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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆ 學案39　空間點、線、面之間的位置關系 導學目標： 1.理解空間直線、平面位置關系的含義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題． 自主梳理 1．平面的基本性質(zhì) 公理1：如果一條直線上的________在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)． 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過____________的一條直線． 公理3：經(jīng)過____________________的三點，有且只有一個平面． 推論1：經(jīng)

2、過____________________，有且只有一個平面． 推論2：經(jīng)過________________，有且只有一個平面． 推論3：經(jīng)過________________，有且只有一個平面． 2．直線與直線的位置關系 (1)位置關系的分類 (2)異面直線判定定理 過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)______________的直線是異面直線． (3)異面直線所成的角 ①定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的____________叫做異面直線a，b所成的角． ②范圍：____________. 3．公

3、理4 平行于____________的兩條直線互相平行． 4．定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角________． 自我檢測 1．若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的位置關系是____________． 2．如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對． 3．三個不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為________． 4．(2010·全國Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成角的大小為_______

4、_． 5．下列命題： ①空間不同三點確定一個平面； ②有三個公共點的兩個平面必重合； ③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面； ④三角形是平面圖形； ⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形； ⑥垂直于同一直線的兩直線平行； ⑦一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交； ⑧兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形． 其中正確的命題是________(填序號). 探究點一　平面的基本性質(zhì) 例1　如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于H，連結EH. (

5、1)求AH∶HD； (2)求證：EH、FG、BD三線共點． 變式遷移1　 如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點，且EH與FG相交于點O. 求證：B、D、O三點共線． 探究點二　異面直線的判定 例2　如圖所示，直線a、b是異面直線，A、B兩點在直線a上，C、D兩點在直線b上．求證：BD和AC是異面直線． 變式遷移2 如圖是正方體或四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的是________(填序號)． 探究點三　異面直線所成的角 例3　(2009·全國

6、Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為 ________________________________________________________________________． 變式遷移3　在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，對角線BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角． 轉(zhuǎn)化與化歸思想 例　(14分)如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對角線AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與

7、平面ABCD所成的角為60°. (1)求四棱錐的體積； (2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值． 多角度審題　對(1)只需求出高PO，易得體積；對(2)可利用定義，過E點作PA的平行線，構造三角形再求解． 【答題模板】 解　(1)在四棱錐P—ABCD中， ∵PO⊥平面ABCD， ∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，[2分] 在Rt△AOB中，∵BO＝AB·sin 30°＝1，又PO⊥OB， ∴PO＝BO·tan 60°＝， ∵底面菱形的面積S＝2××2×2×＝2， ∴VP—ABCD＝×2×＝2.[7分] (2) 取A

8、B的中點F，連結EF，DF， ∵E為PB中點，∴EF∥PA， ∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補角)．[9分] 在Rt△AOB中， AO＝AB·cos 30°＝， ∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝. 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝， 由余弦定理得cos∠DEF＝ ＝＝＝.[12分] 所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為.[14分] 【突破思維障礙】 求兩條異面直線所成的角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關，往往將角的頂點取在其中的一條直線上．特

9、別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點或異面線段的端點．總之，頂點的選擇要與已知量有關，以便于計算，具體步驟如下： (1)利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上； (2)證明作出的角即為所求角； (3)利用三角形來求解，異面直線所成角的范圍是(0°，90°]． 【易錯點剖析】 1．求異面直線所成的角時，僅指明哪個角，而不進行證明． 2．忘記異面直線所成角的范圍，余弦值回答為負值． 1．利用平面基本性質(zhì)證明“線共點”或“點共線”問題： (1)證明共點問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證交點在第

10、三條直線上，有時也可將問題轉(zhuǎn)化為證明三點共線． (2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理2可知這些點在交線上，因此共線． 2．異面直線的判定方法：(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；(2)反證法：用此方法可以證明兩直線是異面直線；(3)判定定理． 3．求異面直線所成的角的步驟： (1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位線、平行四邊形等)作出異面直線的夾角； (2)證明作出的角就是所求的角； (3)利用條件求出這個角； (4)如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．

11、 (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關系是______________． 2．給出下列命題： ①若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；②若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；③一定存在平面α同時和異面直線a、b都平行．其中正確的命題為________(填序號)． 3. 如圖所示，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的大

12、小為________． 4．(2009·全國Ⅱ改編)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成的角的余弦值為________． 5．正四棱錐S—ABCD的側棱長為，底面邊長為，E為SA的中點，則異面直線BE和SC所成的角為________． 6．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論： ①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.則正確結論的序號是______． 7．下面命題正確的是________(填序號)． ①若直線a、b相交，b、c相交，則a、c相交；

13、 ②若a∥b，則a、b與c所成的角相等； ③若a、b與c所成的角相等，則a∥b； ④若a⊥b，b⊥c，則a∥c. 8．在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有____________．(填上所有正確答案的序號) 二、解答題(共42分) 9．(14分) 如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點． 求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面； (2)CE，D1F，DA三線共點． 10．(14分)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、M、N分別為AD、A

14、B、C1D1、B1C1的中點，求證：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN. 11．(14分) 如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，E為AB的中點．求異面直線BD1與CE所成的角的余弦值． 學案39　空間點、線、面之間的位置關系 答案 自主梳理 1．兩點　這個公共點　不在同一條直線上　一條直線和這條直線外的一點　兩條相交直線　兩條平行直線 2．(1)平行　相交　(2)不經(jīng)過該點　(3)①銳角或直角?、凇?.同一條直線　4.相等 自我檢測 1．平行、相交或異面 解析　a

