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1、
提分專練(四) 二次函數(shù)小綜合
|類型1| 二次函數(shù)與方程(不等式)的綜合
1.已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2+3(m是常數(shù)).
(1)求證:不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點;
(2)把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個單位長度后,得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點?
|類型2| 二次函數(shù)與直線的綜合
2.[2018·北京] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A,將點B向右平移5個單位長度,得到點C.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)求拋物線的對稱軸
2、;
(3)若拋物線與線段BC恰有一個公共點,結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.
|類型3| 二次函數(shù)與三角形的綜合
3.[2018·黃岡] 已知直線l:y=kx+1與拋物線y=x2-4x.
(1)求證:直線l與該拋物線總有兩個交點;
(2)設(shè)直線l與該拋物線的兩交點為A,B,O為原點,當(dāng)k=-2時,求△OAB的面積.
4.[2017·齊齊哈爾] 如圖T4-1,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A(-1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C,連接BC交拋物線的對稱軸于點E,D是拋物線的頂點.
(1)求此拋物線的解析
3、式;
(2)直接寫出點C和點D的坐標(biāo);
(3)若點P在第一象限內(nèi)的拋物線上,且S△ABP=4S△COE,求P點坐標(biāo).
注:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點坐標(biāo)為-,.
圖T4-1
|類型4| 二次函數(shù)與平行四邊形的綜合
5.如圖T4-2,已知點A的坐標(biāo)為(-2,0),直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B和點C,連接AC,頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A,B,C三點.
(1)請直接寫出B,C兩點的坐標(biāo),拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E,P為第一象限內(nèi)拋物線上一點,過點P作x軸的
4、垂線,交線段BC于點F,若四邊形DEFP為平行四邊形,求點P的坐標(biāo).
圖T4-2
|類型5| 二次函數(shù)與相似三角形的綜合
6.在直角坐標(biāo)系xOy中,A(0,2),B(-1,0),將△ABO經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、平移等變化后得到如圖T4-3所示的△BCD.
(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的解析式;
(2)連接AC,點P是位于線段BC上方的拋物線上一動點,若直線PC將△ABC的面積分成1∶3兩部分,求此時點P的坐標(biāo).
圖T4-3
參考答案
1.解:(1)證明:證法一:∵(
5、-2m)2-4(m2+3)=-12<0,
∴方程x2-2mx+m2+3=0沒有實數(shù)根.
∴不論m為何值,函數(shù)y=x2-2mx+m2+3的圖象與x軸沒有公共點.
證法二:∵a=1>0,∴該函數(shù)的圖象開口向上.
又∵y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3,
∴該函數(shù)的圖象在x軸的上方.
∴不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點.
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
把函數(shù)y=(x-m)2+3的圖象沿y軸向下平移3個單位長度后,得到函數(shù)y=(x-m)2的圖象,它的頂點坐標(biāo)是(m,0),因此這個函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點.
∴把該函數(shù)的圖象沿y軸向
6、下平移3個單位長度后,得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點.
2.解:(1)∵直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,
∴A(-1,0),B(0,4).
∵將點B向右平移5個單位長度,得到點C,
∴C(0+5,4),即C(5,4).
(2)∵拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A,
∴a-b-3a=0.∴b=-2a.
∴拋物線的對稱軸為直線x=-=-=1,即對稱軸為直線x=1.
(3)易知拋物線過點(-1,0),(3,0).
①若a>0,如圖所示,易知拋物線過點(5,12a),若拋物線與線段BC恰有一個公共點,滿足12a≥4即可,可知a的取值范圍是a≥.
②若a<0
7、,如圖所示,易知拋物線與y軸交于(0,-3a),要使該拋物線與線段BC只有一個公共點,就必須-3a>4,此時a<-.
③若拋物線的頂點在線段BC上,此時頂點坐標(biāo)為(1,4),從而解析式為y=a(x-1)2+4,將A(-1,0)代入,解得a=-1,如圖所示:
綜上,a的取值范圍是a≥或a<-或a=-1.
3.解:(1)證明:聯(lián)立兩個函數(shù),得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以該一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,即直線l與拋物線總有兩個交點.
(2)如圖,連接AO,BO,聯(lián)立兩個函數(shù),得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-,x2=
8、1+.設(shè)直線l與y軸交于點C,在一次函數(shù)y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.
所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=·OC·|xA|+·OC·|xB|=·OC·|xA-xB|=×1×2=.
4.解:(1)∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A(-1,0)和點B(3,0),
∴解得
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.
(2)∵x=0時,y=3,∴點C的坐標(biāo)為(0,3).
∵y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,
∴點D的坐標(biāo)為(1,4).
(3)設(shè)點P(x,y),其中x>0,y>0,
∵S△COE=×3
9、×1=,S△ABP=×4y=2y,
S△ABP=4S△COE,
∴2y=4×,∴y=3.
∴-x2+2x+3=3,
解得x=2(x=0舍去).
∴點P的坐標(biāo)為(2,3).
5.解:(1)B(4,0),C(0,3).
拋物線的解析式為y=-x2+x+3.
頂點D的坐標(biāo)為1,.
(2)把x=1代入y=-x+3,得y=,
∴DE=-=.
∵點P為第一象限內(nèi)拋物線上一點,∴可設(shè)點P的坐標(biāo)為m,-m2+m+3,
則點F的坐標(biāo)為m,-m+3.
若四邊形DEFP為平行四邊形,則PF=DE,
∴-m2+m+3--m+3=,
解得m1=3,m2=1(不合題意,舍去).
∴當(dāng)點P的
10、坐標(biāo)為3,時,四邊形DEFP為平行四邊形.
6.解:(1)∵A(0,2),B(-1,0),
將△ABO經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、平移等變化得到△BCD,
∴BD=OA=2,CD=OB=1,∠BDC=∠AOB=90°.
∴C(1,1).
設(shè)經(jīng)過A,B,C三點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c,
則有解得:a=-,b=,c=2.
∴拋物線解析式為y=-x2+x+2.
(2)如圖所示,設(shè)直線PC與AB交于點E.
∵直線PC將△ABC的面積分成1∶3兩部分,
∴=或=3,
過E作EF⊥OB于點F,則EF∥OA.
∴△BEF∽△BAO,∴==.
∴當(dāng)=時,==,
∴EF=,BF=,∴E-,.
設(shè)直線PC的解析式為y=mx+n,則可求得其解析式為y=-x+,
∴-x2+x+2=-x+,
∴x1=-,x2=1(舍去),∴P1-,.
當(dāng)=3時,同理可得P2-,.
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