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實際問題與二次函數(shù) 學習的目的在于應用 日常生活中 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及商業(yè)活動中 方案的最優(yōu)化 最值問題 如盈利最大 用料最省 設計最佳 距離最近等都與二次函數(shù)有關(guān) 學習目標 1 能根據(jù)實際情景學會建立二次函數(shù)模型 2 運用二次函數(shù)的配方法或公式法求出最大值或最小值 3 學會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題 想一想 如何求下列函數(shù)的最值 1 y x2 x 如圖 船位于 船正東 處 現(xiàn)在 兩船同時出發(fā) A船以 Km h的速度朝正北方向行駛 B船以 Km h的速度朝正西方向行駛 何時兩船相距最近 最近距離是多少 設經(jīng)過t時后 兩船分別到達A B 如圖 則兩船的距離 A B 應為多少 如何求出S的最小值 A B 東 北 實際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題 如何運用二次函數(shù)求實際問題中的最大值或最小值 復習小結(jié) 首先應當求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍 然后通過配方法變形 或利用公式法求它的最大值或最小值 注意 在此求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi) 某飲料經(jīng)營部每天的固定成本為200元 其銷售的飲料每瓶進價為5元 銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如下 若記銷售單價比每瓶進價多X元 日均毛利潤 毛利潤 日均銷售量 單件利潤 固定成本 為y元 求y關(guān)于X的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍 若要使日均毛利潤達到最大 銷售單價應定為多少元 精確到 元 最大日均毛利潤為多少元 某商場將進價40元一個的某種商品按50元一個售出時 能賣出500個 已知這種商品每個漲價一元 銷量減少10個 為賺得最大利潤 售價定為多少 最大利潤是多少 分析 利潤 每件商品所獲利潤 銷售件數(shù) 設每個漲價x元 那么 3 銷售量可以表示為 1 銷售價可以表示為 50 x 元 x 0 且為整數(shù) 500 10 x 個 2 一件商品所獲利潤可以表示為 50 x 40 元 4 共獲利潤y可以表示為 50 x 40 500 10 x 元 答 定價為70元 個 此時利潤最高為9000元 解 y 50 x 40 500 10 x 10 x2 400 x 5000 0 x 50 且為整數(shù) 10 x 20 2 9000 如圖 有一次 籃球運動員姚明在距籃下4m處跳起投籃 球運行的路線是拋物線 當運行的水平距離2 5m時 達到最大高度然后準確落入籃圈 已知籃圈中心面的距離為3 05m 3 05m 2 5m 3 5m 4m 1 籃球運動路線的函數(shù)解析式和自變量取值范圍 2 球在空中運動離地的最大高度 一次足球訓練中 一球員從球門正前方10m處將球射向球門 當球飛行的水平距離為6時 球達到最高點 此時球離地面3m 已知球門高度為2 44m 問球能否射入球門 心理學家研究發(fā)現(xiàn) 一般情況下 學生的注意力隨著教師講課時間的變化而變化 講課開始時 學生的注意力y隨時間t的變化規(guī)律有如下關(guān)系式 1 講課開始后第5分鐘時與講課開始后第25分鐘時比較 何時學生的注意力更集中 知識拓展 2 講課開始后多少分鐘 學生的注意力最集中 能持續(xù)多少分鐘 3 一道數(shù)學難題 需要講解24分鐘 為了效果較好 要求學生的注意力最低達到180 那么經(jīng)過適當安排 老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目 現(xiàn)在有一條寬為 米的小船上平放著一些長 米 寬 米且厚度均勻的木箱 要通過這個最大高度 米 水面跨度 米的橋洞 請問這條船最高可堆放的多高 x D 河北省趙縣的趙州橋的橋拱是拋物線型 建立如圖所示的坐標系 其函數(shù)的表達式為y x2 當水位線在AB位置時 