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1、 高考沖刺 集合與邏輯 【高考展望】 集合與常用邏輯用語是高考的必考內(nèi)容，多為選擇題或填空題，難度不大.集合命題以集合的基本運算，尤其是交集與補集的運算為主；常用邏輯用語多與函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式等知識綜合進行命題，難度不大，命題比較分散，命題的四種形式、充要條件的判斷、含有邏輯聯(lián)結詞的命題的判斷以及含量詞的命題等考點均有涉及. 【知識升華】 一、集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達數(shù)學問題，運用集合觀點去研究和解決數(shù)學問題。 1．學習集合的基礎能力是準確描述集合中的元素，熟練運用集合的各種符號，如、、、、=、、∪，∩等等； 2．強化對集合

2、與集合關系題目的訓練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用Venn圖解題方法的訓練，加強兩種集合表示方法轉換和化簡訓練；解決集合有關問題的關鍵是準確理解集合所描述的具體內(nèi)容（即讀懂問題中的集合）以及各個集合之間的關系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡（或求解），一般應考慮先化簡（或求解）； 3．確定集合的“包含關系”與求集合的“交、并、補”是學習集合的中心內(nèi)容，解決問題時應根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學內(nèi)容來尋求方法。 ① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}； ② AB時，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。 ③

3、若集合A中有個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)是－1, 所有非空真子集的個數(shù)是 ④區(qū)分集合中元素的形式： 如； ； ； ； ； ； 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關系?？占侨魏渭系淖蛹侨魏畏强占系恼孀蛹?。條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。 ⑥符號“”是表示元素與集合之間關系的，立體幾何中的體現(xiàn)點與直線（面）的關系 ；符號“”是表示集合與集合之間關系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關系。 二、常用邏輯用語 1．命題 命題：可以判斷真假的語句叫命題； 邏輯聯(lián)結詞：“或”“且”“非”這

4、些詞就叫做邏輯聯(lián)結詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結詞的命題。復合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結詞構成的命題。 常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，……表示命題，故復合命題有三種形式：p或q；p且q；非p。 2．復合命題的真值 “非p”形式復合命題的真假可以用下表表示： p 非p 真 假 假 真 “p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示： p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示： p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假

5、 注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復合命題當p與q同為真時為真，其他情況為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況為真；3°真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構成的復合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。 3．四種命題 如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，且第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互為逆命題； 如果一個命題的條件和結論分別是原命題的條件和結論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題； 如果一個命題的條件和結論分別是原命題

6、的結論和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆否命題。 兩個互為逆否命題的真假是相同的，即兩個互為逆否命題是等價命題.若判斷一個命題的真假較困難時，可轉化為判斷其逆否命題的真假。 4．充要條件 一般地，如果已知pTq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件。 一般地，如果既有pTq，又有qTp，就記作：pq.“”叫做等價符號。pq表示pTq且qTp。 這時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。 5．全稱命題與特稱命題 這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體

7、量詞的命題，叫做全稱命題。 短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。 【典型例題】 類型一、集合概念 例1.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，則P∩Q等于（ ） A．P　　 B．Q C．　 D．不知道 【思路點撥】類似上題知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同樣Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，這樣P∩Q意義就明確了． 【答案】B 【解析】事實上，P、Q中的代表元素都是y，它們分別表示函數(shù)y=x

8、2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴應選B． 例2. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，則必有（ ） A．P∩Q=　 B．P Q C．P=Q D．P Q 【思路點撥】有的同學一接觸此題馬上得到結論P=Q，這是由于他們僅僅看到兩集合中的y=x2,x∈R相同，而沒有注意到構成兩個集合的元素是不同的，P集合是函數(shù)值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的點的集合，代表元素根本不是同一類事物． 【答案】A 【解析】正確解法應為： P表示函數(shù)y=x2的值域，Q表示拋物線y=x2上的點組成的點集，因此

