13、.涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí),應(yīng)多考慮圓的幾何性質(zhì),利用幾何法進(jìn)行運(yùn)算求解往往會(huì)減少運(yùn)算量.
考向二 橢圓、雙曲線、拋物線
【高考改編☆回顧基礎(chǔ)】
1.【橢圓的方程及其幾何性質(zhì)】【2017·江蘇卷改編】橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓的半焦距為c且a2＝4c，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．
【答案】＋＝1
【解析】因?yàn)闄E圓E的離心率為，所以e＝＝，又a2＝4c,
所以a＝2，c＝1，于是b＝＝，
因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1.
2．【雙曲線的方程及其幾何性質(zhì)】【2017·全國(guó)卷Ⅲ】雙曲線－＝1(a＞0)的一條漸近線方程為y＝x，則a＝____
14、____.
【答案】
【解析】令－＝0，得雙曲線的漸近線方程為y＝±x，∵雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝x，∴a＝5.
3. 【拋物線方程及其幾何性質(zhì)】【2017課標(biāo)1，改編】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為 .
【答案】16
【命題預(yù)測(cè)☆看準(zhǔn)方向】
從近五年的高考試題來看,圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是高考考查的重點(diǎn),也是高考命題的基本元素.考查的角度有:對(duì)圓錐曲線的定義的理解及定義的應(yīng)用,求圓錐曲線
15、的標(biāo)準(zhǔn)方程,求圓錐曲線的離心率以及向量、直線、圓錐曲線的小綜合. 考查的重點(diǎn)是依據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)求離心率;根據(jù)圓錐曲線的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程；圓錐曲線與向量的小綜合;兩種圓錐曲線間的小綜合;直線與圓錐曲線的小綜合;圓錐曲線的綜合應(yīng)用等.
【典例分析☆提升能力】
【例1】【2017課標(biāo)II，理9】若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【趁熱打鐵】【2018屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上第五次月考（一模
16、）】F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)．若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
由余弦定理得
選D.
【例2】【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。
(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。
【答案】(1) 。
(2)證明略。
【解析】
（2）由題意知.設(shè),則
，
。
由得，又由（1）知，故
.
所
17、以，即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F.
【趁熱打鐵】如圖,拋物線.點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C2上,過點(diǎn)M作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O).當(dāng)時(shí),切線MA的斜率為.
(1)求p的值;
(2)當(dāng)點(diǎn)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB的中點(diǎn)N的軌跡方程(當(dāng)A,B重合于點(diǎn)O時(shí),中點(diǎn)為O).
【答案】(1)p=2.(2)x2=y.
【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€C1:x2=4y上任意一點(diǎn)(x,y)的切線斜率為y'=,且切線MA的斜率為-,所以A點(diǎn)坐標(biāo)為,所以切線MA的方程為y=-(x+1)+.
因?yàn)辄c(diǎn)M(1-,y0)在切線MA及
18、拋物線C2上,
于是y0=-(2-)+=-,①
y0=-=-.②
由①②得p=2.
(2)設(shè)N(x,y),A,B,x1≠x2,由N為線段AB中點(diǎn),
知x=,③
y=.④
切線MA的方程為y=(x-x1)+,⑤
切線MB的方程為y=(x-x2)+.⑥
由⑤⑥得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為x0=,y0=.
因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,
所以x1x2=-.⑦
由③④⑦得x2=y,x≠0.
當(dāng)x1=x2時(shí),A,B重合于原點(diǎn)O,AB中點(diǎn)N為O,坐標(biāo)滿足x2=y.
因此線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x2=y.
【例3】【2017課標(biāo)3，理20】已知拋
19、物線C：y2=2x，過點(diǎn)（2,0）的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.
（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
（2）設(shè)圓M過點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.
【答案】(1)證明略；
(2)直線 的方程為 ，圓 的方程為 .
或直線 的方程為 ，圓 的方程為 .
【解析】
所以 ，解得 或 .
當(dāng) 時(shí)，直線 的方程為 ，圓心 的坐標(biāo)為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 .
當(dāng) 時(shí)，直線 的方程為 ，圓心 的坐標(biāo)為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 .
