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1 2 3 n 追及與相遇問題 1 追及與相遇問題的實(shí)質(zhì) 2 理清三大關(guān)系 兩者速度相等 它往往是物體間能否追上或 兩者 距離最大 最小的臨界條件 也是分析判斷的切入點(diǎn) 研究的兩物體能否在相同的時(shí)刻到達(dá)相同的空間位置的問題 時(shí)間關(guān)系 速度關(guān)系 位移關(guān)系 3 巧用一個(gè)條件 1 物理分析法 抓好 兩物體能否同時(shí)到達(dá)空間某位置 這一關(guān)鍵 認(rèn)真審題 挖掘題中的隱含條件 在頭腦中建立起一幅物體運(yùn)動(dòng)關(guān)系的圖景 2 數(shù)學(xué)分析法 設(shè)相遇時(shí)間為t 根據(jù)條件列方程 得到關(guān)于t的方程 通常為一元二次方程 用判別式進(jìn)行討論 若 0 即有兩個(gè)解 說明可以相遇兩次 若 0 說明剛好追上或相遇 若 0 說明追不上或不能相碰 3 圖象法 將兩者的速度 時(shí)間圖象在同一坐標(biāo)系中畫出 然后利用圖象求解 4 相對(duì)運(yùn)動(dòng)法 巧妙地選取參照系 然后找兩物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系 解答追及 相遇問題常用的方法 1 速度小者追速度大者 1 在解決追及相遇類問題時(shí) 要緊抓 一圖三式 即 過程示意圖 時(shí)間關(guān)系式 速度關(guān)系式和位移關(guān)系式 另外還要注意最后對(duì)解的討論分析 2 分析追及 相遇類問題時(shí) 要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼 充分挖掘題目中的隱含條件 如 剛好 恰好 最多 至少 等 往往對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài) 滿足相應(yīng)的臨界條件 解題思路 分析兩物體運(yùn)動(dòng)過程 畫運(yùn)動(dòng)示意圖 找兩物體的關(guān)系式 列方程求解 1 汽車一定能追上自行車嗎 若能追上 汽車經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間追上 追上時(shí)汽車的瞬時(shí)速度多大 例3一輛汽車以3m s2的加速度開始啟動(dòng)的瞬間 另一輛以6m s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)的自行車恰好從汽車的旁邊通過 2 當(dāng)v汽v自時(shí) 兩者距離如何變化 汽車追上自行車前多長(zhǎng)時(shí)間與自行車相距最遠(yuǎn) 此時(shí)的距離是多大 3 畫出兩車運(yùn)動(dòng)的v t圖象 并試著用圖象法解上述兩問題 例3一輛汽車以3m s2的加速度開始啟動(dòng)的瞬間 解 汽車 例3一輛汽車以3m s2的加速度開始啟動(dòng)的瞬間 另一輛以6m s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)的自行車恰好從汽車的旁邊通過 1 汽車一定能追上自行車嗎 若能追上 汽車經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間追上 追上時(shí)汽車的瞬時(shí)速度多大 2 當(dāng)v汽v自時(shí) 兩者距離如何變化 汽車追上自行車前多長(zhǎng)時(shí)間與自行車相距最遠(yuǎn) 此時(shí)的距離是多大 解 汽車 乘客 3 畫出兩車運(yùn)動(dòng)的v t圖象 并試著用圖象法解上述兩問題 練一練 甲 乙兩車在平直公路上比賽 某一時(shí)刻 乙車在甲車前方L1 11m處 乙車速度v乙 60m s 甲車速度v甲 50m s 此時(shí)乙車離終點(diǎn)線尚有L2 600m 如圖所示 若甲車加速運(yùn)動(dòng) 加速度a 2m s2 乙車速度不變 不計(jì)車長(zhǎng) 求 1 經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間甲 乙兩車間距離最大 最大距離是多少 2 經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間甲乙兩車相遇 3 