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溫度和氣體分子運(yùn)動論 1。1 溫度 1．1．1、平衡態(tài)、狀態(tài)參量 溫度是表示物體冷熱程度的物理量。凡是跟溫度有關(guān)的現(xiàn)象均稱為熱現(xiàn)象。熱現(xiàn)象是自然界中的一種普遍現(xiàn)象。熱學(xué)是研究熱現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué)。熱學(xué)研究的對象都是由大量分子組成的宏觀物體，稱為熱力學(xué)系統(tǒng)或簡稱系統(tǒng)。在不受外界影響的條件下，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不再隨時間變化的狀態(tài)稱為平衡態(tài)，否則就稱為非平衡態(tài)?？梢娤到y(tǒng)平衡態(tài)的改變依賴于外界影響(作功、傳熱)。系統(tǒng)處于平衡態(tài)，所有宏觀物理都具有確定的值，我們就可以選擇其中幾個物理量來描述平衡態(tài)，這幾個量稱為狀態(tài)參量。P、V、T就是氣體的狀態(tài)參量。氣體的體積V是指盛放氣體的容器的容積，國際單位制中，體積的單位是m。 1m=103L=10cm 氣體的壓強(qiáng)P是氣體作用在容器的單位面積器壁上的平均壓力，單位是p。 1atm=76cmHg=1.01310p 1mmHg=133.3p 1．1．2、 溫標(biāo) 溫度的數(shù)值表示法稱為溫標(biāo)。建立溫標(biāo)的三要素是： 1、選擇某種物質(zhì)的一個隨溫度改變發(fā)生單調(diào)顯著變化的屬性來標(biāo)志溫度，制作溫度計。例如液體溫度計T(V)、電阻溫度計T(R)、氣體溫度計T(P)、T(V)等等。這種選用某種測溫物質(zhì)的某一測溫屬性建立的溫標(biāo)稱為經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)。 2、規(guī)定固定點(diǎn)，即選定某一易于復(fù)現(xiàn)的特定平衡態(tài)指定其溫度值。1954年以前，規(guī)定冰點(diǎn)為0℃，汽點(diǎn)為100℃，其間等分100份，從而構(gòu)成舊攝氏溫標(biāo)。1954年以后，國際上選定水的三相點(diǎn)為基本固定點(diǎn)，溫度值規(guī)定為273.16K。這樣0℃與冰點(diǎn)，100℃與汽點(diǎn)不再嚴(yán)格相等，百分溫標(biāo)的概念已被廢棄。 3、規(guī)定測溫屬性隨溫度變化的函數(shù)關(guān)系。如果某種溫標(biāo)(例如氣體溫度計)選定為線性關(guān)系，由于不同物質(zhì)的同一屬性或者同一物質(zhì)的不同屬性隨溫度變化的函數(shù)關(guān)系不會相同，因而其它的溫標(biāo)就會出現(xiàn)非線性的函數(shù)關(guān)系。 1．1．3、理想氣體溫標(biāo) 定容氣體溫度計是利用其測溫泡內(nèi)氣體壓強(qiáng)的大小來標(biāo)志溫度的高低的。 T(P)=P 是比例系數(shù)，對水的三相點(diǎn)有 T=P=273.16K P是273.16K時定容測溫泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)。于是 T(P)=273.16K (1) 同樣，對于定壓氣體溫度計有 T(V)=273.16K (2) 是273.16K時定壓測溫泡內(nèi)氣體的體積。 用不同溫度計測量同一物體的溫度，除固定點(diǎn)外，其值并不相等。對于氣體溫度計也有。但是當(dāng)測溫泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)趨于零時，所有氣體溫度計，無論用什么氣體，無論是定容式的還是定壓式的，所測溫度值的差別消失而趨于一個共同的極限值，這個極限值就是理想氣體溫標(biāo)的值，單位為K，定義式為 T=T(V)=T(P) =273.16K=273.16K (3) 1．1．