《天津市青光中學(xué)高二數(shù)學(xué) 232雙曲線的簡單幾何性質(zhì)課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《天津市青光中學(xué)高二數(shù)學(xué) 232雙曲線的簡單幾何性質(zhì)課件（24頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.3.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 一、知識再現(xiàn)一、知識再現(xiàn) 前面我們學(xué)習(xí)了橢圓前面我們學(xué)習(xí)了橢圓 的簡單的幾何性質(zhì)：的簡單的幾何性質(zhì)： 范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率. 我們來共同回顧一下橢圓我們來共同回顧一下橢圓 x2/a2+y2/b2=1(ab0) 幾何性質(zhì)的具體內(nèi)容及其研究方法幾何性質(zhì)的具體內(nèi)容及其研究方法.12222byax12222byax 橢 圓標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1(ab0) 幾何 圖形 范圍 對稱性 頂點(diǎn)a、b、c的含義離心率e定義B2B1yxA2A1 0F1F2x|x |a 、|y | b x2/ a2 1 、y 2/ b

2、2 1中心對稱，軸對稱 -x代x、-y代yA1(-a,0 ) , A2(a,0)B1(0-b ) , B2(0,b)分別令x=0，y=0a (長半軸長) c（半焦距長）b（短半軸長) a2=b2+c2焦距與長軸長的比 e=c/a 0eb0)x2/a2-y2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形范圍 對稱性頂點(diǎn) a,b,c的含義離心率e的定義x2 /a2 1 、y 2/ b2 1 -x代x、-y代y分別令x=0，y=0 x a 或 x -a中心對稱，軸對稱A1(-a,0 ) 、A2(a,0)a （實(shí)半軸長實(shí)半軸長）c （半焦距長）半焦距長） b （虛半軸長虛半軸長） a2=c2-b2焦距與實(shí)軸長的

3、比 e=c/a e1a (長半軸長長半軸長) c（半焦距長）半焦距長）b（短半軸長短半軸長) a2=b2+c2焦距與長軸長的比 e=c/a 0e0,b0) y2/a2-x2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形 范圍x a 或 x -a 對稱性中心對稱，軸對稱 頂 點(diǎn)a、b、c的含義 離心率e焦距與實(shí)軸長的比 e=c/a e1 y a 或 y -a中心對稱，軸對稱A1(0,-a ) , A2(0,a)A1(- a, 0) , A2(a, 0)a（實(shí)半軸長） c（半焦距長） b（虛半軸長） a2=c2-b2a （實(shí)半軸長） c（半焦距長）b （虛半軸長） a2=c2-b2焦距與實(shí)軸長的比 e=c/

4、a e1 yx oA2A1 B1B2F1 F2yF2A2A1B2 0 xF1x=ax=-ay=ay=-a B1 四、四、讓我們來討論讓我們來討論 雙曲線的頂點(diǎn)就是雙曲線與坐標(biāo)軸的雙曲線的頂點(diǎn)就是雙曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，你認(rèn)為對嗎？討論并給出答案交點(diǎn)，你認(rèn)為對嗎？討論并給出答案.yF2B1A2A1B2 0 xF1五、讓我們共同分析五、讓我們共同分析 例例1、求雙曲線、求雙曲線 9y2-16x2=144的實(shí)半軸長和的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率. 分析：分析： 化為標(biāo)準(zhǔn)方程：化為標(biāo)準(zhǔn)方程： y2/16-x2/9=1 確定焦點(diǎn)位置：在確定焦點(diǎn)位置：在y軸上軸上 找出找

5、出a、b的值：的值：a=4,b=3 代入關(guān)系式代入關(guān)系式c2=a2+b2=25 、e=c/a=5/4 寫出結(jié)果：寫出結(jié)果：a=4,b=3,F1(0, 5),F2(0,-5),e=5/4. 六、練一練六、練一練 求下列雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長及頂點(diǎn)坐標(biāo)求下列雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長及頂點(diǎn)坐標(biāo). (1)x2-4y2=16 (2) x2/49-y2/25=-1 解答：（解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0) （2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5)請思考：請思考：如若求半焦距長和離心率呢？如若求半焦距長和離心率呢？ 小結(jié)：關(guān)鍵在于求實(shí)半軸小結(jié)：關(guān)鍵在于求實(shí)半軸