水面寬AB 30米 這時水面離橋頂?shù)母叨萮是 A 5米B 6米 C 8米 D 9米 解 當x 15時 Y 152 9 1125 如圖是某公園一圓形噴水池 水流在各方向沿形狀相同的拋物線落下 建立如圖所示的坐標系 如果噴頭所在處A 0 1 25 水流路線最高處B 1 2 25 則該拋物線的表達式為 如果不考慮其他因素 那么水池的半徑至少要 米 才能使噴出的水流不致落到池外 y x 1 2 2 25 2 5 如圖 在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆 圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃 設花圃的寬AB為x米 面積為S平米 1 求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍 2 當x取何值時所圍成的花圃面積最大 最大值是多少 3 若墻的最大可用長度為8米 則求圍成花圃的最大面積 3 墻的可用長度為8米 0 24 4x 84 x 6 當x 4m時 S最大值 32平方米 解 1 AB為x米 籬笆長為24米 花圃寬為 24 4x 米 2 當x 時 S最大值 36 平方米 S x 24 4x 4x2 24x 0 x 6 如圖 在 ABC中 AB 8cm BC 6cm B 90 點P從點A開始沿AB邊向點B以2cm s的速度移動 點Q從點B開始沿BC邊向點C以1cm s的速度移動 如果P Q分別從A B同時出發(fā) 幾秒后 PBQ的面積最大 最大面積是多少 P Q 解 根據(jù)題意 設經(jīng)過x秒后 PBQ的面積y最大 則 AP 2xcmPB 8 2x cm QB xcm 則y 1 2x 8 2x x2 4x x2 4x 4 4 x 2 2 4 所以 當P Q同時運動2秒后 PBQ的面積y最大 最大面積是4cm2 0 x 4 P Q 如圖 等腰Rt ABC的直角邊AB 點P Q分別從A C兩點同時出發(fā) 以相等的速度作直線運動 已知點P沿射線AB運動 點Q沿邊BC的延長線運動 PQ與直線相交于點D 1 設AP的長為x PCQ的面積為S 求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式 2 當AP的長為何值時 S PCQ S ABC 即S 0 x 2 AP CQ x 當P在線段AB上時 解 P Q分別從A C兩點同時出發(fā) 速度相等 當P在線段AB的延長線上時 S PCQ 即S x 2 2 當S PCQ S ABC時 有 此方程無解 x1 1 x2 1 舍去 當AP長為1 時 S PCQ S ABC 某企業(yè)投資100萬元引進一條產(chǎn)品加工生產(chǎn)線 若不計維修 保養(yǎng)費用 預計投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬 該生產(chǎn)線投產(chǎn)后 從第1年到第x年的維修 保養(yǎng)費用累計為y 萬元 且y ax2 bx 若第1年的維修 保養(yǎng)費用為2萬元 第2年為6萬元 1 求y的解析式 2 投產(chǎn)后 這個企業(yè)在第幾年就能收回投資 解 1 由題意 x 1時 y 2 x 2時 y 2 4 6 分別代入y ax2 bx 得a b 2 4a 2b 6 解得 a 1 b 1 y x2 x 2 設w 33x 100 x2 x 則w x2 32x 100 x 16 2 156 由于當1 x 16時 w隨x的增大而增大 故當x 4時 即第4年可收回投資 如圖所示 已知拋物線y ax2 bx c a 0 與x軸相交于兩點A x1 0 B x2 0 x1 x2 與y軸負半軸相交于點C 若拋物線頂點P的橫坐標是1 A B兩點間的距離為4 且 ABC的面積為6 1 求點A和B的坐標 2 求此拋物線的解析式 3 設M x y 其中0 x 3 是拋物線上的一個動點 試求當四邊形OCMB的面積最大時 點M的坐標 M D N 已知有一張邊長為10cm的正三角形紙板 若要從中剪一個面積最大的矩形紙板 應怎樣剪 最大面積為多少 在矩形荒地ABCD中 AB 10 BC 6 今在四邊上分別選取E F G H四點 且AE AH CF CG x 建一個花園 如何設計 可使花園面積最大 D C A B G H F E 10 6 解 設花園的面積為y則y 60 x2 10 x 6 x 2x2 16x 0 x 6 2 x 4 2 32 所以當x 4時 花園的最大面積為32 再見