4、熱力學(xué)溫標(biāo) 理想氣體溫標(biāo)雖與氣體個性無關(guān)，但它依賴于氣體共性即理想氣體的性質(zhì)。利用氣體溫度計通過實(shí)驗(yàn)與外推相結(jié)合的方法可以實(shí)現(xiàn)理想氣體溫標(biāo)。但其測溫范圍有限(1K～1000℃)，T＜1K，氣體早都已液化，理想氣體溫標(biāo)也就失去意義。 國際上規(guī)定熱力學(xué)溫標(biāo)為基本溫標(biāo)，它完全不依賴于任何測溫物質(zhì)的性質(zhì)，能在整個測溫范圍內(nèi)采用，具有“絕對”的意義，有時稱它為絕對溫度。在理想氣體溫標(biāo)適用的范圍內(nèi)，熱力學(xué)溫標(biāo)與理想氣體溫標(biāo)是一致的，因而可以不去區(qū)分它們，統(tǒng)一用T(K)表示。 國際上還規(guī)定攝氏溫標(biāo)由熱力學(xué)溫標(biāo)導(dǎo)出。其關(guān)系式是： t=T-273.15 (4) 這樣，新攝氏溫標(biāo)也與測溫物質(zhì)性質(zhì)無關(guān)，能在整個測溫范圍內(nèi)使用。目前已達(dá)到的最低溫度為510K，但是絕對零度是不可能達(dá)到的。 例1、定義溫標(biāo)t與測溫參量X之間的關(guān)系式為t=ln(kX),k為常數(shù) 試求：(1)設(shè)X為定容稀薄氣體的壓強(qiáng)，并假定水的三相點(diǎn)，試確定t與熱力學(xué)溫標(biāo)之間的關(guān)系。(2)在溫標(biāo)t中，冰點(diǎn)和汽點(diǎn)各為多少度；(3)在溫標(biāo)t中，是否存在零度？ 解：(1)設(shè)在水三相點(diǎn)時，X之值是，則有273．16=In(kX)將K值代入溫標(biāo)t定義式，有 (2) 熱力學(xué)溫標(biāo)可采用理想氣體溫標(biāo)定義式，X是定容氣體溫度計測溫泡中稀薄氣體壓強(qiáng)。故有 (3) 因測溫物質(zhì)是定容稀薄氣體，故滿足X→0的要求，因而(2)式可寫成 (4) 這是溫標(biāo)與溫標(biāo)T之間關(guān)系式。 (2)在熱力學(xué)溫標(biāo)中，冰點(diǎn)，汽點(diǎn)。在溫標(biāo)中其值分別為 (3)在溫標(biāo)中是否存在零度？令=0，有 低于1K任何氣體都早已液化了，這種溫標(biāo)中=0的溫度是沒有物理意義的。 1-2 氣體實(shí)驗(yàn)定律 1．2．1、玻意耳定律 一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度保持不變時，它的壓強(qiáng)和體積的乘積是一個常數(shù)，式中常數(shù)C由氣體的種類、質(zhì)量和溫度決定。 PV 貯氣筒 b 圖 1-2-1 抽氣與打氣問題的討論。 簡單抽氣機(jī)的構(gòu)造由圖1-2-1示意，它由一個活塞和兩個閥門組成。當(dāng)活塞向上提升時，a閥門打開，貯氣筒與抽氣機(jī)相通，氣體膨脹減壓，此時b閥門被關(guān)閉。當(dāng)活塞向下壓縮時，b閥門打開，a閥門關(guān)閉，抽氣機(jī)內(nèi)的氣體被壓出抽氣機(jī)，完成一次抽氣。貯氣筒被抽氣的過程，貯氣筒內(nèi)氣體質(zhì)量不斷在減小，氣體壓強(qiáng)也不斷減小。設(shè)第一次抽氣后貯氣筒內(nèi)氣壓，第n次抽氣后貯氣筒內(nèi)氣壓，則有： 整理得 PV 貯氣筒 b 圖1-2-2 簡單壓氣機(jī)與抽氣機(jī)的結(jié)構(gòu)相似，但作用相反。圖1-2-2示意，當(dāng)活 塞上提時，a閥門打開，b閥門關(guān)閉，外界空氣進(jìn)入壓氣機(jī)中，活塞下壓時，壓氣機(jī)內(nèi)空氣被壓入貯氣筒，而此時閥門a是關(guān)閉的，這就完成了一次壓氣過程。每次壓氣機(jī)壓入貯氣筒的氣體是 ，故 1．2．2、蓋—呂薩克定律 一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)壓強(qiáng)保持不變時，溫度每升高1℃，其體積的增加量等于0℃時體積的。若用表示0℃時氣體的體積，V表示t℃的體積，則。