試通過計(jì)算說明到達(dá)終點(diǎn)前甲車能否超過乙車 2 速度大者追速度小者 說明 表中的 x是開始追及以后 后面物體因速度大而比前面物體多運(yùn)動(dòng)的位移 x0是開始追及以前兩物體之間的距離 t2 t0 t0 t1 v1是前面物體的速度 v2是后面物體的速度 解 汽車 乘客 此時(shí)人和車相距最近 此過程 x人 vt 4 2m 8m 在一條平直的公路上 乙車以10m s的速度勻速行駛 甲車在乙車的后面做初速度為15m s 加速度大小為0 5m s2的勻減速運(yùn)動(dòng) 則兩車初始距離L滿足什么條件時(shí)可以使 1 兩車不相遇 2 兩車只相遇一次 3 兩車能相遇兩次 設(shè)兩車相遇時(shí)互不影響各自的運(yùn)動(dòng) 例1 一輛汽車在十字路口等候綠燈 當(dāng)綠燈亮起時(shí)汽車以3m s2的加速度開始行駛 恰在這時(shí)一輛自行車以6m s的速度勻速駛來 從后面超過汽車 試求 汽車從路口開動(dòng)后 在追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn) 此時(shí)距離是多少 甲 乙兩車在一平直道路上同向運(yùn)動(dòng) 其v t圖象如圖示 圖中 OPQ和 OQT的 面積 分別為x1和x2 x2 x1 初始時(shí) 甲車在乙車前方x0處 A 若x0 x1 x2 兩車不會(huì)相遇B 若x0 x1 兩車相遇2次C 若x0 x1 兩車相遇1次D 若x0 x2 兩車相遇1次 ABC 分析 汽車追上自行車之前 v汽v自時(shí) x變小 解法一物理分析法 兩者速度相等時(shí) 兩車相距最遠(yuǎn) 速度關(guān)系 v汽 at v自 t v自 a 6 3 2s x v自t at2 2 6 2 3 22 2 6m 解法二用數(shù)學(xué)求極值方法來求解 設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過t時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn) x x1 x2 v自t at2 2 位移關(guān)系 x 6t 3t2 2 由二次函數(shù)求極值條件知 t b 2a 6 3s 2s時(shí) x最大 xm 6t 3t2 2 6 2 3 22 2 6m 解法三用相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解更簡(jiǎn)捷 選勻速運(yùn)動(dòng)的自行車為參考系 則從運(yùn)動(dòng)開始到相距最遠(yuǎn)這段時(shí)間內(nèi) 汽車相對(duì)參考系的各個(gè)物理量為 初速度v0 v汽初 v自 0 6 6m s 末速度vt v汽末 v自 6 6 0 加速度a a汽 a自 3 0 3m s2 解法四用圖象求解 1 自行車和汽車的v t圖象如圖 由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表示位移的大小 所以由圖上可以看出 在相遇之前 在t時(shí)刻兩車速度相等時(shí) 自行車的位移 矩形面積 與汽車位移 三角形面積 之差 即斜線部分 達(dá)最大 所以 t v自 a 6 3 2s 2 由圖可看出 在t時(shí)刻以后 由v自線與v汽線組成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時(shí) 兩車的位移相等 即相遇 所以由圖得相遇時(shí) t 2t 4sv 2v自 12m s 2 什么時(shí)候汽車追上自行車 此時(shí)汽車的速度是多少 解 汽車追上自行車時(shí) 二車位移相等 位移關(guān)系 則vt at 2 2 6 t at 2 2 t 4s v at 3 4 12m s 思考 若自行車超過汽車2s后 汽車才開始加速 那么 前面的1 2兩問如何 例2 A火車以v1 20m s速度勻速行駛 司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距100m處有另一列火車B正以v2 10m s速度與A火車同方向勻速行駛 A車立即做加速度大小為a的勻減速直線運(yùn)動(dòng) 要使兩車不相撞 a應(yīng)滿足什么條件 兩車恰不相撞的條件是 兩車速度相同時(shí)相遇 由A B速度關(guān)系 由A B位移關(guān)系 方法一 物理分析法 方法二 圖象法 代入數(shù)據(jù)得 若兩車不相撞 