2019中考數(shù)學(xué) 第二部分 專題綜合強化 專題二 實際應(yīng)用型問題針對訓(xùn)練
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1、 第二部分 專題二 類型1 購買、銷售、分配類問題 1.(2018·常德)某水果店5月份購進甲、乙兩種水果共花費1 700元,其中甲種水果8元/千克,乙種水果18元/千克.6月份,這兩種水果的進價上調(diào)為甲種水果10元/千克,乙種水果20元/千克. (1)若該店6月份購進這兩種水果的數(shù)量與5月份都相同,將多支付貨款300元,求該店5月份購進甲、乙兩種水果分別是多少千克. (2)若6月份將這兩種水果進貨總量減少到120千克,且甲種水果不超過乙種水果的3倍,則6月份該店需要支付這兩種水果的貨款最少應(yīng)是多少元? 解:(1)設(shè)該店5月份購進甲種水果x千克,購進乙種水果y千克, 根據(jù)題意
2、,得解得 答:該店5月份購進甲種水果100千克,購進乙種水果50千克. (2)設(shè)購進甲種水果a千克,需要支付的貨款為w元,則購進乙種水果(120-a)千克, 根據(jù)題意,得w=10a+20(120-a)=-10a+2 400. ∵甲種水果不超過乙種水果的3倍, ∴a≤3(120-a),解得a≤90. ∵k=-10<0,∴w隨a值的增大而減小, ∴當(dāng)a=90時,w取最小值,最小值為-10×90+2 400=1 500. 答:6月份該店需要支付這兩種水果的貨款最少應(yīng)是1 500元. 2.(2018·泰安)文美書店決定用不多于20 000元購進甲乙兩種圖書共1 200本進行銷售.甲、
3、乙兩種圖書的進價分別為每本20元、14元,甲種圖書每本的售價是乙種圖書每本售價的1.4倍.若用1 680元在文美書店可購買甲種圖書的本數(shù)比用1 400元購買乙種圖書的本數(shù)少10本. (1)甲、乙兩種圖書的售價分別為每本多少元? (2)書店為了讓利讀者,決定甲種圖書售價每本降低3元,乙種圖書售價每本降低2元,問書店應(yīng)如何進貨才能獲得最大利潤?(購進的兩種圖書全部銷售完) 解:(1)設(shè)乙種圖書售價每本x元,則甲種圖書售價為每本1.4x元. 由題意,得-=10,解得x=20. 檢驗:當(dāng)x=20時,1.4x≠0,所以x=20是原方程的解,且符合題意. 所以,甲種圖書售價為每本1.4×20=
4、28(元). 答:甲種圖書的售價為每本28元,乙種圖書的售價為每本20元. (2)設(shè)甲種圖書進貨a本,總利潤w元,則 w=(28-20-3)a+(20-14-2)(1 200-a)=a+4 800. 又∵20a+14×(1 200-a)≤20 000, 解得a≤, w隨a的增大而增大, ∴當(dāng)a=533時,w最大, 此時,乙種圖書進貨本數(shù)為1 200-533=667(本). 答:甲種圖書進貨533本,乙種圖書進貨667本時能獲得最大利潤. 3.某商場銷售A,B兩種商品,售出1件A種商品和4件B種商品所得利潤為600元,售出3件A種商品和5件B種商品所得利潤為1 100元.