若采用熱力學(xué)溫標(biāo)，則273+t為攝氏溫度t℃。所對應(yīng)的熱力學(xué)溫度T，273為0℃所對應(yīng)的熱力學(xué)溫度。于是，蓋—呂薩克定律可寫成。若溫度為T時，體積為；溫度為時，體積為，則有 或。 故蓋—呂薩克定律也可表達(dá)為：一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)壓強(qiáng)保持不變時，它的體積與熱力學(xué)溫標(biāo)成正比。 1．2．3、查理定律 一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)體積保持不變時，它的壓強(qiáng)與熱力學(xué)溫度成正比 式中常數(shù)C由氣體的種類、質(zhì)量和體積決定。 汞柱移動問題的討論： 一根兩端封閉、粗細(xì)均勻的石英管，豎直放置。內(nèi)有一段水銀柱，將管隔成上下兩部分。下方為空氣，上方為一種可分解的雙原子分子氣體。該雙原子分子氣體的性質(zhì)為：當(dāng)＞時，其分子開始分解為單原子分子(仍為氣體)。用表示時的雙原子分子數(shù)，表示時分解了的雙原子分子數(shù)，其分解規(guī)律為當(dāng)△T很小時，有如下關(guān)系：。已知初始溫度為，此時下方的氣柱長度為，上方氣柱長度為，水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)為下方氣壓的倍。試討論當(dāng)溫度由開始緩慢上升時，水銀柱將上升還是下降。 假設(shè)水銀柱不動。當(dāng)溫度為時，下方氣體壓強(qiáng)為，溫度升至，氣體壓強(qiáng)。水銀柱壓強(qiáng)為，故當(dāng)T=時，上方氣體壓強(qiáng)為，當(dāng)溫度升至，有個雙原子氣體分子分解為個單原子氣體分子，故氣體分子數(shù)由增至個。令此時壓強(qiáng)為，管橫截面積為S，則有： 解得 ， 因△T很小，故項(xiàng)起主導(dǎo)作用，而項(xiàng)的影響較之第一項(xiàng)要小得多，故從分析如下：①當(dāng)＞時，＜0時，水銀柱上升，②當(dāng)＜時，＞0水銀柱下降。③當(dāng)=時，＞0水銀柱下降。 以上三個實(shí)驗(yàn)定律只能反映實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)的客觀事實(shí)，它們都具有一定的近似性和局限性。對于一般的氣體，只有當(dāng)壓強(qiáng)不太大，溫度不太低時，用三個定律求出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)才符合得很好。如果壓強(qiáng)很大或溫度很低時，用這三個定律求出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果就會有很大的偏差。 1．2．4、理想氣體 它是能夠準(zhǔn)確遵守氣體實(shí)驗(yàn)定律的一個氣體的理論模型。 對查理得律，設(shè)P和分別表示和時氣體壓強(qiáng)，則有 ， 對蓋—呂薩拉定律，設(shè)和分別表示和時氣體的體積，則有 ， Po Lo 圖1-2-3 n0 對理想氣體，有 例1、一個質(zhì)量m=200.0kg、長=2.00m的薄底大金屬桶倒扣在寬曠的水池底部(圖1-2-3)桶內(nèi)的橫截面積(桶的容積為)，桶本身(桶壁與桶底)的體積，桶內(nèi)封有高度的空氣，池深，大氣壓強(qiáng)水柱高，水的密度，重力加速度g取。若用圖中所示吊繩將桶上提，使桶底能到達(dá)水面處，則繩拉力所需做的功有一最小值，試求從開始到繩拉力剛完成此功的過程中，桶和水(包括池水和桶內(nèi)水)的機(jī)械能改變了多少(結(jié)果要保留三位有效數(shù)字)。不計水阻力，設(shè)水溫很低，不計其飽和蒸氣壓的影響，并設(shè)水溫上下均勻且保持不變。 解：在上提過程中，桶內(nèi)空氣壓強(qiáng)減小，體積將增大，從而對桶和桶內(nèi)空氣(空氣質(zhì)量不計)這一整體的浮力將增大。