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第四章剛體定軸轉(zhuǎn)動 一 一 選擇題 1 幾個力同時作用在一個具有光滑固定轉(zhuǎn)軸的剛體上 如果這幾個力的矢量和為零 則此剛體 A 必然不會轉(zhuǎn)動 B 轉(zhuǎn)速必然不變 C 轉(zhuǎn)速必然改變 D 轉(zhuǎn)速可能不變 也可能改變 2 關(guān)于剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 下列說法中正確的是 A 只取決于剛體的質(zhì)量 與質(zhì)量的空間分布和軸的位置無關(guān) B 取決于剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布 與軸的位置無關(guān) C 取決于剛體的質(zhì)量 質(zhì)量的空間分布和軸的位置 D 只取決于轉(zhuǎn)軸的位置 與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布無關(guān) 3 一根繩子繞在半徑為30cm的輪子上 當輪子由初速度2 0rad s勻減速到靜止 繩子在輪上的長度為25m 輪子的加速度和輪子轉(zhuǎn)過的周數(shù)為 分析 4 一輕繩跨過一具有水平光滑軸 質(zhì)量為M的定滑輪 繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體 m1 m2 繩與輪之間無相對滑動 若某時刻滑輪沿逆時針方向轉(zhuǎn)動 則繩中的張力 A 處處相等 B 左邊大于右邊 C 右邊大于左邊 D 哪邊大無法判斷 5 將細繩繞在一個具有水平光滑軸的飛輪邊緣上 在繩端掛一質(zhì)量為m的重物 飛輪的角加速度為b 如果以拉力2mg代替重物拉繩時 飛輪的角加速度將 A 小于b B 大于b 小于2b C 大于2b D 等于2b 6 一水平圓盤可繞通過其中心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動 盤上站著一個人 把人和圓盤取作系統(tǒng) 當此人在盤上隨意走動時 若忽略軸的摩擦 此系統(tǒng) A 動量守恒 B 機械能守恒 C 對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒 D 動量 機械能和角動量都守恒 E 動量 機械能和角動量都不守恒 7 花樣滑冰運動員繞通過自身的豎直軸轉(zhuǎn)動 開始時兩臂伸開 轉(zhuǎn)動慣量為J0 角速度為w0 然后她將兩臂收回 使轉(zhuǎn)動慣量減少為J0 3 這時她轉(zhuǎn)動的角速度變?yōu)?8 光滑的水平桌面上 有一長為2l 質(zhì)量為m的勻質(zhì)細桿 可繞過其中點且垂直于桿的豎直光滑固定軸O自由轉(zhuǎn)動 其轉(zhuǎn)動慣量為ml2 3 起初桿靜止 桌面上有兩個質(zhì)量均為m的小球各自在垂直于桿的方向上正對著桿的一端 以相同速率v相向運動 當兩小球同時與桿的兩個端點發(fā)生完全非彈性碰撞后 就與桿粘在一起轉(zhuǎn)動 則這一系統(tǒng)碰撞后的轉(zhuǎn)動角速度應為 二 填空題 50ml2 2 力矩的定義式為 在力矩作用下 一個繞軸轉(zhuǎn)動的物體作 運動 若系統(tǒng)所受的合外力矩為零 則系統(tǒng)的 守恒 角動量 變角動量 解 要使該立方體翻轉(zhuǎn)90o 則拉力F對轉(zhuǎn)軸的力矩不能小于重力對轉(zhuǎn)軸的力矩 即 4 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量 動量矩 定理的內(nèi)容是其數(shù)學表達式可寫成 動量矩守恒的條件是 剛體所受對軸的合外力矩等于零 5 一均勻細直棒 可繞通過其一端的光滑固定軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動 使棒從水平位置自由下擺 棒是否作勻角加速轉(zhuǎn)動 理由是 否 6 一飛輪以角速度w0繞光滑固定軸旋轉(zhuǎn) 飛輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1 另一靜止飛輪突然和上述轉(zhuǎn)動的飛輪嚙合 繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動 該飛輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量為前者的二倍 