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第五章 解三角形與平面向量
學(xué)案23 正弦定理和余弦定理
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，進(jìn)而進(jìn)行恒等變換解決問題.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．
自主梳理
1．三角形的有關(guān)性質(zhì)
(1)在△ABC中，A＋B＋C＝________；
(2)a＋b____c，a－bb?sin A____sin B?A____B；
(4)三角形面積公式：S△ABC＝ah＝absin C＝acsin B＝_________________；
(5)在三角形中有：sin 2A＝s
2、in 2B?A＝B或________________?三角形為等腰或直角三角形；
sin(A＋B)＝sin C，sin ＝cos .
2．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
________________
＝2R
a2＝____________，
b2＝____________，
c2＝____________.
變形
形式
①a＝__________，
b＝__________，
c＝__________；
②sin A＝________，
sin B＝________，
sin C＝________；
③a∶b∶c＝________
3、__；
④＝
cos A＝________________；
cos B＝________________；
cos C＝_______________.
解決
的問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊．
②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角．
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.
自我檢測
1．(2010·上海)若△ABC的三個內(nèi)角滿足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，則△ABC( )
A．一定是銳角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是鈍角三角形
D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三
4、角形
2．(2010·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，則A等于 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．(2011·煙臺模擬)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面積為，則邊a的值為( )
A．2 B.
C. D．3
4．(2010·山東)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，
sin B＋cos B＝，則
5、角A的大小為________．
5．(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，則a＝________.
探究點一 正弦定理的應(yīng)用
例1 (1)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求角A、C和邊c；
(2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求邊b和c.
變式遷移1 (1)在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，則AB＝________；
(2)在△ABC中，若a＝50，b＝25，A＝45°，則B＝________.
探究點二 余弦定理的應(yīng)用
例2 (2011·咸寧月考)已知a、b、c分別是△ABC中角A、B、C的對邊，且
6、a2＋c2－b2＝ac.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝3a，求tan A的值．
變式遷移2 在△ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，B＝，b＝，a＋c＝4，求a.
探究點三 正、余弦定理的綜合應(yīng)用
例3 在△ABC中，a、b、c分別表示三個內(nèi)角A、B、C的對邊，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，試判斷該三角形的形狀．
變式遷移3 (2010·天津)在△ABC中，＝.
(1)證明：B＝C；
(2)若cos A＝－，求sin的值．
1．解斜三角形可以看成是三角變換的
7、延續(xù)和應(yīng)用，用到三角變換的基本方法，同時它是對正、余弦定理，三角形面積公式等的綜合應(yīng)用．
2．在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而求出其他的邊和角時，有可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍．
3．在解三角形中的三角變換問題時，要注意兩點：一是要用到三角形的內(nèi)角和及正、余弦定理，二是要用到三角變換、三角恒等變形的原則和方法．“化繁為簡”“化異為同”是解此類問題的突破口．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010·湖北)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝6
8、0°，則cos B等于 ( )
A．－ B. C．－ D.
2.在△ABC中AB＝3，AC=2，BC=，則等于 ( )
A．－ B．－ C. D.
3．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
4．(2011·聊城模擬)在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，則角B的大小為( )
A．30° B．45°
C．13
9、5° D．45°或135°
5．(2010·湖南)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若C＝120°，
c＝a，則 ( )
A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)
10、010·廣東)已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，則sin C＝________.
8．(2011·龍巖模擬)在銳角△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，則∠BAC的大小為________．
三、解答題(共38分)
9.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，=3.
(1)求△ABC的面積；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
10．(12分)(2010·陜西)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC邊上的一點，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長．
11、
11．(14分)(2010·重慶)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc.
(1)求sin A的值；
(2)求的值．
答案 自主梳理
1．(1)π (2)> (3)> > (4)bcsin A (5)A＋B＝ 2.＝＝ b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C?、?Rsin A 2Rsin B 2Rsin C?、凇 、踫in A∶sin B∶sin C
自我檢測
1．C 2.A 3.C
4. 5.1
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 已知三角形的兩邊和其中一
12、邊的對角，可利用正弦定理求其他的角和邊，但要注意對解的情況進(jìn)行判斷，這類問題往往有一解、兩解、無解三種情況．具體判斷方法如下：在△ABC中．已知a、b和A，求B.若A為銳角，①當(dāng)a≥b時，有一解；②當(dāng)a＝bsin A時，有一解；③當(dāng)bsin Ab時，有一解；②當(dāng)a≤b時，無解．
解 (1)由正弦定理＝得，sin A＝.
∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或A＝120°.
當(dāng)A＝60°時，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝；
當(dāng)A＝120°時，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝.
綜
13、上，A＝60°，C＝75°，c＝，
或A＝120°，C＝15°，c＝.
(2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.
由正弦定理＝＝，
得b＝＝4，c＝＝4＋4.
∴b＝4，c＝4＋4.
變式遷移1 (1) (2)60°或120°
解析 (1)∵在△ABC中，tan A＝，C＝150°，
∴A為銳角，∴sin A＝.
又∵BC＝1.
∴根據(jù)正弦定理得AB＝＝.
(2)由b>a，得B>A，由＝，
得sin B＝＝×＝，
∵0°
14、(2)方法一 將c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a.
由余弦定理，得cos A＝＝.
∵0a，∴B>A，
∴cos A＝＝.
∴tan A＝＝.
方法三 ∵c＝3a，由正弦定理，得sin C＝3sin A.
∵B＝，∴C＝π－(A＋B)＝－A，
∴sin(－A)＝3sin A，
∴sincos A－cossin A＝3sin A，
∴cos A＋sin A＝
15、3sin A，
∴5sin A＝cos A，
∴tan A＝＝.
變式遷移2 解 由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B
＝a2＋c2－2accosπ
＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.
又∵a＋c＝4，b＝，∴ac＝3，
聯(lián)立，解得a＝1，c＝3，或a＝3，c＝1.
∴a等于1或3.
例3 解題導(dǎo)引 利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系．
解 方法一 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)
?a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]
＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2a2cos
16、Asin B＝2b2cos Bsin A，
由正弦定理，得
sin2Acos Asin B＝sin2Bcos Bsin A，
∴sin Asin B(sin Acos A－sin Bcos B)＝0，
∴sin 2A＝sin 2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，
得2A＝2B或2A＝π－2B，
即△ABC是等腰三角形或直角三角形．
方法二 同方法一可得2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A，
由正、余弦定理，即得
a2b×＝b2a×，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，
∴a＝b或c2＝
17、a2＋b2，
∴三角形為等腰三角形或直角三角形．
變式遷移3 解題導(dǎo)引 在正弦定理＝＝＝2R中，2R是指什么？a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C的作用是什么？
(1)證明 在△ABC中，由正弦定理及已知得
＝.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0.
因為－π
18、 4B＝cos22B－sin22B＝－.
所以sin
＝sin 4Bcos ＋cos 4Bsin
＝.
課后練習(xí)區(qū)
1．D 2.D 3.B 4.B 5.A
6．等邊三角形
解析 ∵b2＝a2＋c2－2accos B，
∴ac＝a2＋c2－ac，
∴(a－c)2＝0，
∴a＝c，又B＝60°，
∴△ABC為等邊三角形．
7．1
解析 由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°知，B＝60°.
由正弦定理知，＝，
即sin A＝.
由a
19、
解析 設(shè)∠BAD＝α，∠DAC＝β，
則tan α＝，tan β＝，
∴tan∠BAC＝tan(α＋β)＝
＝＝1.
∵∠BAC為銳角，∴∠BAC的大小為.
9．解 (1)因為cos＝，
所以cos A＝2cos2－1＝，sin A＝.……………………………………………………(4分)
又由·＝3得bccos A＝3，所以bc＝5，
因此S△ABC＝bcsin A＝2.…………………………………………………………………(8分)
(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝20，所以a＝2.………(12分
20、)
10．解
在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得，
cos∠ADC＝
＝＝－，…………………………………………………………………(6分)
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.…………………………………………………………(8分)
在△ABD中，AD＝10，B＝45°，
∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝＝
＝＝5.…………………………………………………………………………(12分)
11．解 (1)∵3b2＋3c2－3a2＝4bc，
∴b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得，cos A＝＝，……………………………………………(4分)
又0
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