本題若存在桶所受浮力等于重力的位置，則此位置是桶的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，再稍上提，浮力將大于重力，桶就會上浮。從這時起，繩不必再拉桶，桶會在浮力作用下，上浮到桶底到達(dá)水面并冒出。因此繩對桶的拉力所需做的最小功的過程，就是緩慢地將桶由池底提高到浮力等于重力的位置所歷的過程。 H L` 圖1-2-4 下面先看這一位置是否存在。如果存在的話，如圖1-2-4所示，設(shè)在此位置時桶內(nèi)空氣的高度為，因浮力等于重力，應(yīng)有 (1) 代入已知數(shù)據(jù)可得 (2) 設(shè)此時桶的下邊緣距池底的高度H，由?！R定律可知 (3) 由(2)、(3)式得到 H=12.24m (4) 因?yàn)镠＜，即整個桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力的位置。 現(xiàn)在要求將桶由池底緩慢地提高到H處桶及水的機(jī)械能的增量△E。△E包括三部分：(1)桶勢能的增量；(2)在H高時桶本身排開的水可看作下降去填充在池底時桶本身所占空間而引起水勢能的增量；(3)在H高度時桶內(nèi)空氣所排開的水，可看作一部分下降去填充在池底時空氣所占的空間，由于空氣膨脹的那部分上升到水池表面，由此引起水勢的增量。則 ； ； 。 1-3 理想氣體狀態(tài)方程 1．3．1、理想氣體狀態(tài)方程 反映氣體在平衡態(tài)下狀態(tài)參量之間規(guī)律性聯(lián)系的關(guān)系式稱為氣態(tài)方程。我們知道，理想氣體狀態(tài)方程可在氣體實(shí)驗(yàn)定律的基礎(chǔ)上得到，一定質(zhì)量的理想氣體的兩平衡參量之間的關(guān)系式為 （5） 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，，1mol任何氣體的體積m3mol-1。 因此vmol氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的體積為，由(5)式可以得出： 由此得到理想氣體狀態(tài)方程或稱克拉珀龍方程： 式中R稱為摩爾氣體恒量，它表示1mol氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀況的的值，其值為 推論：1、1mol的任何物質(zhì)含有的粒子數(shù)，這稱為阿伏伽德羅常數(shù)。設(shè)質(zhì)量為m、摩爾質(zhì)量為M的氣體，其分子數(shù)為N，則此氣體的摩爾數(shù)為 (6) 同時引用玻耳茲曼常數(shù) k的物理意義：1個分子在標(biāo)況下的。 將(6)式代入(5)式，可以得到 (7) 或者 (8) 2、氣體密度：由(5)式可以得到 (9) 例如空氣的平均摩爾質(zhì)量，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣密度為 由(5)式可知，對于理想氣體，可應(yīng)用氣態(tài)方程的另一形式，為 (10) 3、氣體的分合關(guān)系：無論是同種還是異種理想氣體，將質(zhì)量為m，狀態(tài)為PVT的理想氣體被分成若干部分()時，則有 (11) 1．3．2、混合理想氣體狀態(tài)方程 1、道爾頓分壓定律指出：混合氣體的壓強(qiáng)等于各組分的分壓強(qiáng)之和。這條實(shí)驗(yàn)定律也只適用于理想氣體。即 (12) 其中每一部分的氣態(tài)方程為 (13) 混合理想體氣狀態(tài)方程與單一成分的理想氣體狀態(tài)方程形式相同，但M為平均摩爾質(zhì)量。 (14) 由于混合氣體的摩爾數(shù)應(yīng)是各組分的摩爾數(shù)之和。因此混合氣體的平均摩爾質(zhì)量M有 (15) 由(1-20)式和(1-19)式可得混合氣體的分壓強(qiáng)： (16) 1．3．3、混合氣體的狀態(tài)方程 如果有n種理想氣體，分開時的狀態(tài)分別為(、、)，(、、)，…，(、、)，將它們混合起來后的狀態(tài)為P、V、T，那么，有 如果是兩部分氣體混合后再分成的部分，則有 例1、一根一端封閉的玻璃管長96cm，內(nèi)有一段20cm的水銀柱。