嚙合后整個系統(tǒng)的角速度w 解 將小球和剛作為一系統(tǒng) 因桿質(zhì)量可忽略 所以系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動時受到的對轉(zhuǎn)軸的力矩為小球的重力矩 對系統(tǒng)應用轉(zhuǎn)動定律有 桿剛被釋放時q 0 桿與水平方向夾角為60 時 q 30o 8長為l 質(zhì)量為M的勻質(zhì)桿可繞通過桿一端O的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動 轉(zhuǎn)動慣量為Ml2 3 開始時桿豎直下垂 有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度u0射入桿上A點 并嵌在桿中 OA 2l 3 則子彈射入后瞬間桿的角速度w 分析 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒 三 計算題 1 1 一個質(zhì)量為M 半徑為R的環(huán)放在刀口上 環(huán)可以在自身平面內(nèi)擺動 形成一個物理擺 求此時圓環(huán)擺的轉(zhuǎn)動慣量 2 假設一個相同的環(huán)固定在與其共面且與圓周相切的軸PP 上環(huán)可以自由在紙面內(nèi)外擺動 求此時圓環(huán)擺的轉(zhuǎn)動慣量 3 求兩種小擺動的周期 哪種擺動的周期較長 解 1 圓環(huán)放在刀口上O 以環(huán)中心的平衡位置C點的為坐標原點 Z軸指向讀者 圓環(huán)繞Z軸的轉(zhuǎn)動慣量為 由平行軸定理 關(guān)于刀口的轉(zhuǎn)動慣量為 O 2 由垂直軸定理有 由平行軸定理有 3 復擺的擺動周期為 2長為l質(zhì)量為m2的均勻細桿一端固定 另一端連有質(zhì)量為m1 半徑為b的均勻圓盤 求該系統(tǒng)從圖中位置釋放時的角加速度 解 F 3 物體質(zhì)量為m1和m2 定滑輪的質(zhì)量為m 半徑為r 可視作均勻圓盤 已知m2與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為 k 求m1下落的加速度和兩段繩張力各是多少 設繩子和滑輪間無相對滑動 滑輪軸受的摩擦力忽略不計 解 對兩物體應用牛頓第二定律 對滑輪利用轉(zhuǎn)動定律得 因繩與滑輪不打滑 聯(lián)解上四式 得 4 質(zhì)量為M 長為l的均勻細桿 可繞A端的水平軸自由轉(zhuǎn)動 當桿自由下垂時 有一質(zhì)量為m的小球 在離桿下端的距離為a處垂直擊中細桿 并于碰撞后自由下落 而細桿在碰撞后的最大偏角為 試求小球擊中細桿前的速度 解 球與桿碰撞瞬間 系統(tǒng)所受合外力矩為零 系統(tǒng)碰撞前后角動量守恒 桿擺動過程機械能守恒 解得小球碰前速率為 5 一輕繩繞過一半徑R 質(zhì)量為M 4的滑輪 質(zhì)量為M的人抓住繩子的一端 而繩子另一端系一質(zhì)量為M 2的重物 如圖 求當人相對于繩勻速上爬時 重物上升的加速度是多少 解 選人 滑輪 與重物為系統(tǒng) 系統(tǒng)所受對滑輪軸的外力矩為 設u為人相對繩的勻速度 u為重物上升的速度 則該系統(tǒng)對滑輪軸的角動量為 據(jù)轉(zhuǎn)動定律 即 該題也可在地面參考系中分別對人和物體利用牛頓第二定律 對滑輪應用轉(zhuǎn)動定律求解 第四章剛體定軸轉(zhuǎn)動 二 選擇題 1 如圖所示的剛性啞鈴 設長為2l的桿質(zhì)量與兩個小球的質(zhì)量相等 均為m 啞鈴桿中點O與定軸連接 桿與軸保持夾角 不變 啞鈴繞定軸旋轉(zhuǎn) 角速度為 系統(tǒng)對定軸的角動量為 分析 距離坐標原點為l 長為dl的一段桿對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 積分上得桿對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 桿和兩球?qū)D(zhuǎn)軸的總轉(zhuǎn)動慣量 系統(tǒng)對定軸的角動量 2 細棒A的長度是細棒B的長度的2倍 兩根勻質(zhì)細棒密度相等 二棒的下端分別都由鉸鏈連于地面 將兩棒豎立 釋放后 兩棒落地時動量大小之比為 分析 細桿在下落過程中只有重力做功 系統(tǒng)機械能守恒 以地面為重力勢能0點 則有 落地時動量 3 一靜止的均勻細棒 長為l 質(zhì)量為M 