9、P∩Q=．∴應選A． 舉一反三： 【變式】若，則= （ ） A．{3} B．{1} C． D．{－1} 【答案】D． 【解析】 類型二、集合元素的互異性 集合元素的互異性，是集合的重要屬性，教學實踐告訴我們，集合中元素的互異性常常被學生在解題中忽略，從而導致解題的失敗，下面再結合例題進一步講解以期強化對集合元素互異性的認識． 例3.已知集合A={,＋b, ＋2b}，B={,c, c2}．若A=B，則c的值是______． 【思路點撥】要解決c的求值問題，關鍵是要有方程的數(shù)學思想，此題應根據(jù)相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關系式． 【

10、解析】分兩種情況進行討論． （1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0， =0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故≠0． ∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1時，B中的三元素又相同，此時無解． （2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0， ∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－． 【總結升華】解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進行檢驗和修正． 舉一反三： 【變式】已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，則的值為___

11、___． 【思路點撥】由A∪B=A而推出B有四種可能，進而求出的值． 【解析】∵ A∪B=A， ∵ A={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}． 若B=，則令△<0得∈； 若B={1}，則令△=0得=2，此時1是方程的根； 若B={2}，則令△=0得=2，此時2不是方程的根，∴∈； 若B={1，2}則令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3． 綜上的值為2或3． 【總結升華】本題不能直接寫出B={1，－1}，因為－1可能等于1，與集合元素的互異性矛盾，另外還要考慮到集合B有可能是空集，還有可能是單元素集的情況． 類型三、集

12、合的關系與運算 例4.設集合A={|=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，則集合A、B的關系是________． 【思路點撥】 【解析】任設∈A，則=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)， ∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ ∈B,故． 　　?、? 又任設 b∈B，則 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z), ∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故 　　?、? 由①、②知A=B． 【總結升華】這里說明∈B或b∈A的過程中，關鍵是先要變（或湊）出形式，然后再推理． 舉一反三： 【變式】記關于的不等式的解集為，不等式的解集為． （I）若，求； （II）若

13、，求正數(shù)的取值范圍． 【思路點撥】先解不等式求得集合和． 【解析】（I）由，得． （II）． 由，得，又，所以， 即的取值范圍是． 例5.設集合,則滿足的集合B的個數(shù)是（ ） A . 1 B .3 C .4 D . 8 【解析】，，則集合B中必含有元素3，即此題可轉化為求集合的子集個數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個.故選C. 【總結升華】本題考查了并集運算以及集合的子集個數(shù)問題，同時考查了等價轉化思想. 例6.設全集U={x|0

14、． 【思路點撥】本題用推理的方法求解不如先畫出文氏圖，用填圖的方法來得簡捷，由圖不難看出． 【解析】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}． 【總結升華】類似本題多個集合問題，借助于數(shù)軸上的區(qū)間圖形表示進行處理，采用數(shù)形結合的方法，會得到直觀、明了的解題效果． 類型四、空集的特殊性 空集是一個特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．顯然，空集與任何集合的交集為空集，與任何集合的并集仍等于這個集合．當題設中隱含有空集參與的集合關系時，其特殊性很容易被忽視的，從而引發(fā)解題失誤． 例7. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈

15、R}，若A∩=，則實數(shù)m的取值范圍是_________． 【思路點撥】從方程觀點看，集合A是關于x的實系數(shù)一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知該方程只有兩個負根或無實數(shù)根，從而分別由判別式轉化為關于m的不等式，并解出m的范圍． 【解析】由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0無零根，所以該方程只有兩個負根或無實數(shù)根， 或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4－4． 【總結升華】此題容易發(fā)生的錯誤是由A∩=只片面地推出方程只有兩個負根（因為兩根之積為1，因為方程無零根），而把A=漏掉，因此要全面準確理解和識別集合語言．

16、 例8.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，則實數(shù)p的取值范圍是________． 【解析】由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5． 欲使BA，只須∴ p的取值范圍是－3≤p≤3． 上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結論，即B=時，符合題設． 應有：①當B≠時，即p＋1≤2p－1p≥2． 由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3. ②當B=時，即p＋1>2p－1p＜2． 由①、②得：p≤3． 點評：從以上解答應看到：解決有關A∩B=、A∪B=，AB等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需

17、要在解題過程中要全方位、多角度審視問題． 類型五、集合的新定義問題 例9.已知函數(shù)的定義域為實數(shù)集,滿足(是的非空真子集),在上有兩個非空真子集,且,則的值域為（ ） A． B． C． D． 【思路點撥】首先根據(jù)定義準確理解“”，根據(jù)集合所滿足的條件分析元素與各個集合之間的關系，然后根據(jù)定義分別求出、以及的值，然后代入的表達式中求值. 【答案】B 【解析】因為，，實數(shù)與集合、、的關系共有三種：（1），則必有，又因為，故，根據(jù)定義得； （2），則必有，又因為，故，根據(jù)定義得； （3）且，顯然，根據(jù)定義得.