【趁熱打鐵】【2018屆廣東省仲元中學(xué)、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓的上、下、左、右四個(gè)頂點(diǎn)分別為x軸正半軸上的
20、某點(diǎn)滿足.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在圓上,且在第一象限,過作圓的切線交橢圓于,求證:△的周長(zhǎng)是定值．
【答案】(1) (2)見解析
【解析】試題分析：
(1) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為可知，可得橢圓方程;(2)法一:設(shè)，結(jié)合橢圓方程可得，在圓中, 是切點(diǎn), ，同理可得,則易得結(jié)論;法二:設(shè) 的方程為，聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出，再求出，則結(jié)論易得.
試題解析：
(1)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為,可知,
.
因此橢圓的方程是.
(2)方法1:設(shè),則,
=,
∵,∴,
在圓中, 是切點(diǎn),
∴==,
∴,
同理,∴,
因
21、此△的周長(zhǎng)是定值．
方法2:設(shè)的方程為,
由,得,
設(shè),則,
∴==
=
,
∵與圓相切,∴,即,
∴,
∵,
∵,∴,
同理可得,
∴,
因此△的周長(zhǎng)是定值．
【方法總結(jié)☆全面提升】
1.涉及橢圓(或雙曲線)兩焦點(diǎn)距離的問題或焦點(diǎn)弦問題以及到拋物線焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)距離的問題,可優(yōu)先考慮圓錐曲線的定義.求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)“先定型,后計(jì)算”,即首先確定是何種曲線,焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上,然后利用條件求a,b,p的值.
2.求橢圓、雙曲線的離心率問題,關(guān)鍵是首先根據(jù)已知條件確定a,b,c的關(guān)系,然后將b用a,c代換,求e= 的值;另外要注意雙曲線的漸近線與離心率的
22、關(guān)系.圓錐曲線的性質(zhì)常與等差數(shù)列、等比數(shù)列、三角函數(shù)、不等式等問題聯(lián)系在一起,一般先利用條件轉(zhuǎn)化為單一知識(shí)點(diǎn)的問題再求解.
3.求曲線的軌跡方程時(shí),先看軌跡的形狀是否預(yù)知,若能依據(jù)條件確定其形狀,可用定義法或待定系數(shù)法求解;若動(dòng)點(diǎn)P與另一動(dòng)點(diǎn)Q有關(guān),點(diǎn)Q在已知曲線上運(yùn)動(dòng),可用代入法求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;否則用直接法求解.
4.涉及圓錐曲線的焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形問題,常結(jié)合定義、正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決.
5.涉及垂直問題可結(jié)合向量的數(shù)量積解決.
6.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，主要有方程組法，和“點(diǎn)差法”．對(duì)于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)
23、，要注意使用條件Δ≥0，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交．
【規(guī)范示例☆避免陷阱】
【典例】【2016·乙卷】設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.
(Ⅰ)證明|EA|＋|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，
過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求
四邊形MPNQ面積的取值范圍．
【規(guī)范解答】(Ⅰ)圓A整理為(x＋1)2＋y2＝16，圓心A(－1,0)，1分
如圖，
因?yàn)锽E∥AC，則∠ACB＝∠EBD，
24、由|AC|＝|AD|，
則∠ADC＝∠ACD，所以∠EBD＝∠EDB，
則|EB|＝|ED|，1分
所以|EA|＋|EB|＝|AE|＋|ED|＝|AD|＝4.
所以E的軌跡為一個(gè)橢圓，1分
a＝2，c＝1，方程為＋＝1(y≠0).1分
(Ⅱ)C1：＋＝1；設(shè)l：x＝my＋1，
因?yàn)镻Q⊥l，設(shè)PQ：y＝－m(x－1)，聯(lián)立l與橢圓C1，
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0；
則|MN|＝|yM－yN|
＝＝；2分
圓心A到PQ距離d＝＝，
所以|PQ|＝2＝2
＝，2分,
所以SMPNQ＝|MN|·|PQ|＝··
＝ 2分
＝24∈[12,8).
25、2分
【反思提升】處理有關(guān)圓錐曲線與圓相結(jié)合的問題,要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用,如直徑對(duì)的圓心角為直角,構(gòu)成了垂直關(guān)系;弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形.利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,往往使問題簡(jiǎn)化..