可繞通過棒的端點且垂直于棒長的光滑固定軸O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動 轉(zhuǎn)動慣量為Ml2 3 一質(zhì)量為m 速率為u的子彈在水平面內(nèi)沿與棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端 設穿過棒后子彈的速率為u 2 則此時棒的角速度應為 解細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用 由轉(zhuǎn)動定律得 式中 得 二填空題 1 如圖所示 一質(zhì)量為m的均勻細桿長為l 且一端固定 使其能在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動 支點處摩擦力不計 將該桿從支點上方幾乎豎直處釋放 當桿與豎直方向成 角時的角加速度為 2 一長為l 質(zhì)量可以忽略的直桿 兩端分別固定有質(zhì)量為2m和m的小球 桿可繞通過其中心O且與桿垂直的水平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動 開始桿與水平方向成某一角度q 處于靜止狀態(tài) 如圖所示 釋放后 桿繞O軸轉(zhuǎn)動 則當桿轉(zhuǎn)到水平位時 該系統(tǒng)所受到的合外力矩的大小M 此時該系統(tǒng)角加速度的大小b 解 桿轉(zhuǎn)到水平位時 3 在一水平放置的質(zhì)量為m 長度為l的均勻細桿上 套著一質(zhì)量也為m的套管B 可看作質(zhì)點 套管用細線拉住 它到豎直的光滑固定軸OO 的距離為l 2 桿和套管所組成的系統(tǒng)以角速度w0繞OO 軸轉(zhuǎn)動 若在轉(zhuǎn)動過程中細線被拉斷 套管將沿著桿滑動 在套管滑動過程中 該系統(tǒng)轉(zhuǎn)動的角速度w與套管離軸的距離x的函數(shù)關(guān)系為 已知桿本身對OO 軸的轉(zhuǎn)動慣量為ml2 3 分析 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒 三 計算題 1 質(zhì)量為m的人手持質(zhì)量為m0的物體A站在可繞中心垂直軸轉(zhuǎn)動的靜止圓盤的邊緣處 圓盤的質(zhì)量為6m 半徑為r 圓盤與軸的摩擦可略去不計 此人沿圓盤邊緣切線方向拋出物體A 相對于地面的速率為v 求圓盤的角速度大小和人扔掉物體后的線速度大小 人與圓盤無相對運動 解 將盤 人和物體A視為一系統(tǒng) 在拋物過程中 系統(tǒng)受到的沿轉(zhuǎn)軸的力矩為0 所以沿轉(zhuǎn)軸的角動量守恒 即有 A 2 一均勻細棒可繞通過其端點并與棒垂直的水平軸轉(zhuǎn)動 已知棒長為l 質(zhì)量為m 開始時棒處于水平位置 令棒由水平位置自由擺下 求 1 棒在任意位置時的角加速度 2 棒擺至鉛垂位置時重力矩所做的功 3 角為30 90 時的角速度 4 鉛垂位置時軸端所受外力 解 1 棒在任意位置時的重力矩 2 這功是細棒重力勢能的減少而獲得 3 任意q時的角速度 分離變量 也可根據(jù)機械能守恒求角速度 利用質(zhì)心運動定理 將作用力N正交分解為水平分力Nx 豎直分力Ny 處于鉛垂位置時桿受到軸的作用力N 重力mg 兩力都為有心力 力矩為零 如不考慮轉(zhuǎn)軸摩檫阻力矩的情況下 桿的受到的總合外力矩為0 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律a 0 在水平方向?qū)懗鲑|(zhì)心運動定理為 4 求鉛垂位置時軸端所受外力 在豎直方向?qū)懗鲑|(zhì)心運動定理為 所以豎直位置時桿在軸端所受外力大小為5mg 2 方向豎直向上 3 唱機的轉(zhuǎn)盤繞過盤心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動 唱片放上后將受轉(zhuǎn)盤的摩擦力作用隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動 設唱片可以看成是半徑為R的圓盤 唱片的質(zhì)量為m 唱片與轉(zhuǎn)盤之間摩擦系數(shù)為 求唱片剛放上去時受到的摩擦力矩Mf和唱片由放上去到具有角速度w1所需要的時間t1 解 1 唱片之所以轉(zhuǎn)動是因受到轉(zhuǎn)盤施加的摩擦力矩的作用 在唱片上選半徑為r 寬度為dr的圓環(huán) 它的摩擦力矩為 總的力矩 為唱片面密度 2 由轉(zhuǎn)動定律得唱片的角加速度 由可求得