5、(1)求每件A種商品和每件B種商品售出后所得利潤各多少元? (2)若該商場一次購進A,B兩種商品共34件,全部售完后所得利潤不低于4 000元,那么該商場至少需要購進多少件A種商品? 解:(1)設(shè)每件A種商品利潤為x元,每件B種商品利潤為y元. 由題意,得解得 答:每件A種商品利潤為200元,每件B種商品利潤為100元. (2)設(shè)購進A種商品a件,則購進B種商品(34-a)件. 由題意,得200a+100(34-a)≥4 000,解得a≥6. 答:商場至少需購進6件A種商品. 4.某校周六、周日分別從甲班與乙班各選出20位同學(xué)去幫助某果園的果農(nóng)采摘菠蘿,任務(wù)都是完成720千克菠
6、蘿的采摘、運送、包裝三項工作.已知每個同學(xué)每小時完成同項工作的工作量一樣,且知每人每小時可采摘60千克. (1)周六時甲班將工作做如下分配:6人采摘,8人運送,6人包裝,發(fā)現(xiàn)剛好各項工作完成的時間相等,那么每人每小時運送、包裝各多少千克? (2)得知相關(guān)信息后,周日乙班將分配方案調(diào)整如下:20人一起完成采摘任務(wù)后,然后自由分成兩組,第一組運送,第二組包裝,發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)谝唤M完成了任務(wù)時,第二組在相等的時間內(nèi)還有80千克的菠蘿還沒有包裝,于是第一組同學(xué)馬上幫助第二組同學(xué)進行包裝直至完成任務(wù),試問自由分成的兩組各多少人? 解:(1)設(shè)采摘了x小時,根據(jù)題意,得 6×60×x=720,解得x=2,
7、 故每人每小時包裝:720÷(6×2)=60(kg), 每人每小時運送720÷(8×2)=45(kg). 答:每人每小時運送60 kg、包裝45 kg. (2)設(shè)負(fù)責(zé)運送的人數(shù)為y人,則包裝人數(shù)為(20-y)人, 根據(jù)題意,得=,解得y=12, 檢驗:當(dāng)y=12時,45y≠0,20-y≠0,所以y=12是原方程的根,且符合題意, 可知自由分成的兩組中,第一組12人,第二組為20-12=8(人). 答:自由分成的第一組12人,第二組8人. 類型2 工程、生產(chǎn)、行程類問題 1.(2018·昆明盤龍區(qū)模擬)一輛汽車計劃從A地出發(fā)開往相距180千米的B地,事發(fā)突然,加速為原速的
8、1.5倍,結(jié)果比計劃提前40分鐘到達(dá)B地,求原計劃平均每小時行駛多少千米? 解:設(shè)原計劃平均每小時行駛x千米,則加速后平均每小時行駛1.5x千米, 根據(jù)題意,得-=, 解得x=90, 經(jīng)檢驗,x=90是原分式方程的根,且符合題意. 答:原計劃平均每小時行駛90千米. 2.(2018·威海)某自動化車間計劃生產(chǎn)480個零件,當(dāng)生產(chǎn)任務(wù)完成一半時,停止生產(chǎn)進行自動化程序軟件升級,用時20分鐘,恢復(fù)生產(chǎn)后工作效率比原來提高了,結(jié)果完成任務(wù)時比原計劃提前了40分鐘,求軟件升級后每小時生產(chǎn)多少個零件? 解:設(shè)升級前每小時生產(chǎn)x個零件,根據(jù)題意,得-=+. 解得x=60. 檢驗,當(dāng)x=6
9、0時,(1+)x≠0,所以x=60是原方程的解且符合題意. ∴60×(1+)=80(個). 答:軟件升級后每小時生產(chǎn)80個零件. 3.(2018·撫順)為落實“美麗撫順”的工作部署,市政府計劃對城區(qū)道路進行改造,現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊完成.已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率的倍,甲隊改造360米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用3天. (1)甲、乙兩工程隊每天能改造道路的長度分別是多少米? (2)若甲隊工作一天需付費用7萬元,乙隊工作一天需付費用5萬元,如需改造的道路全長1 200米,改造總費用不超過145萬元,至少安排甲隊工作多少天? 解:(1)設(shè)乙工程隊每天能改造道路的長度為x米,
10、則甲工程隊每天能改造道路的長度為x米, 根據(jù)題意得-=3,解得x=40, 檢驗:當(dāng)x=40時,x≠0,所以x=40是原分式方程的解,且符合題意, x=×40=60. 答:乙工程隊每天能改造道路的長度為40米,甲工程隊每天能改造道路的長度為60米. (2)設(shè)安排甲隊工作m天,則安排乙隊工作天, 根據(jù)題意得7m+5×≤145, 解得m≥10. 答:至少安排甲隊工作10天. 4.(2018·官渡區(qū)二模)列方程(組)及不等式解應(yīng)用題 某種型號油、電混合動力汽車,從A地到B地使用純?nèi)加托旭偟馁M用為76元;從A地到B地使用純電行駛的費用為26元.已知每行駛1千米用純?nèi)加托旭偟馁M用比用純
11、電行駛的費用多0.5元. (1)求用純電行駛1千米的費用為多少元? (2)若要使從A地到B地油電混合行駛所需的油和電總費用不超過39元,則至少用電行駛多少千米? 解:(1)設(shè)用純電行駛1千米的費用為x元,則用純油行駛1千米的費用為(x+0.5)元, 根據(jù)題意得=,解得x=0.26, 檢驗,當(dāng)x=0.26時,x+0.5≠0,所以x=0.26是原分式方程的解. 答:用純電行駛1千米的費用為0.26元. (2)設(shè)從A地到B地用電行駛y千米, 根據(jù)題意得0.26y+(0.26+0.5)(-y)≤39,解得y≥74. 答:至少用電行駛74千米. 類型3 增長率問題 1.隨著阿里