【誤區(qū)警示】第(Ⅰ)問得分點(diǎn)及說明
得分點(diǎn)
1．寫出圓心坐標(biāo)得1分．
2．得出EB＝ED，得1分．
3．根據(jù)橢圓定義判斷點(diǎn)E的軌跡是橢圓，得1分．
4．得出橢圓方程，得1分．
踩點(diǎn)說明
1．只要得出橢圓方程正確，得4分，忽略y≠0扣1分．
2．只要正確判斷出點(diǎn)E的軌跡是橢圓，得3分．
3．若只有橢圓方程，而沒有解答過程，得2分．
第(Ⅱ)問得分點(diǎn)及說
26、明
5．根據(jù)弦長(zhǎng)公式整理得出弦長(zhǎng)|MN|得2分
6．得出弦長(zhǎng)|PQ|得2分．
7.列出面積表達(dá)式，得2分．
8．求出面積的范圍，得2分．
踩點(diǎn)說明
1．結(jié)果正確，有過程得滿分．
2．兩個(gè)弦長(zhǎng)|MN|，|PQ|只要結(jié)果正確，每個(gè)得2分．
3．直線方程和橢圓方程聯(lián)立，給1分．
4．寫對(duì)弦長(zhǎng)公式，給1分．
5．寫出點(diǎn)到直線距離公式正確，給1分．
考向三 圓錐曲線的熱點(diǎn)問題
【高考改編☆回顧基礎(chǔ)】
1．【直線、圓、橢圓的位置關(guān)系及過定點(diǎn)問題】【2017·全國(guó)卷Ⅱ改編】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：＋y2＝1上，P在圓x2＋y2＝2上，設(shè)點(diǎn)Q在直線x＝－3上，且·＝1，則過
27、點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l ________(填“經(jīng)過”或“不經(jīng)過”)C的左焦點(diǎn)F.
【答案】經(jīng)過
2. 【直線與橢圓的位置關(guān)系及定值問題】【2016·山東卷改編】如圖13-1，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，過動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(00，y0>0)．
由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m)，
所以直線PM的斜率
28、k＝＝，
直線QM的斜率k′＝＝－.
此時(shí)＝－3，所以為定值－3.
3.【直線與拋物線的位置關(guān)系及范圍問題】【2017·浙江卷改編】已知拋物線x2＝y(tǒng)，點(diǎn)A，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)，則直線AP斜率的取值范圍為________________ .
【答案】 (－1，1)
【解析】設(shè)直線AP的斜率為k，則k＝＝x－.因?yàn)椋?x<，所以直線AP斜率的取值范圍是(－1，1)．
【命題預(yù)測(cè)☆看準(zhǔn)方向】
直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系是高考的重點(diǎn),常常與平面向量、三角函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識(shí)交匯命題. 直線與圓錐曲線相交,求其弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、定點(diǎn)、定值、最值、面積、對(duì)稱、參數(shù)范圍、存在性
29、問題等是高考的熱點(diǎn),常用到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.預(yù)測(cè)2018年應(yīng)側(cè)重直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、定點(diǎn)問題、 定值問題、最值問題、范圍問題、探索性問題等.
【典例分析☆提升能力】
【例1】【2017浙江，21】（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，，拋物線上的點(diǎn)．過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q．
（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
試題解析：
（Ⅰ）設(shè)直線AP的斜率為k，則，∵，∴直線AP斜率的取值范圍是．
（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程
解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，因?yàn)閨PA|==
|PQ|= ，所以|PA||
30、PQ|=
令，因?yàn)?，所?f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時(shí)，取得最大值．
【趁熱打鐵】【2018屆河南省鄭州市高三第一次質(zhì)量檢測(cè)（模擬）】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與直線相切.
（1）求橢圓的離心率；
（2）如圖，過作直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，求的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】試題分析：
（1）有直線和圓相切得到關(guān)于的關(guān)系式，整理可得，從而可得．（2）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)可得，故，可得橢圓的方程．分直線斜率存在和不存在兩種情況分別求得的值，可得最大值是．
試題解析：
（1）由題意，
即
∴，
．
（2）因?yàn)槿?/p>
31、角形的周長(zhǎng)為，
所以
∴，
∴橢圓方程為，且焦點(diǎn)，
①若直線斜率不存在，則可得軸，方程為
解方程組可得或．
∴，
∴，
故.
