 將題中的表達式帶入（1）中，有 （2） 對（2）進行整理，可得 （3） 對

2、（3）進行積分，可得 （4） 將點（1,7）的坐標帶入（4）式可得。 從而過點（1,7）的流線方程為 （5） 2-3設(shè)流場中的速度大小及流線的表達式為 求速度的分量的表達式。 解： 對流線表達式兩端取全微分，有 （1） 整理（1）式可得 （2） （3） 流線的控制方程為 （4） 結(jié)合（3）式與（4）式，可得 （5） 對速度大小表達式兩邊取平方，可得 （6） 聯(lián)立求解方程（5）和（6），可得兩組速度分量的表達式 （7） 2-4求第23題中速度分量的最大變化率及方向。 解： 速度分量的方向?qū)?shù)為 （1） 則其最大的變化率為，最大變化率的方向為。

3、 2-5試證在柱坐標系下，速度的散度表達式為 證明一（利用數(shù)學上散度的定義）： 在柱坐標系下選取一個微元幾何體，其中心坐標為，中心點的速度為，三邊的長度為，利用泰勒展開計算速度矢量通過控制體表面的通量為 （1） 利用數(shù)學上散度的定義，則有 （2） 證明二（利用流體力學中拉格朗日觀點框架下散度的物理含義）： 流體力學中拉格朗日觀點框架下散度的物理含義：流體微團的相對體積膨脹率，即單位體積在單位時間內(nèi)的增長量。 在柱坐標系下選取一個流體微團，在時刻，其中其一點的坐標為，速度為，三邊的長度為，經(jīng)過時刻后該流體微團的三個邊的長度變?yōu)椋ɡ锰├照归_） （1） 則流體微團單位體積

4、在單位時間內(nèi)的增長量為 （2） 證明三（根據(jù)數(shù)學上的坐標變換）： 速度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 （1） 坐標之間的變換關(guān)系式為 （2） 將（1）（2）兩式分別代入速度偏導數(shù)的表達式 (3) (4) 將（3）（4）兩式帶入直角坐標系下的速度散度表達式中，有 （5） 2-6在不可壓流中，下列哪幾個流動滿足質(zhì)量守恒條件？ 解： 對于不可壓縮流動，，質(zhì)量守恒方程簡化為 （a），該流動滿足質(zhì)量守恒； （b），該流動不滿足質(zhì)量守恒； （c），該流動不滿足質(zhì)量守恒； （d）對流線方程兩邊取微分，可得 （1） 整理（1）可得 （2） 已知條件可轉(zhuǎn)換為 （3） 聯(lián)

5、立求解（2）（3），可得 （4） 則速度場的梯度為 （5） 該流動滿足質(zhì)量守恒。 2-7流體運動具有分速度 試問流場是否有旋？若無旋，求出其速度位函數(shù)。 解： （1） 所以流動是無旋的，假設(shè)速度位函數(shù)為，則有 （2） 可得，速度位函數(shù)為 （3） 2-8有不可壓流體做定常運動，其速度場為 其中為常數(shù)，求 （1） 線變形率，角變形率； （2） 流場是否有旋； （3） 是否有速度位函數(shù)存在。 解： （1） 線變形率為 （1） 角變形率為 （2） （2） 角速度為 （3） 所以流場是無旋的。 （3） 因為流場是無旋的，所以存在速度位函數(shù)，則有

6、 （4） 可得，速度位函數(shù)為 （5） 2-9二維位流流場為，求曲線上點（2,-1）處的切向速度分量。 解： 將曲線進行變換，可得 （1） 將（1）式的兩段對求全導數(shù)，可得 （2） 則曲線在點（2,-1）處的切向量為 （4） 流場在曲線上該點處的速度分量為 （5） 2-10設(shè)下列幾種函數(shù)分別代表流動的3個分速度： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）。 其中是常數(shù)。問哪幾種情況可以代表不可壓流動？ 解： （1） （2） （3） （4） （5） 可見，（1）（2）（4）為不可壓縮流動。 2-11某一個流場可以描述為。問應具有什么形式

7、，流場才能滿足連續(xù)條件？為什么？ 解： 對流線方程兩端取全微分，可得 （1） 已知條件可轉(zhuǎn)換為 （3） 聯(lián)立求解（2）（3），可得 （4） 則速度場的梯度為 （5） 2-12： 二維點渦誘導的無旋流場為： 利用柱坐標系下散度公式： 可得： 滿足連續(xù)條件。 2-13： 對流線表達式兩端取全微分，有 （1） 整理（1）式可得 （2） （3） 流線的控制方程為 （4） 結(jié)合（3）式與（4）式，可得 （5） 對速度大小表達式兩邊取平方，可得 （6） 聯(lián)立求解方程（5）和（6），可得兩組速度分量的表達式 （7） 其旋度為，暗影面積為2，故面積分為 環(huán)量積分： 2-14： 速度為：180km/h=50m/s 2-15： 水不可壓，由質(zhì)量守恒知體積流量守恒。 入口速度： 出口速度： 動量定理： 水平方向動量變化=水平方向外力：