當(dāng)溫度為27C且開口端向上時，被封閉的氣柱長60cm。試問溫度至少為多少度，水銀柱才可從管中全部溢出。 解：設(shè)氣體溫度為T時，管內(nèi)的水銀柱高度為x，x＜20cm，大氣壓強(qiáng)。 (1) 得到 (2) 其中P以cmHg為單位，長度以cm為單位。 要求x有實(shí)數(shù)解的條件 400+4(7696-)≥0 可見≤，≥時，管內(nèi)氣體可以形成平衡狀態(tài)。反之，T＞因而x＜時，管內(nèi)氣體壓強(qiáng)總是(76+x)cmHg，(1)式不再成立，平衡態(tài)無法建立而導(dǎo)致非平衡狀態(tài)，水銀柱將全部溢出。 例2、設(shè)在恒溫0℃下，測得三甲胺的密度隨壓強(qiáng)變化的數(shù)據(jù)如下表所示，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)要求三甲胺的摩爾質(zhì)量。 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5336 1.0790 1.6363 2.2054 解：為了準(zhǔn)確測定氣體的摩爾質(zhì)量，必須把實(shí)際氣體的壓強(qiáng)外推到零(P→0)時應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程，即由(1-15)式有 (1) 為了求出P→0時()的極限值，可將上述數(shù)據(jù)作如下變換： 0.2 0.4 0.6 0.8 2.6680 2.6975 2.7272 2.7568 現(xiàn)以為縱坐標(biāo)，P為橫作標(biāo)，作出-P圖形(圖1-3-1)，將圖中曲線外推到P→0得到 2.75 2.70 2.65 2.60 0.8 0.6 0.4 0.2 0 P(atm) 圖1-3-1 將上述結(jié)果代入(1)式可得 即三甲胺的分子量為59.14。 1.4 氣體分子運(yùn)動論 1. 4.1、 分子運(yùn)動論的基本點(diǎn) 1、宏觀物體由大量分子組成。分子直徑的數(shù)量級一般為，分子質(zhì)量為。在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氣體分子的數(shù)密度為 2、物體內(nèi)的分子永不停息地作無規(guī)則運(yùn)動。這是根據(jù)布朗運(yùn)動和擴(kuò)散現(xiàn)象得出的結(jié)論。實(shí)驗(yàn)表明擴(kuò)散的快慢和布朗運(yùn)動的激烈程度與溫度的高低有明顯的關(guān)系。由此常把大量子的無規(guī)則運(yùn)動稱為熱運(yùn)動，熱運(yùn)動是物質(zhì)運(yùn)動的一種基本形式，熱現(xiàn)象是它的宏觀表現(xiàn)。氣體分子熱運(yùn)動的平均速率與溫度的關(guān)系為 常溫下， 。 3、分子之間存在的相互作用力。分子之間同時存在引力和斥力，它們都隨距離的增大而減小。其合力具體表現(xiàn)為相吸引還是相排斥，取決于分子間的距離。當(dāng)時，合力為零，分子間的距離的位置稱為平衡位置；當(dāng)r＞時，分子力表現(xiàn)引力；當(dāng)r＜時，分子力表現(xiàn)為斥力；當(dāng)r＞時，分子力可忽略不計。分子力是保守力，存在著由分子和分子間相對位置所決定的勢能稱為分子力勢能。 分子力和熱運(yùn)動是決定物體宏觀性質(zhì)的基本因素。分子力作用傾向于使分子聚集一起，在空間形成某種有序排列；熱運(yùn)動卻力圖造成混亂存在向外擴(kuò)散的趨勢。 1．4．2、理想氣體的微觀模型 先來作個估算：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，1mol氣體體積，分子數(shù)，若分子直徑，則分子間的平均間距，相鄰分子間的平均間距與分子直徑相比。 由此可知，氣體分子間的距離比較大，在處理某些問題時，可以把氣體分子視為沒有大小的質(zhì)點(diǎn)；同時可以認(rèn)為氣體分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽略不計，分子在空間自由移動，也沒有分子勢能。