12、巴巴、淘寶網(wǎng)、京東、小米等互聯(lián)網(wǎng)巨頭的崛起,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.據(jù)調(diào)查,杭州市某家小型快遞公司,今年一月份與三月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件.現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同. (1)求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率; (2)如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件,那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年4月份的快遞投遞任務(wù)?如果不能,請問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員? 解:(1)設(shè)該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為x,由題意,得 10×(1+x)2=12.1, 解得x1=10%,x2=-210%(舍去). 答:該快遞公司投
13、遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為10%. (2)不能,4月:12.1×1.1=13.31(萬件), 21×0.6=12.6<13.31, ∴該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年4月份的快遞投遞任務(wù). ∵22<<23,∴至少還需增加2名業(yè)務(wù)員. 答:不能,至少需要增加2名業(yè)務(wù)員. 2.受益于國家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重利好因素,我市某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤逐年提高,據(jù)統(tǒng)計,2014年利潤為2億元,2016年利潤為2.88億元. (1)求該企業(yè)從2014年到2016年利潤的年平均增長率; (2)若2017年保持前兩年利潤的年平均增長率不變,該企業(yè)2017
14、年的利潤能否超過3.4億元? 解:(1)設(shè)該企業(yè)從2014年到2016年利潤平均增長率為x.根據(jù)題意得2(1+x)2=2.88, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合題意,舍去). 答:該企業(yè)從2014年到2016年利潤平均增長率為20%. (2)如果2017年仍保持相同的年平均增長率,那么2017年該企業(yè)年利潤為2.88(1+20%)=3.456, 3.456>3.4, 答:該企業(yè)2017年的利潤能超過3.4億元. 3.為進一步促進義務(wù)教育均衡發(fā)展,某市加大了基礎(chǔ)教育經(jīng)費的投入,已知2015年該市投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費5 000萬元,2017年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費7 200萬元
15、. (1)求該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費的年平均增長率; (2)如果按(1)中基礎(chǔ)教育經(jīng)費投入的年平均增長率計算,該市計劃2018年用不超過當(dāng)年基礎(chǔ)教育經(jīng)費的5%購買電腦和實物投影儀共1 500臺,調(diào)配給農(nóng)村學(xué)校,若購買一臺電腦需3 500元,購買一臺實物投影需2 000元,則最多可購買電腦多少臺? 解:(1)設(shè)該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費的年平均增長率為x, 根據(jù)題意得5 000(1+x)2=7 200, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去). 答:該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費的年平均增長率為20%. (2)2018年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費為7 200×(1+20%)=8 64
16、0(萬元), 設(shè)購買電腦m臺,則購買實物投影儀(1 500-m)臺, 根據(jù)題意得3 500m+2 000(1 500-m)≤86 400 000×5%, 解得m≤880. 答:2018年最多可購買電腦880臺. 類型4 方案設(shè)計問題與最值問題 1.(2018·懷化)某學(xué)校積極響應(yīng)懷化市“三城同創(chuàng)”的號召,綠化校園,計劃購進A,B兩種樹苗,共21棵,已知A種樹苗每棵90元,B種樹苗每棵70元.設(shè)購買A種樹苗x棵,購買兩種樹苗所需費用為y元. (1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式,其中0≤x≤21; (2)若購買B種樹苗的數(shù)量少于A種樹苗的數(shù)量,請給出一種費用最省的方案,并求出該方案所需
17、費用.
解:(1)根據(jù)題意,得y=90x+70(21-x)=20x+1 470,
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=20x+1 470.