15、，c都與直線b異面，并不能確定直線a，c的關系． 2．24 3．4,6,7,8 4．60° 解析　 將直三棱柱ABC—A1B1C1補成如圖所示的幾何體． 由已知易知：該幾何體為正方體． 連結C1D，則C1D∥BA1. ∴異面直線BA1與AC1所成的角為∠AC1D(或補角)， 在等邊△AC1D中，∠AC1D＝60°. 5．④ 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　證明線共點的問題實質(zhì)上是證明點在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點看作是兩平面的公共點，由公理2得證． (1)解　∵＝＝2，∴EF∥AC. ∴EF∥平面ACD.而EF?平面EFGH， 且平面EFG

16、H∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH. 而EF∥AC，∴AC∥GH. ∴＝＝3，即AH∶HD＝3∶1. (2)證明　∵EF∥GH，且＝，＝， ∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形． 令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD， P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點． 變式遷移1　證明　∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD. 同理可證O∈平面BCD， ∴O∈平面ABD∩平面BCD， 即O∈BD，∴B、D、O三點共線． 例2　解

17、題導引　證明兩直線為異面直線的方法： 1．定義法(不易操作)． 2．反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴密的推理，導出矛盾，從而否定假設肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到． 3．判定定理． 證明　假設BD和AC不是異面直線，則BD和AC共面，設它們共面于α. ∴A、B、C、D∈α，∴AB、CD?α，即a、b?α. 這與a、b是異面直線矛盾，故假設不成立． ∴BD和AC是異面直線． 變式遷移2 ④ 例3　解題導引　高考中對異面直線所成角的考查，一般出現(xiàn)在綜合題的某一步，求異面直線所成角的一般步驟為： (1)平移：選擇適

18、當?shù)狞c，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置的點，如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點． (2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角． (3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之． (4)取舍：因為異面直線所成角θ的取值范圍是0°<θ≤90°，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角． 答案　 解析　 如圖，A1D⊥平面ABC，且D為BC的中點，設三棱柱的各棱長為1，則AD＝，由A1D⊥平面ABC知A1D＝，Rt△A1BD中，易求A1B＝＝. ∵CC1∥AA1，∴AB與AA1所成的角即為AB與C

19、C1所成的角．在△A1BA中，由余弦定理可知cos∠A1AB＝＝.∴AB與CC1所成的角的余弦值為. 變式遷移3　解　 如圖所示，分別取AD、CD、AB、BD的中點E、F、G、H，連結EF、FH、HG、GE、GF. 由三角形的中位線定理知，EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角． 同理，GH∥AD，HF∥BC.GH＝，HF＝， 又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1. 在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2， ∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角為90°. 課后練習區(qū) 1．異面或相交

20、 2．③ 解析?、馘e，c可與a、b都相交； ②錯，因為a、c可能相交也可能平行； ③正確，例如過異面直線a、b的公垂線段的中點且與公垂線垂直的平面即可滿足條件． 3．60° 解析　 將三角形折成三棱錐，如圖所示，HG與IJ為一對異面直線，過D分別作HG與IJ的平行線， 因GH∥DF，IJ∥AD， 所以∠ADF為所求， 因此HG與IJ所成的角為60°. 4. 解析　 如圖所示，連結A1B，則A1B∥C D1，故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B所成的角．設AB＝a，則A1E＝a，A1B＝a，BE＝a. △A1BE中，由余弦定理得 cos∠A1BE＝

21、 ＝＝. 5．60° 解析　設AC與BD的交點為O，則OE∥SC，∴∠BEO(或其補角)即為異面直線BE和SC所成的角， EO＝SC＝，BO＝BD＝， 在△SAB中，cos A＝＝＝ 在△ABE中，cos A＝， ∴BE＝. 在△BEO中，cos∠BEO＝＝， ∴∠BEO＝60°. 6．①③ 解析　把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，易知AB⊥EF，AB∥CM，EF與MN異面，MN⊥CD，故①③正確． 7．② 8．(2)(4) 9．證明　(1)如圖所示，連結CD1，EF，A1B， ∵E、F分別是AB和AA1的中點， ∴EF∥A1B

22、，且EF＝A1B，(2分) 又∵A1D1綊BC， ∴四邊形A1BCD1是平行四邊形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF與CD1確定一個平面α， ∴E，F(xiàn)，C，D1∈α， 即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(6分) (2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1， ∴四邊形CD1FE是梯形， ∴CE與D1F必相交，設交點為P，(8分) 則P∈CE?平面ABCD， 且P∈D1F?平面A1ADD1， ∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.(10分) 又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點．(14分) 10．證明　如圖所示

23、，在A1B1上取中點K，易知四邊形MKBC為平行四邊形．(3分) ∴CM∥BK. 又∵A1K∥BQ，且A1K＝BQ， ∴四邊形A1KBQ為平行四邊形， ∴A1Q∥BK，(9分) 由公理4有A1Q∥MC，(10分) 同理可證A1P∥CN，由于∠PA1Q與∠MCN對應邊分別平行，且方向相反． ∴∠PA1Q＝∠MCN.(14分) 11．解　延長DC至G，使CG＝EB，連結BG、D1G， ∵CG綊EB， ∴四邊形EBGC是平行四邊形． ∴BG∥EC. ∴∠D1BG就是異面直線BD1與CE所成的角．(6分) 在△D1BG中，D1B＝2， BG＝，D1G＝＝. ∴cos∠D1BG＝ ＝＝. ∴異面直線BD1與CE所成角的余弦值是. (14分) 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品