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1、 考點十七　推理與證明 一、選擇題 1．(2019·河北衡水質檢四)利用反證法證明：若＋＝0，則x＝y(tǒng)＝0，假設為(　　) A．x，y都不為0 B．x，y不都為0 C．x，y都不為0，且x≠y D．x，y至少有一個為0 答案　B 解析　x＝y(tǒng)＝0的否定為x≠0或y≠0，即x，y不都為0，故選B. 2．(2019·重慶巴蜀中學適應性月考七)某演繹推理的“三段”分解如下： ①函數f(x)＝lg x是對數函數；②對數函數y＝logax(a>1)是增函數；③函數f(x)＝lg x是增函數． 則按照演繹推理的三段論模式，排序正確的是(　　) A．①→②→③ B．

2、③→②→① C．②→①→③ D．②→③→① 答案　C 解析　大前提是②，小前提是①，結論是③.故排列的次序應為②→①→③，故選C. 3．若P＝－，Q＝－，a≥0，則P，Q的大小關系是(　　) A．P>Q B．P0，Q>0，＝＝， ＝＝， 所以<，所以P>Q. 4．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72020的末兩位數字為(　　) A．01 B．43 C．07 D．49 答案　A 解析　72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,77＝

3、823543，即7n的末兩位數分別為49,43,01,07，周期為4，又2020＝504×4＋4，則72020的末兩位數與74的末兩位數相同，故選A. 5．設x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三數(　　) A．至少有一個不大于2 B．都大于2 C．至少有一個不小于2 D．都小于2 答案　C 解析　a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，當且僅當x＝y(tǒng)＝z時，等號成立，所以a，b，c三數至少有一個不小于2，故選C. 6．如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉閃爍所成的三個圖形，則照此規(guī)律閃爍，下一個呈現出來的圖形是(　　) 答案　

4、A 解析　觀察三個圖案知，其規(guī)律是每次閃爍，三塊黑色區(qū)域都順時針旋轉兩個角．故選A. 7．觀察下列不等式：＋1<2，2＋<2，＋<4，＋2<2，…，據此可以歸納猜想出的一般結論為(　　) A.＋<2(n∈N) B.＋<2(n∈N) C.＋<2(n≥2且n∈N*) D.＋<2(n≥2且n∈N*) 答案　D 解析?。?<2即為＋<2，2＋<2即為＋<2，＋<4即為＋<2，＋2<2即為＋<2，故可以歸納猜想出的一般結論是：＋<2(n≥2且n∈N*)，故選D. 8．在△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝，將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四

5、面體S－ABC中，若SA，SB，SC兩兩互相垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，則四面體S－ABC的外接球半徑R＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在四面體S－ABC中，三條棱SA，SB，SC兩兩互相垂直，則可以把該四面體補成長方體，其中SA＝a，SB＝b，SC＝c是一個頂點處的三條棱長，所以外接球的直徑就是長方體的體對角線，則半徑R＝，故選A. 二、填空題 9．觀察三角形數組，可以推測：該數組第八行的和為________． 答案　1296 解析　第一行的和為12，第二行的和為32＝(1＋2)2， 第三行的和為62＝(1＋2＋3)2， 第四行的和為(

6、1＋2＋3＋4)2＝102， … 第八行的和為(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)2＝1296. 10．所有真約數(除本身之外的正約數)的和等于它本身的正整數叫做完全數(也稱為完備數、完美數)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它們都可以表示為2的一些連續(xù)正整數次冪之和，如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…按此規(guī)律，8128可表示為________． 答案　26＋27＋…＋212 解析　因為6＝21＋22,28＝22＋23＋24，所以496＝16×31＝24×(25－1)＝＝24＋25＋26＋27＋28

7、，…，8128＝64×127＝26×(27－1)＝＝26＋27＋…＋212. 11．(2019·遼寧朝陽重點高中第四次模擬)甲、乙、丙、丁四名學生，僅有一人閱讀了語文老師推薦的一篇文章．當它們被問到誰閱讀了該篇文章時，甲說：“丙或丁閱讀了”；乙說：“丙閱讀了”；丙說：“甲和丁都沒有閱讀”；丁說：“乙閱讀了”．假設這四名學生中只有兩人說的是對的，那么讀了該篇文章的學生是________． 答案　乙 解析　若甲閱讀了語文老師推薦的文章，則甲、乙、丙、丁說的都不對，不滿足題意；若乙閱讀了語文老師推薦的文章，則甲、乙說的都不對，丙、丁說的都對，滿足題意；若丙閱讀了語文老師推薦的文章，則甲、乙、丙

