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第六章 數(shù)系 為什么要進(jìn)行數(shù)系的擴(kuò)充 從社會(huì)生活的角度來看為了滿足生活和生產(chǎn)實(shí)踐的需要 數(shù)的概念在不斷地發(fā)展 從數(shù)學(xué)的內(nèi)部來看 是為了滿足計(jì)算的需要 數(shù)集是在按照某種 規(guī)則 不斷擴(kuò)充的 自然數(shù) N 自然數(shù)是最簡單的 因而也是最早發(fā)現(xiàn)并使用的 數(shù) 自然數(shù)是一切其他數(shù)系逐步擴(kuò)充并得以實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ) 用公理方法建立自然數(shù)理論 應(yīng)當(dāng)歸功與皮亞諾 數(shù)系擴(kuò)充的原則 原則一 應(yīng)提出擴(kuò)展的要求 或者指出擴(kuò)展后應(yīng)滿足的性質(zhì) 一般來說 擴(kuò)張以后的新數(shù)系Y 會(huì)失去原有的數(shù)系X的某些性質(zhì) 同時(shí)又獲得某些新的性質(zhì) 例如 自然數(shù)系N擴(kuò)充到整數(shù)系Z 整數(shù)系Z失去了自然數(shù)系N中任何子集都有最小元素的良序性質(zhì) 但是獲得對(duì)減法封閉的特性 數(shù)系擴(kuò)充的原則 原則二 用舊數(shù)系為材料構(gòu)成一個(gè)對(duì)象 稱之為新數(shù) 定義并驗(yàn)證這些新數(shù)符合擴(kuò)張的要求 或者具有新數(shù)應(yīng)具備的性質(zhì) 例如 將自然數(shù)系擴(kuò)充到整數(shù)系 擴(kuò)張的要求是滿足減法運(yùn)算的需要 所以整數(shù)系是具備這樣的性質(zhì)的 數(shù)系擴(kuò)充的原則 原則三 舊數(shù)系是新數(shù)系的一部分 而且把舊數(shù)系的元素看成新數(shù)系時(shí) 服從同樣的運(yùn)算規(guī)律 及構(gòu)成一種 嵌入 例如 自然數(shù)系N擴(kuò)充到整數(shù)系Z 舊數(shù)系N是新數(shù)系Z中的一部分 而且N中的元素還是符合Z中的運(yùn)算規(guī)律的 自然數(shù)系N整數(shù)系Z 數(shù)環(huán)定義 設(shè)S是復(fù)數(shù)集的非空子集 如果S中的數(shù)對(duì)任意兩個(gè)數(shù)的和 差 積仍屬于S 則稱S是一個(gè)數(shù)環(huán) 例如整數(shù)集Z就是一個(gè)數(shù)環(huán) 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R 復(fù)數(shù)集C等都是數(shù)環(huán) 數(shù)域定義 設(shè)F是一個(gè)數(shù)環(huán) 如果對(duì)任意的a b F而且a 0 則b a F 則稱F是一個(gè)數(shù)域 例如有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R 復(fù)數(shù)集C等都是數(shù)域 整數(shù)系Z有理數(shù)系Q 在整數(shù)系中 方程不總是能求解的 為此 有必要引入新數(shù) 有理數(shù) 引入新數(shù)后 整數(shù)系擴(kuò)充到了有理數(shù)系 根據(jù)數(shù)系擴(kuò)充的原則 有理數(shù)是以整數(shù)作為材料 且獲得了對(duì)除法封閉的新性質(zhì) 有理數(shù)系Q實(shí)數(shù)系R 我們雖然經(jīng)過從Z到Q 大大地?cái)U(kuò)充了數(shù)系但是這決不是就意味著能足以建立各種不同的計(jì)算 例如 一元二次方程在Q中沒有解 而事實(shí)上 是存在的 它表示的正是單位正方形的對(duì)角線的長度 為了滿足自然數(shù)開方運(yùn)算的需要 引入了無理數(shù) 構(gòu)成了實(shí)數(shù)系 實(shí)數(shù)系R復(fù)數(shù)系C 觀察方程 它在R中沒有解 為此 我們希望再次擴(kuò)大數(shù)系 使得方程有解 于是我們引入了新的符號(hào) 并定義 為了讓符號(hào)能像普通的實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加 乘 我們?cè)斐鲂稳邕@樣的符號(hào) 這里的是任意兩個(gè)實(shí)數(shù) 稱為復(fù)數(shù) 稱為虛數(shù)單位 引入復(fù)數(shù)后 我們的數(shù)系由實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)系 四元數(shù)與八元數(shù) 復(fù)數(shù)是以和作為基向量的 哈密頓想到 擴(kuò)充復(fù)數(shù)時(shí) 必須把的形式仍然保留下來 而在實(shí)數(shù)的后面加上一個(gè)三維空間向量形成了新數(shù) 這便是四元數(shù) 哈密頓使四元數(shù)和四維空間的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng) 不再區(qū)分四元數(shù)與向量 如果把四維空間的一個(gè)基取成那么任意四元數(shù)可以表示為 八元數(shù)的集合是實(shí)數(shù)上的八維向量空間 即把它的基向量記為 任一個(gè)八元數(shù)可以寫成 要指出的是 盡管四元數(shù)和八元數(shù)都是數(shù)系的擴(kuò)張 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中 我們總是把 數(shù) 理解為復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù) 只有在個(gè)別的情況經(jīng)特別指出 才用到四元數(shù) 至于八元數(shù)的使用就更罕見了 數(shù)系向無限的擴(kuò)充 迄今為止 數(shù)總是有限的數(shù) 數(shù)系的進(jìn)一步擴(kuò)充是向 無限 進(jìn)軍 這項(xiàng)工作已有兩項(xiàng)重要成就 康托爾的超限數(shù)超限數(shù)是大于所有有限數(shù) 但不必為絕對(duì)無限 的基數(shù)或序數(shù) 分別叫做超窮基數(shù)和超窮序數(shù) 羅賓遜的非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)系是羅賓遜推出的超實(shí)數(shù) 即非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)系 他的基本思想是將 無限小 和 無限大 作為以外的超實(shí)數(shù) 總結(jié)中學(xué)中涉及到的數(shù)系的擴(kuò)充 自然數(shù)中減法產(chǎn)生了 整數(shù)中除法產(chǎn)生了 自然數(shù)中開方產(chǎn)生了 負(fù)數(shù)中開方產(chǎn)生了 負(fù)數(shù) 整數(shù)系統(tǒng) 分?jǐn)?shù) 有理數(shù)系統(tǒng) 無理數(shù) 實(shí)數(shù)系統(tǒng) 虛數(shù) 復(fù)數(shù)系統(tǒng) 謝謝