其位移關(guān)系應(yīng)為 其圖像 拋物線 的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)必為正值 故有 方法三 二次函數(shù)極值法 代入數(shù)據(jù)得 不相撞 0 方法四 判別式法 以B車為參照物 A車的初速度為v0 10m s 以加速度大小a減速 行駛x 100m后 停下 末速度為vt 0 以B為參照物 公式中的各個(gè)量都應(yīng)是相對(duì)于B的物理量 注意物理量的正負(fù)號(hào) 方法五 相對(duì)運(yùn)動(dòng)法 例3 一車從靜止開始以1m s2的加速度前進(jìn) 車后相距x0為25m處 某人同時(shí)開始以6m s的速度勻速追車 能否追上 如追不上 求人 車間的最小距離 一 數(shù)學(xué)分析法 依題意 人與車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等 設(shè)為t 當(dāng)人追上車時(shí) 兩者之間的位移關(guān)系為 x車 x0 x人 即 at2 2 x0 v人t 由此方程求解t 若有解 則可追上 若無解 則不能追上 代入數(shù)據(jù)并整理得 t2 12t 50 0 b2 4ac 122 4 50 1 56 0 所以 人追不上車 二 物理分析法在剛開始追車時(shí) 由于人的速度大于車的速度 因此人車間的距離逐漸減小 當(dāng)車速大于人的速度時(shí) 人車間的距離逐漸增大 因此 當(dāng)人車速度相等時(shí) 兩者間距離最小 at v人t 6s 在這段時(shí)間里 人 車的位移分別為 x人 v人t 6 6 36m x車 at 2 2 1 62 2 18m x x0 x車 x人 25 18 36 7m 二 數(shù)學(xué)分析法 s 1 2 1 t2 25 6t 1 2 1 t2 6t 25 14 0 s t 例4 在平直公路上有兩輛汽車A B平行同向行駛 A車以vA 4m s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng) B車以vB 10m s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng) 當(dāng)B車行駛到A車前x 7m處時(shí)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)以2m s2的加速度做勻減速直線運(yùn)動(dòng) 則從此時(shí)開始A車經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間可追上B車 分析 畫出運(yùn)動(dòng)的示意圖如圖所示 A車追上B車可能有兩種不同情況 B車停止前被追及和B車停止后被追及 究竟是哪一種情況 應(yīng)根據(jù)解答結(jié)果 由實(shí)際情況判斷 解答 設(shè)經(jīng)時(shí)間t追上 依題意 vBt at2 2 x vAt 10t t2 7 4t t 7st 1s 舍去 B車剎車的時(shí)間t vB a 5s 顯然 B車停止后A再追上B B車剎車的位移xB vB2 2a 102 4 25m A車的總位移xA xB x 32m t xA vA 32 4 8s 思考 若將題中的7m改為3m 結(jié)果如何 答 甲車停止前被追及 錯(cuò)解 4t 7 10t 2t2 t 1 舍 t 7 例5 汽車正以10m s的速度在平直公路上做勻速直線運(yùn)動(dòng) 突然發(fā)現(xiàn)正前方10m處有一輛自行車以4m s的速度同方向做勻速直線運(yùn)動(dòng) 汽車立即關(guān)閉油門 做加速度為6m s2的勻減速運(yùn)動(dòng) 問 汽車能否撞上自行車 若汽車不能撞上自行車 汽車與自行車間的最近距離為多少 汽車在關(guān)閉油門減速后的一段時(shí)間內(nèi) 其速度大于自行車速度 因此 汽車和自行車之間的距離在不斷的縮小 當(dāng)這距離縮小到零時(shí) 若汽車的速度減至與自行車相同 則能滿足汽車恰好不碰上自行車 分析 畫出運(yùn)動(dòng)的示意圖如圖所示 物理分析法解 1 汽車速度減到4m s時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和發(fā)生的位移分別為t v自 v汽 a 4 10 6 s 1sx汽 v自2 v汽2 2a 16 100 12 