6、a的長和虛半軸的長和虛半軸b的長，的長，然后代入關(guān)系式然后代入關(guān)系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距求半焦距c的長的長及離心率及離心率.七、讓我們繼續(xù)研究七、讓我們繼續(xù)研究 請觀察雙曲線的圖象和矩形對角線請觀察雙曲線的圖象和矩形對角線,有何特征？有何特征？ 雙曲線雙曲線 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸的各支向外延伸時(shí)，與矩形的兩條對角線所在的直線逐漸接近時(shí)，與矩形的兩條對角線所在的直線逐漸接近.請思考：結(jié)論正確嗎請思考：結(jié)論正確嗎?F2 yB1A2A1B2 0 xF1 （一）、我們共同來設(shè)計(jì)一個(gè)方案：（一）、我們共同來設(shè)計(jì)一個(gè)方案：八、我們一起來證明八、我們一起來證

7、明 1、由雙曲線的對稱性我們只需研究第一象限的情形；、由雙曲線的對稱性我們只需研究第一象限的情形； 2、如何說明如何說明雙曲線雙曲線 x2/a2-y2/b2=1在第一象限內(nèi)與矩形的對角線所在第一象限內(nèi)與矩形的對角線所在的直線逐漸接近且不相交呢？在的直線逐漸接近且不相交呢？ M(x,y) Q Q（2）如何說明）如何說明|MQ|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0呢？呢？0 xyb ba aLN(x,YN(x,Y) )（3）如何證明）如何證明|MN|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0呢？我呢？我們可用方程的思想解決：們可用方程的思想解決： |MN|=Y- y，求出，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)即可點(diǎn)坐標(biāo)即可.為

8、此我們過點(diǎn)為此我們過點(diǎn)M作一條直線作一條直線L與與y軸平行，交軸平行，交矩形對角線與矩形對角線與N點(diǎn)，坐標(biāo)記為點(diǎn)，坐標(biāo)記為N（ x ，Y）.我我們需證明們需證明N點(diǎn)在點(diǎn)在M點(diǎn)上方，即證點(diǎn)上方，即證y Y.又又|MQ| |MN| ，所只需證明，所只需證明|MN|逐漸減小且逐漸減小且不等于不等于0即可即可.（1）我們在第一象限內(nèi)雙曲線圖象上任取一點(diǎn)）我們在第一象限內(nèi)雙曲線圖象上任取一點(diǎn)M（x, y ），過），過M點(diǎn)向矩形的對角線點(diǎn)向矩形的對角線y=bx/a引垂線，垂足為引垂線，垂足為Q點(diǎn)。我們只需說點(diǎn)。我們只需說明明|MQ|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0即可即可.a a) )( (x xa a

9、x xa ab by y2 22 2x xa ab bY Y 2 22 2a ax xa ab by y2 2x xa a1 1x xa ab bx xa ab bY Y（二）、我們來證明二）、我們來證明 先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進(jìn)行證明這一部先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進(jìn)行證明這一部分的方程可寫為分的方程可寫為0 xyN(x,YN(x,Y) ) Q QM(x,y)y yY YMNMN) )a ax x(x(xa ab b2 22 2) )a ax x(x(x) )a ax x)(x)(xa ax x(x(xa ab b2 22 22 22 22 22 2) )a ax x(x(xabab

10、2 22 2 在該式子中在該式子中x (xa)逐漸增大時(shí)，逐漸增大時(shí)， |MN|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0.又又|MQ| |MN|，所以，所以|MQ|逐漸減小且不等逐漸減小且不等于于0.即雙曲線即雙曲線 x2/a2-y2/b2=1在第一象限內(nèi)與矩在第一象限內(nèi)與矩形的對角線所在的直線逐漸接近且不相交形的對角線所在的直線逐漸接近且不相交.在其在其它象限內(nèi)，我們可類似證明它象限內(nèi)，我們可類似證明. yN(x,YN(x,Y) )M(x,y)0 x Q Q （三）、請注意：（三）、請注意：1、當(dāng)焦點(diǎn)在、當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)也可類似證明具有同樣性質(zhì)；軸上時(shí)也可類似證明具有同樣性質(zhì)； 2、我們把兩條直線