18、綜上，函數(shù)的值域中只有一個元素1，即函數(shù)的值域為，故選B. 【總結升華】解決此類新定義的問題，其關鍵在于準確理解定義，然后根據(jù)定義進行逐步推理運算，將其轉化為自己熟悉的集合知識，利用元素與集合之間的關系、集合之間的關系以及集合的基本運算問題來解決. 【變式】設、為兩個非空實數(shù)集合，定義集合，若， ，則集合中元素的個數(shù)是（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】當時，無論取何值，； 當時，；當時，； 當時，；當時，. 故，該集合中共有三個元素. 例10.定義集合運算：設, ,則集合的所有元素之和為

19、 （ ） A．0 B．2 C．3 D．6 【思路點撥】本題為新定義問題，可根據(jù)題中所定義的的定義，求出集合，而后再進一步求解． 【解析】由的定義可得：，故選D． 【總結升華】近年來，新定義問題也是高考命題的一大亮點，此類問題一般難度不大，需嚴格根據(jù)題中的新定義求解即可，切忌同腦海中已有的概念或定義相混淆． 關于逆命題、否命題、逆否命題，也可以有如下表述： 第一：交換原命題的條件和結論，所得的命題為逆命題； 第二：同時否定原命題的條件和結論，所得的命題為否命題； 第三：交換原命題的條件和結論，

20、并且同時否定，所得的命題為逆否命題； 例11.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4。給出如下四個結論： ①2011∈[1]； ②－3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“a－b∈[0]。 其中，正確結論的個數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路點撥】對各個選項進行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵-3÷5=-1…2，③整數(shù)集中的數(shù)被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[

21、3]∪[4]；④從正反兩個方面考慮即可得答案． 【答案】C 【解析】①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①正確； ②∵-3=5×（-1）+2，∴-3?[3]，故②錯誤； ③因為整數(shù)集中的數(shù)被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正確； ④∵整數(shù)a，b屬于同一“類”，∴整數(shù)a，b被5除的余數(shù)相同，從而a-b被5除的余數(shù)為0， 反之也成立，故“整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈[0]”．故④正確． 故正確的是：①③④，選C 【總結升華】本題為同余的性質(zhì)的考查，具有一定的創(chuàng)新，關鍵是對題中“類”的題解，屬基礎題．

22、 類型六、命題與邏輯聯(lián)結詞 例12.已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是(　　) A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3 C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3 【答案】A　 【解析】命題的否命題是原命題的條件與結論分別否定后組成的命題，所以選擇A. 【總結升華】一個命題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當變更條件和結論后得到的形式上的命題，解這類試題時要注意對于一些關鍵詞的否定，如本題中等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也

23、不是單純的小于；進行充要條件判斷實際上就是判斷兩個命題的真假，這里要注意斷定一個命題為真需要進行證明，斷定一個命題為假只要舉一個反例即可． 例13.已知命題函數(shù)的定義域為；命題函數(shù)是減函數(shù).若命題和“或”為真，則實數(shù)的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 【思路點撥】先分別求出兩個命題為真時實數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)含邏輯聯(lián)結詞的復合命題的真假判斷兩個命題的真假，求出相應的實數(shù)的取值范圍. 【答案】C 【解析】為真，則，即；為真，則，即.因為命題和“或”為真，所以命題假，命題為真.故的取值范圍是.

