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淺談“數(shù)形結(jié)合思想”在解題中的應(yīng)用 福鼎二中 夏宇寧 一、數(shù)形結(jié)合思想的提出 在高中數(shù)學(xué)解析幾何這一模塊中，處理問(wèn)題的方法常見有代數(shù)法和幾何法。代數(shù)法是從“數(shù)”的角度解決問(wèn)題、幾何法從“形”的角度解決問(wèn)題，這兩種方法相輔相成，相得益彰。現(xiàn)舉例如下：若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍. 解：（代數(shù)法）曲線方程可化為，把代入 可得：（），由題意可知方程僅有一個(gè)非負(fù)根 ①當(dāng)方程有等根時(shí)，即=0，可得，當(dāng)時(shí)，方程可化為，得不合題意；當(dāng)時(shí)，方程為 得符合題意，可知； ②當(dāng)方程根為時(shí)，得，，當(dāng)時(shí)，方程為，得方程兩個(gè)根為，不合題意應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，方程為，得方程兩個(gè)根為，適合題意，可知； ③當(dāng)方程根為一正一負(fù)時(shí)，只需，可得。 綜上所述：所求 k的取值范圍為或。 （幾何法）曲線是單位圓的右半圓（）， k是直線在y軸上的截距.在同一坐標(biāo)系中畫出兩曲線圖像如圖所示知：直線與曲線相切時(shí)，，由圖形：可得或。 上述兩種解法可以看出利用代數(shù)法求解過(guò)程較為復(fù)雜、繁瑣且容易錯(cuò)；而利用幾何法即一種數(shù)形結(jié)合的思想方法，卻能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，它在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的指導(dǎo)作用。 二、數(shù)形結(jié)合思想的概述 數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問(wèn)題利用形來(lái)觀察，揭示其幾何意義；而形的問(wèn)題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決的方法稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。 數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。 三、數(shù)形結(jié)合思想解題方法指導(dǎo) 1．轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑： ① 通過(guò)坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解。 ② 轉(zhuǎn)化，通過(guò)分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到另一個(gè)角度來(lái)考慮，如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等。 ③ 構(gòu)造，比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)圖表等。 2．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法： ①“由形化數(shù)” ：就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性。 ②“由數(shù)化形” ：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征。 ③“數(shù)形轉(zhuǎn)換” ：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。 四、數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用 1、化靜為動(dòng)用圖像 例1 已知：有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，若直線與有向線段延長(zhǎng)線相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 分析：題中直線是一條過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線系，而有向線段是一條定的有向線段，要使直線與有向線段延長(zhǎng)線相交，可先找到過(guò)一個(gè)臨界點(diǎn)，再?gòu)倪\(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)促使直線的斜率在某一范圍內(nèi)，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解：直線的方程可化為點(diǎn)斜式：，易知直線過(guò)定點(diǎn)且斜率為，因?yàn)榕c的延長(zhǎng)線相交，由數(shù)形結(jié)合可得：當(dāng)過(guò)且與平行時(shí)，直線的斜率趨近于最?。划?dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的斜率趨近于最大，又，，設(shè)直線的斜率為，由 , 得 所以 評(píng)注：含有一個(gè)變量的直線方程可化為點(diǎn)斜式或化為經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程.本題是化為點(diǎn)斜式方程后，可看出交點(diǎn)和斜率，此類題目一般結(jié)合圖形化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解，可判斷出斜率的取值范圍。 2、破解疑難構(gòu)圖像 例2 求函數(shù)的值域。 分析：本題可以把函數(shù)化為關(guān)于的三角函數(shù)，然后利用其有界性求值域，但其運(yùn)算量大，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力有較高要求，有一定難度。此題可看成過(guò)兩點(diǎn)（）,構(gòu)成直線的斜率的范圍，又（）在一個(gè)單位圓上，故可構(gòu)造圖像求此函數(shù)值域。 解：的形式類似于斜率公式 M 表示過(guò)兩點(diǎn)（）,構(gòu)成直線的斜率 由于點(diǎn)在單位圓上，如圖， 顯然，設(shè)過(guò)的圓的切線方程為 則有，解得，即， 評(píng)注：本題考查了三角函數(shù)值域與直線斜率之間的內(nèi)在聯(lián)系，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。 在解決三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，若把三角函數(shù)的性質(zhì)、化簡(jiǎn)的形式通過(guò)構(gòu)造思想融于函數(shù)的圖象之中，將數(shù)（量）與圖形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究，使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過(guò)幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái)，這是解決三角函數(shù)問(wèn)題的一種思維策略。 3、尋求正解配圖像 例3 設(shè)A=，B=，C=，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 分析：解決本題的關(guān)鍵是依靠二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C，進(jìn)而用不等式將這一集合語(yǔ)言加以轉(zhuǎn)化。 解：∵在上是增函數(shù)，∴B=。 作出函數(shù)的圖象，其定義域右端點(diǎn)有三種不同的位置關(guān)系： ①當(dāng)時(shí)，如圖1，，即｛z|｝。 要使，必須且只需，解得，與矛盾。 ②當(dāng)時(shí)，如圖2，，即｛z|｝. 要使，必須且只需，解得。 ③當(dāng)時(shí)，如圖3，，即｛z|｝。 要使，必須且只需，解得。 ④當(dāng)時(shí)，A=，此時(shí)B=C=，成立。 綜上所述，a的取值范圍是。 評(píng)注：解決集合問(wèn)題首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合語(yǔ)言“翻譯”為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而分析條件與結(jié)論的特點(diǎn)，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決。 對(duì)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，應(yīng)抓住對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系，借助圖象的直觀形象，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。 4、結(jié)論模糊畫圖像 例4 （08年高考湖南卷理3改編）已知變量x、y滿足條件 求的最大值. 分析：本題實(shí)質(zhì)是線性規(guī)劃問(wèn)題，運(yùn)用圖像畫平面區(qū)域，再求線性目標(biāo)函數(shù)的最值。 解：如圖所示，可行域?yàn)閳D中陰影部分（包括邊界線），則z=在A點(diǎn)處取得最大值，由得A（3，3），故最大值為3＋3=6. 評(píng)注：二元一次不等式組與二元函數(shù)的對(duì)應(yīng)實(shí)質(zhì)上是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，利用可行域可以求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于典型的數(shù)形結(jié)合的案例。值得注意的是，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與邊界直線斜率的大小關(guān)系用于確定最優(yōu)解的正確位置應(yīng)仔細(xì)觀察各直線的傾斜程度，準(zhǔn)確判定可行域內(nèi)的最優(yōu)解。 總之，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中基本而又重要的思想，是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效。數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！笨梢姅?shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。在高考復(fù)習(xí)時(shí)，同學(xué)們必須隨時(shí)注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。