8、說的都對，丁說的不對，不滿足題意；若丁閱讀了語文老師推薦的文章，則甲說的對，乙、丙、丁說的都不對，不滿足題意． 12．已知數列{an}為等差數列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，則am＋n＝.類比上述結論，對于等比數列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以得到bm＋n＝________. 答案　 解析　設等比數列的首項為b1，公比為q≠0.則bm＝c＝b1qm－1，bn＝d＝b1qn－1，＝b·q(n－m)(n＋m－1)，所以＝b1qn＋m－1＝bm＋n. 三、解答題 13．設Sn為數列{an}的前n項和，給出如下數

9、列： ①5,3,1，－1，－3，－5，－7，…； ②－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…. (1)對于數列①，計算S1，S2，S4，S5；對于數列②，計算S1，S3，S5，S7； (2)根據上述結果，對于存在正整數k，滿足ak＋ak＋1＝0的這一類等差數列{an}前n項和的規(guī)律，猜想一個正確的結論，并加以證明． 解　(1)對于數列①：S1＝5，S2＝8，S4＝8，S5＝5； 對于數列②：S1＝－14，S3＝－30，S5＝－30，S7＝－14. (2)∵ak＋ak＋1＝0，∴2a1＝(1－2k)d， ∴S2k－n－Sn＝(2k－n)a1＋d－na1－d＝[(2

10、k－n)(1－2k)＋(2k－n)(2k－n－1)－(1－2k)n－n(n－1)]＝[2k－4k2－n＋2nk＋4k2－2kn－2k－2nk＋n2＋n－n＋2kn－n2＋n]＝·0＝0. 一、選擇題 1．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，依此規(guī)律，若 ＝8，則a，b的值分別是(　　) A．48,7 B．61,7 C．63,8 D．65,8 答案　C 解析　由 ＝2， ＝3， ＝4，…，歸納可得 ＝n ，故當n＝8時，b＝8，a＝82－1＝63，故選C. 2．(2019·河北衡水十三中質檢四)平面內的一條直線將平面分成2部分，兩條相交直線將平面分成4部分，三條兩兩相交且不共點

11、的直線將平面分成7部分，…，則平面內六條兩兩相交且任意三條不共點的直線將平面分成的部分數為(　　) A．16 B．20 C．21 D．22 答案　D 解析　由題意得k條直線增加到k＋1條直線時增加k＋1個部分，所以平面內六條兩兩相交且任意三條不共點的直線將平面分成的部分數為6＋5＋4＋3＋2＋2＝22，選D. 3．平面內直角三角形兩直角邊長分別為a，b，則斜邊長為 ，直角頂點到斜邊的距離為.空間中三棱錐的三條側棱兩兩垂直，三個側面的面積分別為S1，S2，S3，類比推理可得底面積為 ，則三棱錐頂點到底面的距離為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設

12、三條棱長分別為x，y，z，又因為三個側面的面積分別為S1，S2，S3， ∴S1＝xy，S2＝y(tǒng)z，S3＝xz，則S2S3＝×xyz2＝S1z2，∴z＝ . ∵類比推理可得底面積為，若三棱錐頂點到底面的距離為h，可知三棱錐體積為V＝S1× ＝h× ， ∴h＝＝，故選C. 4．(2019·北京通州一模)由正整數組成的數對按規(guī)律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，….若數對(m，n)滿足(m2－1)(n2－3)＝2019，其中m，n∈N*，則數對(m，n)排在(　　) A．

13、第351位 B．第353位 C．第378位 D．第380位 答案　B 解析　2019＝3×673(673為質數)，故或(m，n∈N*)，得m＋n＝28，在所有數對中，兩數之和不超過27的有1＋2＋3＋…＋26＝×26＝351個，在兩數之和為28的數對中，(2,26)為第二個[第一個是(1,27)]，故數對(2,26)排在第351＋2＝353位，故選B. 答案　A 解析?。? 6．我國古代數學名著《九章算術》中割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現的是一種無限與有限的轉化過程，比如在 中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值

14、x，這可以通過方程＝x確定x＝2，則1＋＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設1＋＝x，則1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，故選C. 7．面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內任一點P到第i條邊的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.類比以上性質，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，則H1＋2H2＋3H3＋4H4＝(　　) A. B. C. D.

