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1、第四章 矩陣對(duì)角化問題 一.單項(xiàng)選擇題 1. 設(shè)為n 階可逆矩陣,為的一個(gè)特征根,則的伴隨矩陣的特征根之一為( ) A. B. C. D. 解: B. 設(shè)為的屬于的一個(gè)特征向量),則,即, 從而. 注:一般地,我們有:若為的一個(gè)特征根,則 (1)的特征根為; (2)的特征根為; (3)的特征根為; (4)若可逆,則的特征根為; (5)若,則的特征根為; (6)的特征根為. 2.設(shè)為非奇異矩陣的一個(gè)特征值,則矩陣有一特征值為( ) A. B.

2、 C. D. 解: B. 設(shè)為的屬于的一個(gè)特征向量),則(為實(shí)數(shù)), 所以, 的一個(gè)特征值為=. 3.n階方陣有n個(gè)不同的特征值是與對(duì)角陣相似的( ) A.充分必要條件 B. 充分而非必要條件 C. 必要而非充分條件 D. 既非充分也非必要條件 解: B. 4.設(shè)為n 階矩陣,且與相似,為n 階單位矩陣,則( ) A. B. 與有相同的特征值與特征向量 C. 與都相似于一對(duì)角矩陣 D. 對(duì)任意常數(shù),有與相似 解: D. 二

3、.填空題 1.若四階矩陣與相似,矩陣的特征值為,則行列式 解: 24. 設(shè)為的屬于的一個(gè)特征向量), 可逆, 則,, 即 的特征值為-1, 從而(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24. 另一方面, 與相似,所以,存在可逆矩陣使得 , 即, , 所以與相似, 相似矩陣有相同的行列式,因此, 24. 2.設(shè)n階方陣伴隨矩陣為,且若有特征值,則的特征值為 解: 若的特征值為,則的特征值為,的特征值為, 所以, 的特征值為 3.矩陣的非零特征值為 解: 4. 計(jì)算特征行列式 . 所以,非零特征值為4. 4.n

4、階矩陣的元素全是1,則的n個(gè)特征值為 解:n,0,其中0為n-1重根.(計(jì)算方法如上) 三.計(jì)算題 1.設(shè) (1)求的特征值;(2)利用(1)中結(jié)果求的特征值,其中為三階單位矩陣. 解: (1) 所以, 的特征值為1,-5. (2)由為的屬于的一個(gè)特征向量), 可逆,得, 從而 , 即 的特征值為(為的特征值). 所以, 的特征值為2,. 2.設(shè)有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,求和 應(yīng)滿足的條件. 解: 所以, 的特征值為. 因?yàn)橛腥齻€(gè)線性無關(guān)的特征向量,所以特征值1有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 即 r()=3-2=1, 由秩為1可

5、得: ,即和滿足. 3.設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為1,2,3;矩陣的屬于特征值1,2,的特征向量分別為 (1) 求的屬于特征值3的特征向量; (2) 求矩陣. 解(1)設(shè)的屬于特征值3的特征向量為 矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交, 所以, 即為下列方程組的非零解: 解得基礎(chǔ)解系為. 所以的屬于特征值3的全部特征向量為 為任意實(shí)數(shù). (2) 記則 所以, 計(jì)算得 代入得 4.已知求 解: 由得 ,其中 計(jì)算得 所以. 5.設(shè) (1) 已知有一個(gè)特征值是3,求, (2) 求使為對(duì)角矩陣. 解: (1)計(jì)算得 將代入得 (2)

6、,其中為對(duì)角矩陣. 所以,只需求正交矩陣,使對(duì)角化. 將代入解得的特征值為1,1,-1,3. 所以的特征值為1(三重根),9. 對(duì)解對(duì)應(yīng)矩陣方程,得特征向量為 對(duì)解對(duì)應(yīng)矩陣方程,得特征向量為. 已經(jīng)兩兩正交,將它們各自單位化后, 令, 則有 6.設(shè)為的一特征向量. (1)求及特征值; (2) 可否對(duì)角化? 解: (1) 設(shè)為的屬于特征值的一個(gè)特征向量),則 ,解得 (2)將代入得 ,所以 –1為的三重特征根. 而 , 所以不能對(duì)角化. 7.設(shè)向量為矩陣的逆矩陣的特征向量.求常數(shù)的取值. 解:由題意得: 即 對(duì)應(yīng)矩陣方程為

7、 亦即 解得 8.設(shè)三階矩陣滿足其中 試求矩陣. 解:由題意得 , 令 ,則 用初等行變換計(jì)算得 , 代入得 9.設(shè)為四階方陣,且滿足條件其中為四階單位陣. 求矩陣的伴隨矩陣的一個(gè)特征值. 解: 設(shè)為的屬于特征值的一個(gè)特征向量), 可逆,則, ,所以, 為的一個(gè)特征值. 由題意, 即 從而為的一個(gè)特征值. 另一方面,由 得 , ,所以, 從而的一個(gè)特征值為 10.設(shè)矩陣且||=-1,又設(shè)的伴隨矩陣有特征值的屬于特征值的特征向量為求及的值. 解: 由題意得,又從而 , 對(duì)應(yīng)矩陣方程為 即