(2)∵購買B種樹苗的數(shù)量少于A種樹苗的數(shù)量,
∴21-x
18、B型空調(diào)每臺各需多少元; (2)若學(xué)校計劃采購A,B兩種型號空調(diào)共30臺,且A型空調(diào)的臺數(shù)不少于B型空調(diào)的一半,兩種型號空調(diào)的采購總費用不超過217 000元,該校共有哪幾種采購方案? (3)在(2)的條件下,采用哪一種采購方案可使總費用最低,最低費用是多少元? 解:(1)設(shè)A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺各需x元、y元, 由題意得解得 答:A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺各需9 000元、6 000元. (2)設(shè)購買A型空調(diào)a臺,則購買B型空調(diào)(30-a)臺, 解得10≤a≤12, ∴a=10,11,12,共有三種采購方案, 方案一:采購A型空調(diào)10臺,B型空調(diào)20臺, 方案二:采購A型
19、空調(diào)11臺,B型空調(diào)19臺, 方案三:采購A型空調(diào)12臺,B型空調(diào)18臺. (3)設(shè)總費用為w元, w=9 000a+6 000(30-a)=3 000a+180 000, ∴當(dāng)a=10時,w取得最小值,此時w=210 000, 答:采購A型空調(diào)10臺,B型空調(diào)20臺可使總費用最低,最低費用是210 000元. 3.(2018·梧州)我市從2018年1月1日開始,禁止燃油助力車上路,于是電動自行車的市場需求量日漸增多.某商店計劃最多投入8萬元購進A,B兩種型號的電動自行車共30輛,其中每輛B型電動自行車比每輛A型電動自行車多500元.用5萬元購進的A型電動自行車與用6萬元購進的B型
20、電動自行車數(shù)量一樣. (1)求A,B兩種型號電動自行車的進貨單價; (2)若A型電動自行車每輛售價為2 800元,B型電動自行車每輛售價為3 500元,設(shè)該商店計劃購進A型電動自行車m輛,兩種型號的電動自行車全部銷售后可獲利潤y元.寫出y與m之間的函數(shù)關(guān)系式; (3)該商店如何進貨才能獲得最大利潤?此時最大利潤是多少元? 解:(1)設(shè)A,B兩種型號電動自行車的進貨單價分別為x元、(x+500)元. 由題意得=,解得x=2 500, 檢驗:當(dāng)x=2 500時,x(x+500)≠0,所以x=2 500是分式方程的解,且符合題意,此時x+500=3 000. 答:A,B兩種型號電動自行
21、車的進貨單價分別為2 500元,3 000元. (2)∵購進A型電動自行車m輛, ∴購進B型電動自行車(30-m)輛. 根據(jù)題意得y=(2 800-2 500)m+(3 500-3 000)(30-m)=-200m+15 000. (3)根據(jù)題意得,2 500m+3 000(30-m)≤80 000, 解得m≥20. 又∵m<30,∴20≤m<30, 由(2)得y=-200m+15 000, ∵-200<0,∴y隨m的增大而減小, ∴當(dāng)m=20時,y取最大值,最大值為-200×20+15 000=11 000(元). 此時30-m=10. 答:當(dāng)購進A種型號電動自行車20
22、輛,B種型號電動自行車10輛時,能獲得最大利潤,此時最大利潤是11 000元.
4.(2018·湘西)某商店銷售A型和B型兩種電腦,其中A型電腦每臺的利潤為400元,B型電腦每臺的利潤為500元.該商店計劃再一次性購進兩種型號的電腦共100臺,其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍,設(shè)購進A型電腦x臺,這100臺電腦的銷售總利潤為y元.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該商店購進A型、B型電腦各多少臺,才能使銷售總利潤最大,最大利潤是多少?
(3)實際進貨時,廠家對A型電腦出廠價下調(diào)a(0
23、以上信息,設(shè)計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案.
解:(1)根據(jù)題意,
y=400x+500(100-x)=-100x+50 000.
(2)∵100-x≤2x,∴x≥=33.
∵y=-100x+50 000中k=-100<0,
∴y隨x的增大而減?。?
∵x為正數(shù),∴當(dāng)x=34時,y取得最大值,最大值為46 600,
答:該商店購進A型電腦34臺、B型電腦66臺,才能使銷售總利潤最大,最大利潤是46 600元.
(3)據(jù)題意得,y=(400+a)x+500(100-x),即y=(a-100)x+50 000,
33≤x≤60
①當(dāng)0
24、小,
∴當(dāng)x=34時,y取最大值,
即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大.
②當(dāng)a=100時,a-100=0,y=50 000,
即商店購進A型電腦數(shù)量滿足33≤x≤60的整數(shù)時,均獲得最大利潤;
③當(dāng)1000,y隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=60時,y取得最大值.