②若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由消去整理得
，
設(shè)，
則
∴
∵，
∴可得，
綜上可得．
所以最大值是.
【例2】【2018屆廣西柳州市高三上摸底】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.
（1）求該拋物線的方程；
（2）已知拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點(diǎn)？并說明理由.
【答案】（1）.（2）
【解析】試題分析：(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐
32、標(biāo),結(jié)合題意列關(guān)于p的等式求p,則拋物線方程可求;
(2)由(1)求出M的坐標(biāo),設(shè)出直線DE的方程 ,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化為關(guān)于y的一元二次方程后D,E兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積,利用 得到t與m的關(guān)系,進(jìn)一步得到DE方程,由直線系方程可得直線DE所過定點(diǎn).
（2）由（1）可得點(diǎn)，可得直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為： ，
聯(lián)立，得，
則①.
設(shè)，則.
∵
即，得： ，
∴，即或，
代人①式檢驗(yàn)均滿足，
∴直線的方程為： 或.
∴直線過定點(diǎn)（定點(diǎn)不滿足題意，故舍去）.
【趁熱打鐵】【2018屆云南省昆明一中高三第一次摸底】已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足： .
33、
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn) ，證明見解析.
試題解析：（1）由已知，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)， 的距離之和為，
且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，而， ，所以，
所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程： .
（2）設(shè)， ，則，由已知得直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線的方程為：
由 得，
所以， ，
直線的方程為： ，所以，
令，則，
所以直線與軸交于定點(diǎn).
34、
【例3】【2018屆廣東省仲元中學(xué)、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓的上、下、左、右四個(gè)頂點(diǎn)分別為x軸正半軸上的某點(diǎn)滿足.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在圓上,且在第一象限,過作圓的切線交橢圓于,求證:△的周長(zhǎng)是定值．
【答案】(1) (2)見解析
【解析】試題分析：
(1) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為可知，可得橢圓方程;(2)法一:設(shè)，結(jié)合橢圓方程可得，在圓中, 是切點(diǎn), ，同理可得,則易得結(jié)論;法二:設(shè) 的方程為，聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出，再求出，則結(jié)論易得.
試題解析：
(1)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為,可知,
.
35、
因此橢圓的方程是.
(2)方法1:設(shè),則,
=,
∵,∴,
在圓中, 是切點(diǎn),
∴==,
∴,
同理,∴,
因此△的周長(zhǎng)是定值．
方法2:設(shè)的方程為,
由,得,
設(shè),則,
∴==
=
,
∵與圓相切,∴,即,
∴,
∵,
∵,∴,
同理可得,
∴,
因此△的周長(zhǎng)是定值．
【趁熱打鐵】【2018屆福建省泉州市高三1月檢查】已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為. 點(diǎn)在上，點(diǎn)， 的最大面積等于.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直線與交于另一點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，試判斷是否為定值.
【答案】（1）（2）
【解析】試題分析： 運(yùn)用題設(shè)條件建立方程求解；
直
36、線的方程為，聯(lián)立方程組，解，求得直線， 的方程，解得， 的坐標(biāo)，計(jì)算出結(jié)果。
解析：（Ⅰ）由題意，可得的最大面積為，即.……①
又……②
……③
聯(lián)立①②③，解得， ，
故的方程.
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為， ， .
聯(lián)立方程組消去，得，
整理，得，
由韋達(dá)定理，得，
又直線的方程為，所以，
直線的方程為，所以，
所以
，
即為定值.
【例4】已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過點(diǎn)F2垂直于長(zhǎng)軸的直線l交橢圓C于B，D兩點(diǎn)，且|BD|＝3.
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在過點(diǎn)P(2,1)的直線l1與橢圓C相交于
37、不同的兩點(diǎn)M，N，且滿足·＝？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)＋＝1.(2)存在直線l1滿足條件，其方程為y＝x.
【解析】 (1)設(shè)橢圓的方程是＋＝1(a>b>0)，由題可知c＝1，
因?yàn)閨BD|＝3，所以＝3，
又a2－b2＝1，所以a＝2，b＝，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝，
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝，
所以(1＋k2)＝＝，
解得k＝±.因?yàn)閗>－，所以k＝，
故存在直線l1滿足條件，其方程為y＝x.