因此理想氣體是指分子間沒有相互作用和分子可以看作質(zhì)點(diǎn)的氣體。這一微觀模型與氣體愈稀薄愈接近于理想氣體的宏觀概念是一致的。 1．4．3、理想氣體的壓強(qiáng) 宏觀上測量的氣體施給容器壁的壓強(qiáng)，是大量氣體分子對器壁不斷碰撞的結(jié)果。在通常情況下，氣體每秒碰撞的器壁的分子數(shù)可達(dá)。在數(shù)值上，氣體的壓強(qiáng)等于單位時間內(nèi)大量分子施給單位面積器壁的平均沖量。 其表達(dá)式為 式中n是分子數(shù)密度，是分子的平均平動動能，n和增大，意味著單位時間內(nèi)碰撞單位面積器壁的分子數(shù)增多，分子碰撞器壁一次給予器壁的平均沖量增大，因而氣體的壓強(qiáng)增加。 1．4．4、溫度的微觀意義 將式代入式后，可以得到氣體分子的平均平動動能為 這被稱為氣體溫度公式，溫度升高，分子熱運(yùn)動的平均平動動能增大，分子熱運(yùn)動加劇。因此，氣體的溫度是氣體分子平均平動能的標(biāo)志，是分子熱運(yùn)動劇烈程度的量度。 圖1-4-1 例1、質(zhì)量為的圓筒水平地放置在真空中。質(zhì)量、厚度可忽略的活塞將圓筒分為體積相同的兩部分(圖1-4-1)，圓筒的封閉部分充有n摩爾的單原子理想氣體，氣體的摩爾質(zhì)量為M，溫度為，突然放開活塞，氣體逸出。試問圓筒的最后速度是多少？設(shè)摩擦力、圓筒和活塞的熱交換以及氣體重心的運(yùn)動均忽略不計。(，，，氦的摩爾質(zhì)量為，，) 解：過程的第一階段是絕熱膨脹，膨脹到兩倍體積后(圖1-4-2)溫度將是T。根據(jù)絕熱方程，有 因此： 圓筒和活塞的總動能等于氣體內(nèi)能的損失，即 根據(jù)動量守恒定律， 解上述方程，得過程第一階段結(jié)束時的圓筒速度： 。 m1 m2 圖1-4-2 由此得出結(jié)論，在過程第一階段的最后瞬間，圓筒以速度向右運(yùn)動，此時活塞正好從圓筒沖出。 我們把坐標(biāo)系設(shè)置在圓筒上。所給的是一個在真空中開口的圓筒，筒內(nèi)貯有質(zhì)量為、溫度為T的氣體。顯然，氣體將向左上方流動，并推動圓筒向右以速度運(yùn)動。氣體分子的動能由下式給出： 式中是分子的平均速度[注：指均方根速率]，它由下述關(guān)系給定： 平衡狀態(tài)下各有1/6的分子在坐標(biāo)軸方向來回運(yùn)動。在計算氣體逸出時，假定有1/6的分子向圓筒的底部運(yùn)動。這自然只是一級近似。因此，的質(zhì)量以速度向圓筒底部運(yùn)動，并與筒底彈性碰撞，之后圓筒以速度、氣體以速度運(yùn)動。對于彈性碰撞，動量守恒定律和機(jī)械守恒定律成立。由動量守恒有 由機(jī)械能守恒有 解以上方程組，得到氣體逸出后的圓筒速度為 氣體分子的1/6以速度反彈回來，的絕對值要小于。 氣體必然有較低的溫度，其一部分內(nèi)能使圓筒的動能增加。速度相加后得圓筒速度為。代入所給的數(shù)據(jù)： ;;; ;;. 得圓筒的最后速度為 1.5 理想氣體的內(nèi)能 1．5．1、物體的內(nèi)能 (1)自由度：即確定一個物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)系數(shù)，如自由運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，需要用三個獨(dú)立坐標(biāo)來描述其運(yùn)動，故它有三個自由度。 分子可以有不同的組成。如一個分子僅由一個原子組成，稱為單原子(例：He等)，顯然它在空間運(yùn)動時具有三個平動自由度。 如一個分子由兩個原子組成，稱為雙原子(例：等)，雙原子分子內(nèi)的兩個原子由一個鍵所連接，確定兩個原子共同質(zhì)心的位置，需三個自由度，確定連鍵的位置，需兩個自由度，即雙原子分子共有五個自由度。而對三原子分子(例：等)，除了具有三個平動自由度、兩個轉(zhuǎn)動自由度外，還有一個振動自由度，即共計有六個自由度。 (2)物體中所有分子熱運(yùn)動的動能和分子勢能的總和稱為物體的內(nèi)能。由于分子熱運(yùn)動的平均動能跟溫度有關(guān)，分子勢能跟體積有關(guān)。