即商店購進60臺A型電腦和40臺B型電腦的銷售利潤最大.
類型5 圖象類問題
1.(2018·上海)一輛汽車在某次行駛過程中,油箱中的剩余油量y(升)與行駛路程x(千米)之間是一次函數(shù)關(guān)系,其部分圖象如圖所示.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(不需要寫定義域) 25、
(2)已知當(dāng)油箱中的剩余油量為8升時,該汽車會開始提示加油,在此次行駛過程中,行駛了500千米時,司機發(fā)現(xiàn)離前方最近的加油站有30千米的路程,在開往該加油站的途中,汽車開始提示加油,這時離加油站的路程是多少千米?
解:(1)設(shè)該一次函數(shù)的解析式為y=kx+b,將(150,45),(0,60)代入y=kx+b中,
解得
∴該一次函數(shù)的解析式為y=-x+60.
(2)當(dāng)y=-x+60=8時,解得x=520.
即行駛520千米時,油箱中的剩余油量為8升.
530-520=10千米,
油箱中的剩余油量為8升時,距離加油站10千米.
∴在開往該加油站的途中,汽車開始提示加油,這時離加 26、油站的路程是10千米.
2.(2018·衡陽)一名在校大學(xué)生利用“互聯(lián)網(wǎng)+”自主創(chuàng)業(yè),銷售一種產(chǎn)品,這種產(chǎn)品的成本價10元/件,已知銷售價不低于成本價,且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于16元/件,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量y(件)與銷售價x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)求每天的銷售利潤W(元)與銷售價x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出每件銷售價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
解:(1)設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y=kx+b,
將(10,30),(16,24)代入,得
解得
所以y 27、與x的函數(shù)解析式為y=-x+40(10≤x≤16).
(2)根據(jù)題意知,W=(x-10)y
=(x-10)(-x+40)
=-x2+50x-400
=-(x-25)2+225,
∵a=-1<0,∴當(dāng)x<25時,W隨x的增大而增大.
∵10≤x≤16,∴當(dāng)x=16時,W取得最大值,最大值為144,
答:每件銷售價為16元時,每天的銷售利潤最大,最大利潤是144元.
3.為更新果樹品種,某果園計劃新購進A,B兩個品種的果樹苗栽植培育,若計劃購進這兩種果樹苗共45棵,其中A種樹苗的單價為7元/棵,購買B種樹苗所需費用y(元)與購買數(shù)量x(棵)之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系.
(1) 28、求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若在購買計劃中,B種樹苗的數(shù)量不超過35棵,但不少于A種樹苗的數(shù)量,請設(shè)計購買方案,使總費用最低,并求出最低費用.
解:(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,
當(dāng)0≤x<20時,把(0,0),(20,160)代入y=kx+b中,
得解得
此時y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=8x;
當(dāng)x≥20時,把(20,160),(40,288)代入y=kx+b中,
得解得
此時y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=6.4x+32.
綜上可知:y與x的函數(shù)關(guān)系式為
y=
(2)∵B種樹苗的數(shù)量不超過35棵,但不少于A種樹苗的數(shù)量,
∴∴22.5≤x≤35,
設(shè)總費用為W元 29、,則W=6.4x+32+7(45-x)=-0.6x+347,
∵k=-0.6,∴W隨x的增大而減小,
∴當(dāng)x=35時,W總費用最低,W最低=-0.6×35+347=326(元).
答:當(dāng)B種樹苗為35棵樹,總費用最低為326元.
4.春節(jié)期間,小麗一家乘坐高鐵前往某市旅游,計劃第二天租用新能源汽車自駕出游.
租車公司:按日收取固定租金80元,另外再按租車時間計費.
共享汽車:無固定租金,直接以租車時間(時)計費.
如圖是兩種租車方式所需費用y1(元),y2(元)與租車時間x(時)之間的函數(shù)圖象,根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)分別求出y1,y2與x的函數(shù)表達(dá)式;
(2 30、)請你幫助小麗一家選擇合算的租車方案.
解:(1)由題意,設(shè)y1=kx+80,
將(2,110)代入,得110=2k+80,解得k=15,
則y1與x的函數(shù)表達(dá)式為y1=15x+80;
設(shè)y2=mx,將(5,150)代入,得150=5m,解得m=30,
則y2與x的函數(shù)表達(dá)式為y2=30x.
(2)由y1=y(tǒng)2得,15x+80=30x,解得x=;
由y1
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