7m這段時(shí)間內(nèi)自行車發(fā)生的位移x自 v自t 4m因?yàn)閤0 x自 x汽所以 汽車不能撞上自行車 汽車與自行車間的最近距離為 x x0 x自 x汽 10 4 7 m 7m 數(shù)學(xué)分析法 x x0 x自 x汽 10 4t 10t 1 2 6t2 3t2 6t 10 84 0 無解不相遇 s t 典例二 追及類問題 例2 摩托車先由靜止開始以25 16m s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng) 后以最大行駛速度25m s勻速運(yùn)動(dòng) 追趕前方以15m s的速度同向勻速行駛的卡車 已知摩托車開始運(yùn)動(dòng)時(shí)與卡車的距離為1000m 則 1 追上卡車前二者相隔的最大距離是多少 2 摩托車經(jīng)過多少時(shí)間才能追上卡車 解析 1 對(duì)摩托車由靜止開始勻加速至vm 25m s 用時(shí)t1 vm a 16s 發(fā)生位移x1 vm2 2a 200m 顯然未追上卡車 則追上卡車前二者共速時(shí) 間距最大 如圖所示 即x x0 x卡 x摩 x摩 v2 2a x卡 v v a 由 聯(lián)立得x 1072m 1 通過運(yùn)動(dòng)的分析 找隱含條件2 利用二次函數(shù)求極值的方法3 因追及相遇問題至少涉及兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)問題 對(duì)描述它們的物理量必須選同一參考系 基本思路是 分別對(duì)兩物體研究 畫出運(yùn)動(dòng)過程示意圖 列出方程 找出時(shí)間關(guān)系 解出結(jié)果 必要時(shí)進(jìn)行討論 2 追上時(shí) 由運(yùn)動(dòng)情景圖 如圖所示 分析可知 x摩 x卡 x0vm2 2a vm t t1 x0 vt解得t 120s 答案 1 1072m 2 120s A B兩輛汽車在筆直的公路上同向行駛 當(dāng)B車在A車前84m處時(shí) B車速度為4m s 且正以2m s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng) 經(jīng)過一段時(shí)間后 B車加速度突然變?yōu)榱?A車一直以20m s的速度做勻速運(yùn)動(dòng) 經(jīng)過12s后兩車相遇 問B車加速行駛的時(shí)間是多少 答案 6s 典例三 用圖象求解追及問題 例3 甲 乙兩車在公路上沿同一方向做直線運(yùn)動(dòng) 它們的v t圖象如圖所示 兩圖象在t t1時(shí)相交于P點(diǎn) P在橫軸上的投影為Q OPQ的 面積 為S 在t 0時(shí)刻 乙車在甲車前面 相距為d 已知此后兩車相遇兩次 且第一次相遇的時(shí)刻為t 則下面四組t 和d的組合可能是 A t t1 d SB t 1 2 t1 d 1 4 SC t 1 2 t1 d 1 2 SD t 1 2 t1 d 3 4 S D 解析 甲做勻速運(yùn)動(dòng) 乙做勻加速運(yùn)動(dòng) 速度越來越大 甲 乙同時(shí)異地運(yùn)動(dòng) 當(dāng)t t1時(shí) 乙的位移為S 甲的位移為2S且v甲 v乙 若兩者第一次相遇在t t1時(shí) 則由d S 2S可得d S 不過不會(huì)出現(xiàn)第二次相遇 所以A錯(cuò)誤 若兩者第一次相遇在t 1 2 t1時(shí) 乙的位移為 1 4 S 甲的位移為S 由d 1 4 S S可得d 3 4 S 所以D正確 B C錯(cuò)誤 1 v t圖象中 由于位移的大小可以用圖線和坐標(biāo)軸包圍的 面積 表示 因此可以根據(jù) 面積 判斷物體是否相遇 還可以根據(jù) 面積 差判斷物體間距離的變化 2 用圖象法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題形象 直觀 利用運(yùn)動(dòng)圖象可以直接得出物體運(yùn)動(dòng)的速度 位移 加速度 甚至可以結(jié)合牛頓第二定律根據(jù)加速度來確定物體的受力情況 甲 乙兩車在一平直道路上同向運(yùn)動(dòng) 其v t圖象如圖示 圖中 OPQ和 OQT的 面積 分別為x1和x2 x2 x1 初始時(shí) 甲車在乙車前方x0處 A 若x0 x1 x2 兩車不會(huì)相遇B 若x0 x1 兩車相遇2次C 若x0 x1 兩車相遇1次D 若x0 x2 兩車相遇1次 ABC