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1、專題9 平面向量及應(yīng)用 ★★★高考在考什么 【考題回放】 A B C D 1、如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是 （ C ） （A）＝； （B）＋＝； （C）－＝； （D）＋＝． 2、若與都是非零向量，則“”是“”的（ C ） （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 3、已知三點，其中為常數(shù).若，則與的夾角為（ D ） （A） （B）或 （C） （D）或 4、已知向量，，則的最大值為． 5、

2、設(shè)向量，，滿足，，，若｜｜=1,則 ｜｜+｜｜的值是　4　. 6、設(shè)函數(shù)，其中向量，，，。 （Ⅰ）、求函數(shù)的最大值和最小正周期； （Ⅱ）、將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱，求長度最小的。 【專家解答】 (Ⅰ)由題意得=(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx) ＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+). 所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝. （Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k，即x＝,k∈Z， 于是d＝（，－2），k∈Z. 因為

3、k為整數(shù)，要使最小，則只有k＝1，此時d＝（―，―2）即為所求. ★★★高考要考什么 【考點透視】 本專題主要涉及向量的概念、幾何表示、加法和減法，實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算，以及平面向量的數(shù)量積及其幾何意義、平面兩點間的距離公式、線段的定比分點坐標公式和向量的平移公式. 【熱點透析】 在高考試題中，主要考查有關(guān)的基礎(chǔ)知識，突出向量的工具作用。在復(fù)習中要重視教材的基礎(chǔ)作用，加強基本知識的復(fù)習，做到概念清楚、運算準確，不必追求解難題。熱點主要體現(xiàn)在平面向量的數(shù)量積及坐標運算以及平面向量在三角，解析幾何等方面的應(yīng)用. ★★★高考將考什么 【范例1】出下

4、列命題：①若，則； ②若A、B、C、D是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件； ③若，則； ④的充要條件是且∥； ⑤若∥，∥，則∥。 其中，正確命題材的序號是_________________. 解析：①不正確性。兩個向量長度相同，但它的方向不一定相同。 ②正確?！咔?，又A、B、C、D為不共線的四點， ∴ 四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形為平行四邊形， 則，因此。 ③正確?！撸?、的長度相等且方向相同，又=， ∴、的長度相等且方向相同，∴、的長度相等且方向相同，故。 ④不正確。當∥且方向相同，即使，也不能得到。 ⑤不正確?？紤]這種極端

5、情況。 答案：②③。 【點晴】本題重在考查平面的基本概念。 【范例2】平面內(nèi)給定三個向量：?；卮鹣铝袉栴}： （1）求； （2）求滿足的實數(shù)m和n ； （3）若∥，求實數(shù)k； （4）設(shè)滿足∥且，求 解：（1）依題意，得=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6） （2）∵，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n） ∴ 解之得 （3）∵∥，且=（3+4k，2+k），=（-5，2） ∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴； （4）∵=（x-4，y-1），=（2，4）， 又∵∥且， ∴解之得或 ∴=（，）或

6、=（，） 【點晴】根據(jù)向量的坐標運算法則及兩個向量平等行的充要條件、模的計算公式，建立方程組求解。 【范例3】已知射線OA、OB的方程分別為，，動點M、N分別在OA、OB上滑動，且。 （1）若，求P點的軌跡C的方程； （2）已知，，請問在曲線C上是否存在動點P滿足條件，若存在，求出P點的坐標，若不存在，請說明理由。 解：（1）設(shè)，， 則，， 所以，即。 又因為，所以 ，代入得：。 （2），所以， 因為，所以，得， 又，聯(lián)立得，因為，所以不存在這樣的P點。 【點晴】本題是一道綜合題，重在考查向量的概念及軌跡方程的求法。 【文】設(shè)向量a＝(sinx，cosx)，b＝

7、(cosx，cosx)，x∈R，函數(shù)f(x)＝a·(a＋b). （Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最大值與最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。 解：(Ⅰ)∵ ∴的最大值為，最小正周期是。 （Ⅱ）由(Ⅰ)知 即成立的的取值集合是. 【點睛】本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識，考查推理和運算能力. 【范例4】已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）． （I） 求點（x，y）的軌跡C的方程； （II） 若直線l： y=kx+m (m0)與曲線C交于A、B兩點，D（0，–1），且

8、有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍． 解:（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y), –=（x, 0）(1,y)= (x,– y) .(+)(), (+)·()=0, (x+)( x)+y·(y)=0, 故P點的軌跡方程為．　　 （II）考慮方程組 消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*) 顯然1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0. 設(shè)x1,x2為方程*的兩根，則x1+x2=，x0=, y0=kx0+m=, 故AB中點M的坐

9、標為（，）, 線段AB的垂直平分線方程為y=（）, 將D（0，–1）坐標代入，化簡得 4m=3k21, 故m、k滿足 消去k2得 m24m>0, 解得 m<0或m>4. 又4m=3k21>1, 故m(,0)(4,+)． 【點睛】本題用向量語言來表達平面幾何問題，是亮點。 【文】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點，，若點C滿足，點C的軌跡與拋物線交于A、B兩點； （1）求點C的軌跡方程； （2）求證：； （3）在x軸正半軸上是否存在一定點，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由. 解：（1）設(shè)

10、，由知，點C的軌跡為. （2）由消y得： 設(shè)，，則，, 所以，所以，于是 （3）假設(shè)存在過點P的弦EF符合題意，則此弦的斜率不為零，設(shè)此弦所在直線的方程為,由消x得：，設(shè)，， 則，. 因為過點P作拋物線的弦的長度是原點到弦的中點距離的2倍，所以即,所以得，所以存在. ★★★自我提升 1．如圖1所示，是的邊上的中點，則向量（ A ） A. B. C. D. 2．已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則（B） A．（） B．（） C．（） D．（） 3. 的三內(nèi)角所對邊的長分別為設(shè)向量, ,若,則角的大小為（ B ） A.

11、 B. C. D. 4．已知,且關(guān)于的方程有實根,則與的夾角的取值范圍是 ( B ) A.[0,] B. C. D. 5．若三點共線，則的值等于__________. 6．已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b與a-b的夾角的大小是 . 7．已知，與垂直，與的夾角為，且，，求實數(shù)的值及與的夾角． 解：設(shè)，，則； ； ；． 解得，或，對應(yīng)的分別為，或， 分別代入，解得； 8．已知定點，動點在軸上運動，過點

12、作交軸于點，并延長到點，且． （Ⅰ）求點的軌跡； （Ⅱ）直線與的軌跡交于兩點，若，且，求直線的斜率的取值范圍． 解：（1）設(shè)，則 ，又，即為的中點， 因此，的軌跡方程為：，其軌跡為以為焦點的拋物線. （2）設(shè)，與聯(lián)立得： 設(shè)，則是（*）式的兩根，且 由得：，即 .因此，直線方程可寫為： （*）式可化為： 而 即： 令，解得 【文】 （Ⅰ）求M()的軌跡C； (Ⅱ)過點（0，3）作直線與曲線交于A,B兩點，，是否存在直線使OAPB為矩形． 解：（Ⅰ） 設(shè)，則 因此，點的軌跡是以為焦點，長軸長為8的橢圓，其方程為 （Ⅱ）假設(shè)存在這樣的直線，使得為矩形，并設(shè) 與橢圓方程聯(lián)立得： 設(shè)，則是（*）的兩根， 且 因為為矩形，故 則， 由此可得： 解得： 因此，當直線的斜率為時，可使為矩形． 《專題9 平面向量及應(yīng)用》第7頁（共7頁）