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河北科技師范學院教案 編號 8 學年度 第 學期 系 （部） 數(shù) 理 系 教研室 數(shù) 學 任課教師 課程名稱 概率統(tǒng)計 授課章節(jié)：第二章 一維隨機變量及其分布 第四節(jié) 一維隨機變量函數(shù)的分布 授課班級 授課日期 課 題 一維隨機變量函數(shù)的分布 時 數(shù) 2 教學目的 及 要 求 使學生熟練掌握一維隨機變量函數(shù)的分布的概念和計算方法 教學重點 一維隨機變量函數(shù)的分布的概念和計算方法 難 點 對連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布密度的求解 教法、教具 講授法 課堂設計（教學內(nèi)容、過程、方法、圖表等） 時間分配 （一） 回憶一維隨機變量分布函數(shù)和分布密度的關(guān)系 （二）新課 第四節(jié) 一維隨機變量函數(shù)的分布 一般地，設是以為密度的連續(xù)型隨機變量．并設，則也是連續(xù)型隨機變量．本節(jié)討論如何從的分布出發(fā)，應用一定的方法和技巧，求的分布． 一　離散型隨機變量函數(shù)的分布列 例1 設某球員在固定點投籃的命中率是0.8，他投籃5次，用表示進球數(shù)，則 ～，其概率分布列為 1 2 3 4 5 如果采用的計分辦法是每進一球得2分，則該球員的得分為，的取值為0，2，4，6，8，10．的值也是這個隨機試驗（即該球員投籃5次）的結(jié)果， 所以，也是隨機變量，那么如何求的概率分布呢？我們注意到和的取值是一對一的關(guān)系，所以有如下等價事件： {=0}＝{}，{}＝{}，{}＝{}，…， 于是， ，，，…， 從而，得的概率分布列為 2 4 6 8 10 若函數(shù)不是一對一的，則的概率分布列的求法就不象上面那么簡單． 二　連續(xù)型隨機變量的函數(shù) 設為連續(xù)型隨機變量，是連續(xù)函數(shù)．則也是連續(xù)型隨機變量，根據(jù)的概率密度求出的概率密度．一般步驟如下： （1）先求的分布函數(shù) ：從不等式解出（其中是軸上的一個區(qū)間或若干區(qū)間的并集），于是得到等價事件“”＝“”，所以，＝，其中右端的表示定積分的積分范圍； （2）對求導，得到 ＝． 例3　設的概率密度為 令，求的概率密度． 解法１ 注意的取值范圍是區(qū)間，故的實際取值范圍是．任取，考慮的分布函數(shù) ＝． 由不等式，解出 ．由于，故 =． 于是 ==，， 所以 解法２　設的分布函數(shù)是，則 ． 利用復合函數(shù)導數(shù)的法則，當時，有 ==． 上述推導實質(zhì)在于將的分布函數(shù)在的值轉(zhuǎn)化為的分布函數(shù) 在處的值，這樣就建立了分布函數(shù)之間的關(guān)系，然后，通過求導得到 的密度函數(shù)，這種方法稱為“分布函數(shù)法”． 定理 設，，則． 證明 僅證的情況.的概率密度為 ，. 用和分別表示和的分布函數(shù)，則有 ＝＝． 利用復合函數(shù)導數(shù)的法則，有 ==． 根據(jù)正態(tài)分布的定義，便知 ． 推論 如果，則 ． 證明 在定理中，取， 即可得到． 由推論可知，任何正態(tài)分布都可轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布．通常記，并稱為的標準化隨機變量． 例4　設，，求的概率密度． 解 的概率密度為，，用和分別表示和的分布函數(shù)．因為，的實際取值范圍是 ，所以當時， == 所以 ==， 即　 作 業(yè) 參考文獻 作業(yè) 參考文獻 同上 課 后 小 結(jié) 教研室主任（簽字）：