【趁熱打鐵】如圖，圓： ．
（1）若圓與軸相切，求圓的
38、方程；
（2）求圓心的軌跡方程；
（3）已知，圓與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．過點(diǎn)任作一條直線與圓： 相交于兩點(diǎn)．問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）（3）存在，使得
（2）求圓心點(diǎn)坐標(biāo)為，則 圓心點(diǎn)的軌跡方程為
（3）令，得，即所以
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，當(dāng)直線AB與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，
代入得， ，設(shè)從而
因?yàn)?
而
因?yàn)椋?，即，得?
當(dāng)直線AB與軸垂直時(shí)，也成立．故存在，使得
【方法總結(jié)☆全面提升】
1.圓錐曲線中求最值或范圍問題的方法
若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立
39、目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．常從以下幾個(gè)方面考慮：
①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；
③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；
⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．
2.定點(diǎn)問題的求法
解題的關(guān)鍵在于尋找題中用來聯(lián)系已知量和未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量和未知量代入上述關(guān)系，通過整理、變形轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線系、曲線系來解決．
3. 定值問題的求法
解這類問題常通過取參數(shù)和特殊值先
40、確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)．
特別提醒：解決定值問題一定要分清哪些量為變量，哪些量為常量．
4. 求解存在性問題時(shí)，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算，若不出現(xiàn)矛看，并且得到了相應(yīng)的幾何元素或參數(shù)值，就說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在；若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在，同時(shí)推理與計(jì)算的過程就是說明理由的過程．
【規(guī)范示例☆避免陷阱】
【典例】【2017·全國(guó)卷Ⅰ】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(
41、0,1)，P3（－1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．
(1)求C的方程．
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過定點(diǎn)．
【規(guī)范解答】
(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn)．
又由＋＞＋知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，
所以點(diǎn)P2在C上.1分
因此解得
故C的方程為＋y2＝1.4分
(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.
如果l與x軸垂直，設(shè)l：x＝t，由題設(shè)知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，－）.
則k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不
42、符合題設(shè)．
2分
從而可設(shè)l：y＝kx＋m(m≠1)．將y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由題設(shè)可知Δ＝16(4k2－m2＋1)＞0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝.2分
而k1＋k2＝＋＝＋
＝.
由題設(shè)k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.解得k＝－.3分
當(dāng)且僅當(dāng)m＞－1時(shí)，Δ＞0，
于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，
所以l過定點(diǎn)(2，－1).1分
【反思提升】1.求解定點(diǎn)和定值問題的基本思想
43、是一致的,定值是證明求解的一個(gè)量與參數(shù)無關(guān),定點(diǎn)問題是求解的一個(gè)點(diǎn)(或幾個(gè)點(diǎn))的坐標(biāo),使得方程的成立與參數(shù)值無關(guān).解這類試題時(shí)要會(huì)合理選擇參數(shù)(參數(shù)可能是直線的斜率、截距,也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等),使用參數(shù)表達(dá)其中變化的量,再使用這些變化的量表達(dá)需要求解的解題目標(biāo).當(dāng)使用直線的斜率和截距表達(dá)直線方程時(shí),在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系,把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題解決.
2.證明直線過定點(diǎn)的基本思想是使用一個(gè)參數(shù)表示直線方程,根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無關(guān)得出x,y的方程組,以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn).
【誤區(qū)警示】1．正確使用圓錐曲線的定義：牢記圓錐曲線的定義及性質(zhì)，用解方程的方法求出a2、b2，如本題第(1)問就涉及橢圓的性質(zhì)來判斷點(diǎn)在不在橢圓上．
2．注意分類討論：當(dāng)用點(diǎn)斜式表示直線方程時(shí)，應(yīng)分直線的斜率存在和不存在兩種情況求解，易出現(xiàn)忽略斜率不存在的情況，導(dǎo)致扣分，如本題第(2)問中首先要求出斜率不存在時(shí)的情況．
3．寫全得分關(guān)鍵：在解析幾何類解答題中，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后得到的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程得到的兩根之和與兩根之積，弦長(zhǎng)，目標(biāo)函數(shù)，……等一些關(guān)鍵式子和結(jié)果都是得分點(diǎn)，在解答時(shí)一定要寫清楚．
34
2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1.6 解析幾何（講）理