8、 (1)-(3)得=1; 代入(2)得 =-3; 代入(1),(3)得; 將,=-3代入||=-1得 =2. 11.設(shè)向量均為非零向量,且滿足條件 記求 (1) (2)矩陣的特征值和特征向量. 解:(1) 其中為數(shù),從而 (2)設(shè)為的屬于特征值的一個(gè)特征向量), 則 所以,=0,即僅有零特征值.對(duì)應(yīng)特征方程組為 即 由均為非零向量知中均有非零分量,設(shè)為,則 所以, 基礎(chǔ)解系包含n-1個(gè)向量,分別為 的全部特征向量為 為任意實(shí)數(shù)). 12.設(shè)矩陣和相似,其中 (1) 求的值; (2) 求可逆矩陣,使得 解: (1)相似

9、矩陣具有相同的特征行列式,所以，,即 解得 令得 ; 令得 ; 所以, . (2) 將=0代入得 的特征值為 將=-2代入=0得的特征值同樣為 所以,以下只需求將對(duì)角化的可逆矩陣: 分別求解特征方程 得對(duì)應(yīng)特征向量為 令則 13. 設(shè)矩陣和相似,且 (1)求的值; (2)求可逆矩陣,使得 解: (1) 矩陣和相似,相似矩陣具有相同的特征值,所以2為的二重特征值, 即 解得 將代入得矩陣的特征值為2,2,6. 從而. (2) 對(duì)求解矩陣方程得對(duì)應(yīng)的特征向量為 對(duì)求解矩陣方程得對(duì)應(yīng)的特征向量為

10、 令,則 14.設(shè)矩陣問為何值時(shí),存在可逆矩陣,使得為對(duì)角矩陣? 并求出和相應(yīng)的對(duì)角矩陣. 解: 先計(jì)算特征值和特征向量: 所以, 的特征值為 對(duì) 求解特征矩陣方程 要使可以對(duì)角化,重特征根對(duì)應(yīng)矩陣方程的基礎(chǔ)解系包含向量個(gè)數(shù)應(yīng)等于它的重?cái)?shù), 所以應(yīng)有,即 =0. 進(jìn)一步求得屬于的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為 類似可得特征根的一個(gè)特征向量為 . 令則 15.設(shè)矩陣已知有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,是的二重特征根. 求可逆矩陣,使得為對(duì)角矩陣. 解: 因?yàn)橛腥齻€(gè)線性無關(guān)的特征向量,是的二重特征根. 所以, , 于是應(yīng)有 即

11、 將代入得 其特征多項(xiàng)式為 由此得特征根為 對(duì)求解矩陣方程 得對(duì)應(yīng)特征向量為 對(duì)求解矩陣方程 得對(duì)應(yīng)特征向量為. 令則 16.設(shè)矩陣已知線性方程組有解但不唯一,試求 (1)的值; (2)正交矩陣,使得為對(duì)角矩陣. 解: (1) 對(duì)線性方程組的增廣矩陣施行初等行變換: 因?yàn)榫€性方程組有解但不唯一, 所以故 (2)由(1)有 由 得 矩陣的特征值為 對(duì)應(yīng)的特征向量為 將單位化得 令, 則有 17.設(shè)三階矩陣的三個(gè)特征值為,對(duì)應(yīng)特征向量依次為 . (1) 將用向量組線性表示; (2)

12、求. 解: (1)令 對(duì)只施行初等行變換得 所以 (2) 由得 又由得 所以 18.設(shè)有n個(gè)特征值計(jì)算 解: 由題意知存在可逆矩陣,使得 故 19.設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量為 求. 解: 設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為. 由屬于不同特征值的特征向量正交得 解方程得對(duì)應(yīng)的特征向量為 令則 所以 四.證明題 四.證明題 1.設(shè)為n階矩陣,為的兩個(gè)不同的特征值,分別是矩陣屬于的特征向量, 證明不是的特征向量. 證明:假設(shè)是的屬于特征值的特征向量, 由題意得 所以, 從而 分別是矩陣屬于不同特征值的特征向量,必線性無關(guān), 所以 即 矛盾. 亦即 不是的特征向量. 2.設(shè)方陣滿足條件其中為的轉(zhuǎn)置矩陣,為單位陣, 證明的實(shí)特征向量所對(duì)應(yīng)的 特征值的絕對(duì)值等于1. 證明:設(shè)為的一特征值的實(shí)特征向量,則, 從而 , 即 ,其中, 則必有 , 3.設(shè)為可逆矩陣的特征值,證明 (1)為的特征值; (2) 為的特征值. 證明: (1)設(shè) 兩側(cè)同乘以得 因?yàn)闉榭赡婢仃?所以 從而 ,即為的特征值. (2) 設(shè), 兩側(cè)同乘以得 即 所以 亦即為的特征值.