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課時訓(xùn)練 07 二項式定理
(限時：10分鐘)
1．已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值為n，則二項式n展開式中含x2項的系數(shù)為( )
A．15 B．－15
C．30 D．－30
答案：A
2．(1＋2x)5的展開式中，含x2項的系數(shù)等于( )
A．80 B．40
C．20 D．10
答案：B
3．若A＝37＋C·35＋C·33＋C·3，B＝C·36＋C·34＋C·32＋1，則A－B＝__________.
答案：128
4.9展開式的常數(shù)項為_________
2、_．
解析：因為Tk＋1＝C9－kk＝C·32k－9x9－k，
令9－k＝0，得k＝6，
即常數(shù)項為T7＝C·33＝2 268.
答案：2 268
5．若二項式6(a＞0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B，若B＝4A，求a的值．
解析：因為Tk＋1＝Cx6－kk
＝(－a)kCx6－，
令k＝2，得A＝C·a2＝15a2；
令k＝4，得B＝C·a4＝15a4；
由B＝4A可得a2＝4，
又a＞0，所以a＝2.
(限時：30分鐘)
一、選擇題
1．若7展開式的第四項等于7，則x等于( )
A．－5 B．－
C. D．5
答案：B
2．在
3、二項式5的展開式中，含x4的項的系數(shù)是( )
A．－10 B．10
C．－5 D．5
答案：B
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝則當(dāng)x＞0時，f(f(x))表達式的展開式中常數(shù)項為( )
A．－20 B．20
C．－15 D．15
答案：A
4．(x2＋2)5的展開式的常數(shù)項是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
答案：D
5．230－3除以7的余數(shù)是( )
A．－3 B．－2
C．－5 D．5
解析：230－3＝(23)10－3
＝(8)10－3＝(7＋1)10－3
＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3
＝7×(C79＋C78＋…＋C)－
4、2.
又因為余數(shù)不能為負數(shù)(需轉(zhuǎn)化為正數(shù))，
所以230－3除以7的余數(shù)為5.
答案：D
二、填空題
6．x7的展開式中，x4的系數(shù)是__________．(用數(shù)字作答)
解析：原問題等價于求7的展開式中x3的系數(shù)，7的通項Tr＋1＝Cx7－rr
＝(－2)rCx7－2r，
令7－2r＝3得r＝2，
所以x3的系數(shù)為(－2)2C＝84，
即x7的展開式中x4的系數(shù)為84.
答案：84
7．若二項式(1＋2x)n展開式中x3的系數(shù)等于x2的系數(shù)的4倍，則n等于________．
解析：(1＋2x)n的展開式通項為Tr＋1＝C(2x)r＝C2rxr，又x3的系數(shù)等于x2的
5、系數(shù)的4倍，所以C23＝4C22，所以n＝8.
答案：8
8．二項式(x＋y)5的展開式中，含x2y3的項的系數(shù)是__________．(用數(shù)字作答)
解析：根據(jù)二項式的展開式通項公式可得Tr＋1＝Cx5－ryr，可得含x2y3的項為Cx2y3，所以其系數(shù)為10.
答案：10
三、解答題
9．在二項式(x＋)80的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有多少項？
解析：設(shè)系數(shù)為有理數(shù)的項為第k＋1項，
即C(x)80－k()k
＝240－×3Cx80－k，
因為系數(shù)為有理數(shù)，所以k能被2整除，
又因為k＝0,1,2，…，80，
所以當(dāng)k＝0,2,4,6，…，80時，滿足條件，所以
6、共有41項．
10．在8的展開式中，求
(1)第5項的二項式系數(shù)及第5項的系數(shù)．
(2)x2的系數(shù)．
解析：(1)T5＝T4＋1＝C(2x2)8－44
＝C·24·x.
所以第5項的二項式系數(shù)是C＝70，第5項的系數(shù)是C·24＝1 120.
(2)8的通項是Tk＋1＝C(2x2)8－kk＝(－1)kC·28－k·x16－k.
根據(jù)題意得，16－k＝2，解得k＝6，
因此，x2的系數(shù)是(－1)6C·28－6＝112.
11．在二項式n的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列．
(1)求展開式的第四項．
(2)求展開式的常數(shù)項．
解析：Tk＋1＝C()n－kk
＝kCxn－k，
由前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，
得C＋2C＝2×C，
解這個方程得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)展開式的第四項為：
T4＝3Cx＝－7.
(2)當(dāng)－k＝0，即k＝4時，常數(shù)項為4C＝.
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