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課時(shí)作業(yè)(四十三)　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 一、選擇題 1．給出下列說(shuō)法：①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面；②三條平行直線共面；③有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定3個(gè)平面。其中正確的序號(hào)是(　　) A．① B．①④ C．②③ D．③④ 解析：因?yàn)樘菪斡袃蛇吰叫校蕴菪未_定一個(gè)平面，所以①是正確的；三條平行直線不一定共面，如直三棱柱的三條平行的棱，所以②不正確；有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面不一定重合，如兩個(gè)平面相交，三個(gè)公共點(diǎn)都在交線上，所以③不正確；三條直線兩兩相交，可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是1或3，所以④不正確，故選A。 答案：A 2．(2016溫州模擬)如圖所示的是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的是(　　) A B C D 解析：A中PS∥QR，故共面；B中PS與QR相交，故共面；C中四邊形PQRS是平行四邊形，所以共面，故選D。 答案：D 3．(2016合肥模擬)已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是(　　) A．AB∥CD B．AB與CD異面 C．AB與CD相交 D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交 解析：若三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線，故選D。 答案：D 4．如圖，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(guò)(　　) A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)M 解析：∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ。 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β。 根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上。 同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上。 答案：D 5．已知α、β為平面，A、B、M、N為點(diǎn)，a為直線，下列推理錯(cuò)誤的是(　　) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN C．A∈α，A∈β?α∩β＝A D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共線?α、β重合 解析：∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β。 由公理可知α∩β為經(jīng)過(guò)A的一條直線而不是A。故α∩β＝A的寫(xiě)法錯(cuò)誤。 答案：C 6．如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1(底面為正方形，側(cè)棱與底面垂直)中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：連接BC1，A1C1，則A1B與BC1所成角即為所求。 在△A1BC1中， 設(shè)AB＝a， 則A1B＝BC1＝a，A1C1＝a， ∴cos∠A1BC1 ＝＝。 答案：D 二、填空題 7．(2016天津模擬)設(shè)a，b，c是空間的三條直線，下面給出四個(gè)命題： ①設(shè)a⊥b，b⊥c，則a∥c； ②若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c也是異面直線； ③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交； ④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面。 其中真命題的個(gè)數(shù)是________。 解析：因?yàn)閍⊥b，b⊥c，所以a與c可能相交、平行或異面，所以①錯(cuò)；因?yàn)閍，b異面，b，c異面，則a，c可能異面、相交或平行，所以②錯(cuò)；由a，b相交，b，c相交，則a，c可以異面、相交或平行，所以③錯(cuò)；同理④錯(cuò)，所以真命題的個(gè)數(shù)為0。 答案：0 8．(2016昆明模擬)若兩條異面直線所成的角為60，則稱這對(duì)異面直線為“黃金異面直線對(duì)”，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“黃金異面直線對(duì)”共有________對(duì)。 解析： 正方體如圖，若要出現(xiàn)所成角為60的異面直線，則直線需為面對(duì)角線，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對(duì)的直線有4條，分別是A′B，BC′，A′D，C′D，正方體的面對(duì)角線有12條，所以所求的黃金異面直線對(duì)共有＝24對(duì)(每一對(duì)被計(jì)算兩次，所以記好要除以2)。 答案：24 9．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_(kāi)_______。 解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD， 則因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)， 所以AD∥BC， 所以直線AC1與AD所在角等于異面直線AC1與BC所成角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)， 所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD， 因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形， 所以C1D＝AD， 所以直線AC1與AD所成角的正切值為， 所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為。 答案： 三、解答題 10．在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60。 (1)求四棱錐的體積。 (2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值。 解析：(1)在四棱錐P－ABCD中， 因?yàn)镻O⊥平面ABCD， 所以∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60。 在Rt△POB中，因?yàn)锽O＝ABsin30＝1， 又PO⊥OB，所以PO＝BOtan60＝， 因?yàn)榈酌媪庑蔚拿娣eS菱形ABCD＝2。 所以四棱錐P－ABCD的體積 VP－ABCD＝2＝2。 (2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF， 因?yàn)镋為PB中點(diǎn)， 所以EF∥PA。 所以∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或補(bǔ)角)。 在Rt△AOB中， AO＝ABcos30＝＝OP， 所以在Rt△POA中，PA＝， 所以EF＝。 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠DAB＝60， 所以△ABD為正三角形。 又因?yàn)椤螾BO＝60，BO＝1， 所以PB＝2，所以PB＝PD＝BD，即△PBD為正三角形， 所以DF＝DE＝， 所以cos∠DEF＝ ＝＝＝。 即異面直線DE與PA所成角的余弦值為。 11．如圖所示，已知二面角α－MN－β的大小為60，菱形ABCD在平面β內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在棱MN上，∠BAD＝60，E是AB的中點(diǎn)，DO⊥面α，垂足為O。 (1)證明：AB⊥平面ODE； (2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值。 解析： (1)如圖，因?yàn)镈O⊥α，AB?α，所以DO⊥AB。 連接BD，由題設(shè)知，△ABD是正三角形，又E是AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB。 又DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE。 (2)因?yàn)锽C∥AD，所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即∠ADO是BC與OD所成的角(或其補(bǔ)角)。 由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE。 又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α－MN－β的平面角，從而∠DEO＝60。 不妨設(shè)AB＝2，則AD＝2，易知DE＝。 在Rt△DOE中，DO＝DEsin60＝。 連接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝＝。 故異面直線BC與OD所成角的余弦值為。 12．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)。 (1)求證：AE與PB是異面直線； (2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值； (3)求三棱錐A－EBC的體積。 解析：(1)假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α。 因?yàn)锳∈α，B∈α，E∈α， 所以平面α即為平面ABE，所以P∈平面ABE， 這與P?平面ABE矛盾， 所以AE與PB是異面直線。 (2)取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥PB， 所以∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成的角。 因?yàn)椤螧AC＝60，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC， 所以AF＝，AE＝，EF＝， cos∠AEF＝＝， 所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為。 (3)因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面ABC的距離為PA＝1， VA－EBC＝VE－ABC＝1＝。