因此物體的內(nèi)能是溫度和體積的函數(shù)。 理想氣體的分子之間沒有相互作用，不存在分子勢能。因此理想氣體的內(nèi)能是氣體所有分子熱運(yùn)動動能的總和，它只跟氣體的分子數(shù)和溫度有關(guān)，與體積無關(guān)。 1．5．2、理想氣體的內(nèi)能 通常，分子的無規(guī)則運(yùn)動表現(xiàn)為分子的平動和轉(zhuǎn)動等形式。對于單原子分子(如He等)的理想氣體來說，分子只有平動動能，其內(nèi)能應(yīng)是分子數(shù)與分子平均平動動能的乘積，即。對于雙原子分子(如、)的理想氣體來說，在常溫下，分子運(yùn)動除平動外還可以有轉(zhuǎn)動，分子的平均動能為，其內(nèi)能，因此，理想氣體的內(nèi)能可以表達(dá)為 注意：，；對于原單原子分子氣體，對于雙原子分子氣體。 一定質(zhì)量的理想氣體的內(nèi)能改變量： 此式適用于一定質(zhì)量理想氣體的各種過程。不論過程如何，一定質(zhì)量理想氣體的內(nèi)能變不變就看它的溫度變不變。式中，表示1mol的理想氣體溫度升高或降低1K所增加或減少的內(nèi)能。是可以變成 1．5．3、物體的勢能 由于分子間存在相互作用而具有的能量叫做分子勢能。當(dāng)分子間距離(為分子力為零的位置)時，分子力是引力 圖1-5-1 ，隨著分子間距離r的增大，分子勢能減小，故處，分子勢能最小。而在時，由于分子間的作用力可略，故分子勢能變?yōu)榱?，如以無窮遠(yuǎn)處為勢能的零點(diǎn)，定性的分子勢能曲線可用圖1-5-1表示 1．5．4、重力場中粒子按高度的分布 在重力場中，氣體分子受到兩種相互對立的作用。無規(guī)則的熱運(yùn)動將使氣體分子均勻分布于它們所能到達(dá)的空間，而重力則要使氣體分子聚攏在地面上，當(dāng)這兩種作用達(dá)到平衡時，氣體分子在空間非均勻分布，分子數(shù)隨高度減小。根據(jù)玻爾茲曼分布律，可以確定氣體分子在重力場中按高度分布的規(guī)律： 是h=0處單位體積內(nèi)的分子數(shù)，n是高度為h處單位體積內(nèi)的分子數(shù)，n隨高度h的增加按指數(shù)減小，分子的質(zhì)量m越大，重力的作用越顯著，n的減小就越迅速，氣體的溫度越高，分子的無規(guī)則運(yùn)動越劇烈，n的減小越緩慢。 式中表示h=0處的壓強(qiáng)，M為氣體的摩爾質(zhì)量，上式稱為氣壓公式 因此測定大氣壓強(qiáng)隨高度而減小的量值，即可確定上升的高度。該式不但適用于地面的大氣，還適用于浮懸在液體中的膠體微粒按高度的分布。 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 圖1-5-2 例1、橫截面積為S和αS(α＞1)，長度相同的兩圓柱形“對接”的容器內(nèi)盛有理想氣體，每個圓筒中間位置有一個用硬桿想連的活塞，如圖1-5-2所示。這時艙Ⅰ內(nèi)氣體壓強(qiáng)為，艙Ⅲ內(nèi)氣體壓強(qiáng)為，活塞處于平衡，整個系統(tǒng)吸收熱量Q，溫度上升，使各艙溫度相同。試求艙Ⅰ內(nèi)壓強(qiáng)的變化。1mol氣體內(nèi)能為CT(C是氣體摩爾熱容量)，圓筒和活塞的熱容量很小，摩擦不計。 解：設(shè)、、分別為第i個艙內(nèi)氣體的體積、壓強(qiáng)的摩爾數(shù)。容器內(nèi)氣體總摩爾數(shù)，因?yàn)楦髋摐囟冉詾門，利用克拉珀龍方程得 ① 取得中打斜線的活塞與硬桿為研究對象，由平衡條件得 ② 而由題意 ③ 及 、、 得 ④ 系統(tǒng)吸收熱量后，假設(shè)活塞不移動，顯然Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ艙氣體都作等容升溫變化，因題中明確三艙升高的溫度相同，因而由 可知三艙氣體的壓強(qiáng)都增加相同的倍數(shù)，即方程②仍然滿足，這說明升溫過程中活塞確實(shí)不移動，即方程④也仍然成立。 因 結(jié)合④式易得Ⅰ艙內(nèi)氣體壓強(qiáng)的變化 。 說明利用②式和③式可得 顯然只有當(dāng)＞1時才有意義。因?yàn)閴簭?qiáng)必須為正值。