11、、我們把兩條直線 y =bx /a 叫做雙曲線的叫做雙曲線的漸近線漸近線.3、當(dāng)焦點(diǎn)在、當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，漸，漸 近線方程為近線方程為y =bx /a ； 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為y2/a2- x2/b2=1(a0,b0)，漸近，漸近 線方程為線方程為y =ax /b .九、動腦筋九、動腦筋1 1、如何求雙曲線的漸近線？、如何求雙曲線的漸近線？ 例：例：求下列雙曲線求下列雙曲線 的漸近線的漸近線 （1 1） 9y2-16x2=144； （2 2） 9y2-16x2= -144 . 規(guī)律總結(jié)：規(guī)律總結(jié)：（1）求

12、矩形對角線所在的直線方程；）求矩形對角線所在的直線方程；解答：解答：（1）y=4x/3 ， （2）y=4x/30yb ba a （2）化成標(biāo)準(zhǔn)式后再將）化成標(biāo)準(zhǔn)式后再將1換成換成0或直接將常數(shù)項(xiàng)換為或直接將常數(shù)項(xiàng)換為0.2、雙曲線與其漸近線之間是否是一對一關(guān)系？、雙曲線與其漸近線之間是否是一對一關(guān)系？例：當(dāng)漸近線方程為例：當(dāng)漸近線方程為y=bx/a時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方 程一定是程一定是x2/a2-y2/b2=1嗎？為什么？嗎？為什么？xy=bx/ay=-bx/a 3、類比作橢圓的簡圖、類比作橢圓的簡圖,如何較規(guī)范地作出如何較規(guī)范地作出雙曲線的圖形？雙曲線的圖形？ 例：畫出下列雙

13、曲線的圖形例：畫出下列雙曲線的圖形 （1） 9y2-16x2=144； （2） x2 -y2= 4 .注注:實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線 叫做等軸雙曲線叫做等軸雙曲線.0yxM- 3 3 4 - 4十、讓我們來共同回顧十、讓我們來共同回顧 本節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了那些內(nèi)容：本節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了那些內(nèi)容： 橢圓 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1(ab0) x2/a2-y2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形 范圍|x |a 、|y | b x a 或 x -a對稱性中心對稱，軸對稱 中心對稱，軸對稱頂點(diǎn)A1(-a,0 ) , A2(a,0)B1(0-b ) , B2(0,b)

14、 A1(-a,0 ) 、 A2(a,0)a,b,c的含義a (長半軸長) c（半焦距長）b（短半軸長） a2=b2+c2a （實(shí)半軸長）c （半焦距長） b （虛半軸長） a2=c2-b2離心率e定義焦距與長軸長的比 e=c/a 0e1B2B1yxA2A1 0F1F2yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2-2/b2=1(a0,b0)y2/a2-x2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形 范圍 x a 或 x -a y a 或 y -a 對稱性 中心對稱，軸對稱中心對稱，軸對稱 頂 點(diǎn)A1(-a,0 ) , A2(a,0) A1(0,-a ) , A2(0,a)a、b、

15、c的含義a （實(shí)半軸長） c（半焦距）b （虛半軸長） a2=c2-b2a（實(shí)半軸長） c（半焦距長） b（虛半軸長） a2=c2-b2 離心率e焦距與實(shí)軸長的比 e=c/a e1焦距與實(shí)軸長的比 e=c/a e1yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a yx oA2A1 B1B2F1 F2 雙曲線的漸近線雙曲線的漸近線yF2 yx oA2A1 B1B2F1 F2 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，漸，漸 近線方程為近線方程為y =bx /a ； 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，漸近，漸近 線方程為線方程為y =ax /b .B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a 1 1、離心率、離心率E E的變化對雙曲線圖形有何影響？的變化對雙曲線圖形有何影響？ 如何解釋？如何解釋？ 十一、課后請你思考題十一、課后請你思考題0yb ba aF1CF2x0ye1e2e3e4 2、 如圖，雙曲線和橢圓的離心率分別為如圖，雙曲線和橢圓的離心率分別為e1、e2、e3、e4, 試比較試比較e1、e2、e3、e4 的大小的大小.