24、【總結升華】命題真假的判定方法： （1）簡單命題的判斷根據(jù)所涉及到的只是直接進行判斷； （2）四種命題的真假判斷，互為逆否命題的兩個命題的真假相同； （3）含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假根據(jù)真值表，記住相應的規(guī)律； （4）含有量詞的命題的真假根據(jù)相關知識進行判斷. 舉一反三： 【變式】原命題：“設，若，則.”以及它的逆命題，否命題、逆否命題中，真命題共有（　?。﹤€. 　　A．0　　 　B．1　　 　C．2　 　　D．4 【解析】因為當時，，故原命題是假命題，其逆否命題也是假命題. 逆命題為：若，則.顯然由可知（若，則，與已知矛盾），根據(jù)不等式乘法的

25、單調(diào)性，兩邊同時乘以，可得.即逆命題是正確的，由因為逆命題和否命題互為逆否命題，所以否命題也是正確的. 故原命題的逆命題和否命題是真命題，應選C. 【答案】C 例14.已知命題所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題中為真命題的是（ D ） A． B． C． D． 【解析】不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有 為真命題. 【總結升華】真假判斷（真值表）可概括為: p或q：同假為假，一真為真； p且q：同真為真，一假為假；非p： 真假相反，真假假真 舉一反三： 【變式1】下列命題是真命題的為 A．若,則 B．若,則 C

26、．若,則 D．若,則 【答案】A 【解析】由得,而由得,由,不一定有意義,而 得不到 故選A. 【變式2】設S為復數(shù)集C的非空子集．若對任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集．下列命題： ①集合S＝{a＋bi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集； ②若S為封閉集，則一定有0∈S； ③封閉集一定是無限集； ④若S為封閉集，則滿足S?T?C的任意集合T也是封閉集． 其中真命題是________(寫出所有真命題的序號)． 【答案】 ①② 【解析】 設x＝a1＋b1i，y＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2為整數(shù)，則x＋y＝(

27、a1＋a2)＋(b1＋b2)i，x－y＝(a1－a2)＋(b1－b2)i，xy＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i，由于a1，b1，a2，b2為整數(shù)，故a1±a2，b1±b2，a1a2－b1b2，a1b2＋a2b1都是整數(shù)，所以x＋y，x－y，xy∈S，故集合S＝{a＋bi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集，①是真命題；若S是封閉集，取x＝y(tǒng)∈S，則根據(jù)封閉集的定義，x－y＝x－x＝0∈S，故命題②正確；集合S＝{0}顯然是封閉集，故封閉集不一定是無限集，命題③不正確；集合S＝{0}?{0,1}＝T?C，容易驗證集合T不是封閉集，故命題④不是真命題． 類型七、充要條件 例

28、15.已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的 一條直線，則“”是“”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 【解析】由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面α內(nèi)的一條直線,,則,反過來則不一定.所以“”是“”的必要不充分條件. 【總結升華】判斷充要條件: 首先要分清誰是條件，誰是結論；然后再條件推結論，結論推條件，最后判定。 例16. “”是“”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充

29、分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【思路點撥】簡易邏輯考查重點是命題的真假情況，全稱量詞與存在量詞，充要條件。全稱量詞與存在量詞是新增內(nèi)容，沒有出現(xiàn)單獨命題的情況，只是在大題中有體現(xiàn)。充要條件是近幾年的高考的重點內(nèi)容，它可與三角、立體幾何、解析幾何，不等式等知識聯(lián)系起來綜合考查 【解析】當時，， 反之，當時，有， 或，故應選A. 【總結升華】本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎知識、基本運算的考查. 例17. “”是“”的( ) A．充

30、分不必要條件 B.必要不充分條件 C．充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】由得，所以易知選A. 【總結升華】不等式解集問題可類比集合間的包含關系判斷,大范圍推出小范圍. 類型八、含有量詞的命題 例18.命題“對任意的，”的否定是（ ） A．不存在， 　B．存在， C．存在， 　 D．對任意的， 【答案】C 【解析】一個命題的否定其實就是推翻這個命題，要推翻“對任意的，”，我們只要有一個，使就足夠了．即存在，．選Ｃ． 【總結升華】全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是特稱命題.但同一個特稱或全稱命題由于語言環(huán)境的不同,可有不同的表述方法,在實際應用中要靈活選擇. 舉一反三： 【變式1】命題“存在R，0”的否定是 A. 不存在R, >0 B. 存在R, 0 C. 對任意的R, 0 D. 對任意的R, >0 【解析】由題否定即“不存在，使”，故選擇D。 【變式2】已知命題：，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C.