15、 答案　B 解析　根據三棱錐的體積公式V＝SH，得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V，所以H1＋2H2＋3H3＋4H4＝. 8．下面推理過程中使用了類比推理方法，其中推理正確的個數是(　　) ①“數軸上兩點間距離公式為|AB|＝，平面上兩點間距離公式為|AB|＝”，類比推出“空間內兩點間的距離公式為|AB|＝”； ②“代數運算中的完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2”類比推出“向量中的運算(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2仍成立”； ③“平面內兩不重合的直線不平行就相交”類比到空間，“空間內兩不重合的直線不平行就相交”也

16、成立； ④“圓x2＋y2＝1上點P(x0，y0)處的切線方程為x0x＋y0y＝1”，類比推出“橢圓＋＝1(a>b>0)上點P(x0，y0)處的切線方程為＋＝1”． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　對于①，根據空間內兩點間距離公式可知，類比正確；對于②，(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b·a＋b2＝a2＋2a·b＋b2，類比正確；對于③，在空間不平行的兩直線，有相交和異面兩種情況，類比錯誤；對于④，橢圓＋＝1(a>b>0)上點P(x0，y0)處的切線方程為＋＝1為真命題．綜合上述，可知正確個數為3，故選C. 二、填空題 9．觀察下列等式：

17、－2＋－2＝×1×2； －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5； … 照此規(guī)律， －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________. 答案　 解析　觀察前4個等式，由歸納推理可知 －2＋－2＋…＋－2＝×n×(n＋1)＝. 10．(2019·全國卷Ⅱ改編)在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測． 甲：我的成績比乙高． 乙：丙的成績比我和甲的都高． 丙：我的成績比乙高． 成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人中成績最高的是________． 答案　甲 解析　若

18、甲預測正確，則乙、丙預測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲、乙、丙；若乙預測正確，則丙預測也正確，不符合題意；若丙預測正確，則甲必預測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙比甲、乙成績都高，即乙預測正確，不符合題意． 11．(2019·山東淄博3月模擬)古代埃及數學中發(fā)現有一個獨特現象：除用一個單獨的符號表示以外，其他分數都要寫成若干個單分數和的形式．例如＝＋，可以這樣理解：假定有兩個面包，要平均分給5個人，如果每人，不夠，每人，余，再將這分成5份，每人得，這樣每人分得＋.形如(n＝2,3，4，…)的分數的分解：＝＋，＝＋，＝＋，按此規(guī)律，＝________(n

19、＝2,3,4，…)． 答案?。? 解析　通過分析題目所給的特殊項，的分解是由兩個部分構成，第一個部分是，第二個部分是，故＝＋. 12．(2019·山東威海二模)“克拉茨猜想”又稱“3n＋1猜想”，是德國數學家洛薩·克拉茨在1950年世界數學家大會上公布的一個猜想：任給一個正整數n，如果n是偶數，就將它減半；如果n為奇數就將它乘3加1，不斷重復這樣的運算，經過有限步后，最終都能夠得到1.已知正整數m經過6次運算后得到1，則m的值為________． 答案　10或64 解析　如果正整數m按照上述規(guī)則經過6次運算得到1，則經過5次運算后得到的一定是2；經過4次運算后得到的一定是4；經過3次運

20、算后得到的為8或1(不符合題意，舍去)；經過2次運算后得到的是16；經過1次運算后得到的是5或32；所以開始時的數為10或64.所以正整數m的值為10或64. 三、解答題 13．先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題： 已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求證：a＋a≥. 證明：構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2， 則f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a， 因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，從而得a＋a≥. (1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，請寫出上述結論的推廣式； (2)參考上述證法，對你推廣的結論加以證明． 解　(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1， 則a＋a＋…＋a≥. (2)證明：構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2， 則f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a， 因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0， 所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0， 從而得a＋a＋…＋a≥.