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課時(shí)作業(yè)(二十四) 直線與圓的位置關(guān)系
A組 基礎(chǔ)鞏固
1.圓心為(3,0)且與直線x+y=0相切的圓的方程為( )
A.(x-)2+y2=1 B.(x-3)2+y2=3
C.(x-)2+y2=3 D.(x-3)2+y2=9
解析:本題考查直線與圓相切的性質(zhì).由題意知所求圓的半徑r==,故所求圓的方程為(x-3)2+y2=3,故選B.
答案:B
2.若直線y=x+a與圓x2+y2=1相切,則a的值為( )
A. B.±
C.1 D.±1
解析:本題考查利用直線與圓相切求參數(shù)的
2、值.由題意得=1,所以a=±,故選B.
答案:B
3.若點(diǎn)P(2,-1)為圓C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中點(diǎn),則直線AB的方程為( )
A.x+y-1=0 B.2x+y-3=0
C.2x-y-5=0 D.x-y-3=0
解析:本題考查垂徑定理和直線的方程.圓心是點(diǎn)C(1,0),由CP⊥AB,得kAB=1,又直線AB過點(diǎn)P,所以直線AB的方程為x-y-3=0,故選D.
答案:D
4.已知點(diǎn)A是圓C:x2+y2+ax+4y+10=0上任意一點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于直線x+2y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.10 B.-10
C.-4 D.4
3、解析:本題考查圓的方程及對(duì)稱性質(zhì).通過配方可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+)2+(y+2)2=,由題意,可知直線x+2y-1=0過圓心C(-,-2),∴--4-1=0,∴a=-10.又a=-10時(shí),>0,∴a的值為-10,故選B.
答案:B
5.已知a,b∈R,a2+b2≠0,則直線l:ax+by=0與圓x2+y2+ax+by=0的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.相切
C.相離 D.不能確定
解析:本題考查直線與圓的位置關(guān)系.聯(lián)立,化簡得x2+y2=0,則,即直線l與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)(0,0),因此它們相切,故選B.
答案:B
6.已知圓P:x2+y2-4x+2y+c=0與y軸交
4、于A,B兩點(diǎn),若∠APB=90°,則c的值為( )
A.-3 B.3
C.8 D.-2
解析:本題考查直線和圓的位置關(guān)系.配方得(x-2)2+(y+1)2=5-c,所以圓心是點(diǎn)P(2,-1),半徑r=,點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2.當(dāng)∠APB=90°時(shí),△APB是等腰直角三角形,所以=,得c=-3,故選A.
答案:A
7.若直線l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2x-3=0截得的弦長最短,則k=__________.
解析:本題考查圓的性質(zhì)應(yīng)用.因?yàn)橹本€l:y=kx+1過定點(diǎn)(0,1),且此點(diǎn)在圓C的內(nèi)部,所以當(dāng)點(diǎn)(0,1)與圓心C的連線與直線l垂直時(shí),截得的弦長最短.又圓C的方程
5、可化為(x-1)2+y2=4,所以C(1,0),所以=-1,所以k=1.
答案:1
8.自圓外一點(diǎn)P作圓x2+y2=1的兩條切線PM,PN(M,N為切點(diǎn)),若∠MPN=90°,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是__________.
解析:本題考查軌跡方程的求法.由題意知四邊形OMPN是正方形,所以|OP|=,于是點(diǎn)P的軌跡是圓心在原點(diǎn),半徑為的圓,其方程是x2+y2=2.
答案:x2+y2=2
9.若圓x2+y2=4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是__________.
解析:本題考查直線與圓的位置關(guān)系.因?yàn)閳A的半徑為2,且圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12
6、x-5y+c=0的距離為1,即圓心到直線的距離小于1,所以<1,解得-13<c<13.
答案:(-13,13)
10.已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程.
(2)點(diǎn)P在直線l:2x-4y+3=0上,過點(diǎn)P作圓C的切線,切點(diǎn)記為M,求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo).
解析:(1)將圓C的方程整理,得(x+1)2+(y-2)2=2.
①當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí),設(shè)切線方程為y=kx,
則=,解得k=2±,
從而切線方程為y=(2±)x.
②當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí),設(shè)切線方程為x+y-a=0,則=,解得
7、a=-1或3,
從而切線方程為x+y+1=0或x+y-3=0.
綜上,切線方程為(2+)x-y=0或(2-)x-y=0或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)因?yàn)閳A心C(-1,2)到直線l的距離d==>=r,所以直線l與圓C相離.
當(dāng)|PM|取最小值時(shí),|CP|取得最小值,此時(shí)CP⊥直線l.
所以直線CP的方程為2x+y=0.
解方程組,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,).
B組 能力提升
11.若直線l1:+=1與圓C:x2+y2-2ax-2by=0的兩交點(diǎn)關(guān)于直線l2:2x-y=6對(duì)稱,則圓心坐標(biāo)為( )
A.(4,2) B.(-4,-2)
C.(2,4) D.(-2,-4
8、)
解析:本題考查圓的對(duì)稱性及兩直線垂直的條件.如圖,由題意知圓心C(a,b)在直線l2上,所以2a-b=6?、?,又知l1⊥l2,所以(-)·2=-1?、?,聯(lián)立①②,解得a=4,b=2,故選A.
答案:A
12.曲線y=1+與直線y=k(x-2)+4有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:由y=1+得x2+(y-1)2=4(y≥1).如圖所示為半圓.
而直線y=k(x-2)+4恒過點(diǎn)(2,4).設(shè)A(-2,1),B(2,1),P(2,4).
所以,當(dāng)斜率k滿足kPM
9、A==.∴
10、知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),PA、PB是圓C:x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A、B是切點(diǎn).
(1)求四邊形PACB面積的最小值;
(2)直線上是否存在點(diǎn)P,使∠BPA=60°,若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
解析:(1)如圖,連接PC,由P點(diǎn)在直線3x+4y+8=0上,可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-2-x).
所以S四邊形PACB=2S△PAC=2××|AP|×|AC|=|AP|.
因?yàn)閨AP|2=|PC|2-|CA|2=|PC|2-1,所以當(dāng)|PC|2最小時(shí),|AP|最小.因?yàn)閨PC|2=(1-x)2+(1+2+x)2=(x+1)2+9.所以當(dāng)x=-時(shí),|PC|=9.所以|AP|min==2.即四邊形PACB面積的最小值為2.
(2)由(1)知圓心C到P點(diǎn)距離3為C到直線上點(diǎn)的最小值,若∠APB=60°易得需PC=2,這是不可能的,所以這樣的點(diǎn)P是不存在的.
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