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用列舉法求概率 1 第二十五章概率初步 復(fù)習(xí)回顧 一般地 如果在一次試驗中 有n種可能的結(jié)果 并且它們發(fā)生的可能性都相等 事件A包含在其中的m種結(jié)果 那么事件A發(fā)生的概率為 求概率的步驟 1 列舉出一次試驗中的所有結(jié)果 n個 2 找出其中事件A發(fā)生的結(jié)果 m個 3 運(yùn)用公式求事件A的概率 解 在甲袋中 P 取出黑球 在乙袋中 P 取出黑球 所以 選乙袋成功的機(jī)會大 20紅 8黑 甲袋 20紅 15黑 10白 乙袋 球除了顏色以外沒有任何區(qū)別 兩袋中的球都攪勻 蒙上眼睛從口袋中取一只球 如果你想取出1只黑球 你選哪個口袋成功的機(jī)會大呢 小佳在游戲開始時 踩中后出現(xiàn)如圖所示的情況 我們把與標(biāo)號3的方格相臨的方格記為A區(qū)域 畫線部分 A區(qū)域外的部分記為B區(qū)域 數(shù)字3表示A區(qū)域有3顆地雷 那么第二步應(yīng)踩在A區(qū)域還是B區(qū)域 A區(qū)域 如圖是 掃雷 游戲 在9 9個正方形雷區(qū)中 隨機(jī)埋藏著10顆地雷 每個方格最多只能藏一顆地雷 B區(qū)域 引例 擲兩枚硬幣 求下列事件的概率 1 兩枚硬幣全部正面朝上 2 兩枚硬幣全部反面朝上 3 一枚硬幣正面朝上 一枚硬幣反面朝上 擲兩枚硬幣 共有幾種結(jié)果 正正 正反 反正 反反 為了不重不漏地列出所有這些結(jié)果 你有什么好辦法么 擲兩枚硬幣 不妨設(shè)其中一枚為A 另一枚為B 用列表法列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果 B A 還能用其它方法列舉所有結(jié)果嗎 正 反 正 反 正正 正反 反正 反反 反 正 第一枚 第二枚 反 正 反 正 共4種可能的結(jié)果 此圖類似于樹的形狀 所以稱為 樹形圖 例1 如圖 甲轉(zhuǎn)盤的三個等分區(qū)域分別寫有數(shù)字1 2 3 乙轉(zhuǎn)盤的四個等分區(qū)域分別寫有數(shù)字4 5 6 7 現(xiàn)分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤 求指針?biāo)笖?shù)字之和為偶數(shù)的概率 解 甲 1 4 1 5 1 6 1 7 2 4 2 5 2 6 2 7 3 4 3 5 3 6 3 7 乙 共有12種不同結(jié)果 每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同 其中數(shù)字和為偶數(shù)的有6種 P 數(shù)字和為偶數(shù) 歸納 列表法 的意義 當(dāng)試驗涉及兩個因素 例如兩個轉(zhuǎn)盤 并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時 為不重不漏地列出所有的結(jié)果 通常采用 列表法 上題可以用畫 樹形圖 的方法列舉所有可能的結(jié)果么 探究 3 1 甲轉(zhuǎn)盤 乙轉(zhuǎn)盤 4 共12種可能的結(jié)果 與 列表 法對比 結(jié)果怎么樣 甲轉(zhuǎn)盤指針?biāo)傅臄?shù)字可能是1 2 3 乙轉(zhuǎn)盤指針?biāo)傅臄?shù)字可能是4 5 6 7 2 5 6 7 4 5 6 7 4 5 6 7 求指針?biāo)笖?shù)字之和為偶數(shù)的概率 例2 同時擲兩個質(zhì)地相同的骰子 計算下列事件的概率 1 兩個骰子的點數(shù)相同 2 兩個骰子的點數(shù)和是9 3 至少有個骰子的點數(shù)是2 解 二 一 此題用列樹圖的方法好嗎 P 點數(shù)相同 P 點數(shù)和是9 P 至少有個骰子的點數(shù)是2 思考 同時擲兩個質(zhì)地相同的骰子 與 把一個骰子擲兩次 所得到的結(jié)果有變化嗎 同時擲兩個質(zhì)地相同的骰子 兩個骰子各出現(xiàn)的點數(shù)為1 6點 把一個骰子擲兩次 兩次骰子各出現(xiàn)的點數(shù)仍為1 6點 歸納 兩個相同的隨機(jī)事件同時發(fā)生 與 一個隨機(jī)事件先后兩次發(fā)生 的結(jié)果是一樣的 隨機(jī)事件 同時 與 先后 的關(guān)系 1 一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物 假定螞蟻在每個岔口都會隨機(jī)地選擇一條路徑 它獲得食物的概率是多少 練習(xí) 2 用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤進(jìn)行 配紫色 紅與藍(lán) 游戲 請你采用 樹形圖 法計算配得紫色的概率 3 每個轉(zhuǎn)盤分成相等的兩個扇形 甲 乙兩人利用它們做游戲 同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤 如果兩個指針?biāo)^(qū)域的顏色相同則甲獲勝 如果兩個指針?biāo)^(qū)域的顏色不同則乙獲勝 你認(rèn)為這個游戲公平嗎 5 一個袋子中裝有2個紅球和2個綠球 任意摸出一個球 記錄顏色后放回 再任意摸出一個球 請你計算兩次都摸到紅球的概率 若第一次摸出一球后 不放回 結(jié)果又會怎樣 放回 與 不放回 的區(qū)別 1 放回 可以看作兩次相同的試驗 2 不放回 則看作兩次不同的試驗 4 一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球 從中摸出2個球 摸出兩個黑球的概率是多少 解 設(shè)三個黑球分別為 黑1 黑2 黑3 則 第一個球 第二個球 P 摸出兩個黑球 4 在盒子中有三張卡片 隨機(jī)抽取兩張 可能拼出菱形 兩張三角形 也可能拼出房子 一張三角形和一張正方形 游戲規(guī)則是 若拼成菱形 甲勝 若拼成房子 乙勝 你認(rèn)為這個游戲公平嗎 7 甲 乙兩人各擲一枚質(zhì)量分布均勻的正方體骰子 如果點數(shù)之積為奇數(shù) 那么甲得1分 如果點數(shù)之積為偶數(shù) 那么乙得1分 連續(xù)投10次 誰得分高 誰就獲勝 1 請你想一想 誰獲勝的機(jī)會大 并說明理由 2 你認(rèn)為游戲公平嗎 如果不公平 請你設(shè)計一個公平的游戲 列出所有可能的結(jié)果 小結(jié) 1 列表法 的意義 3 隨機(jī)事件 同時 與 先后 的關(guān)系 放回 與 不放回 的關(guān)系 2 利用樹圖列舉所有結(jié)果的方法 1 在6張卡片上分別寫有1 6的整數(shù) 隨機(jī)地抽取一張后放回 再隨機(jī)地抽取一張 那么第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的概率是多少 二 一 解 列出所有可能的結(jié)果 P 第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字 2 有兩把不同的鎖和三把鑰匙 其中兩把鑰匙恰好能分別打開這兩把鎖 第三把鑰匙不能打開這兩把鎖 任意取一把鑰匙去開任意一把鎖 一次打開鎖的概率是多少 解 設(shè)有A B兩把鎖和a b c三把鑰匙 其中鑰匙a b分別可以打開鎖A B 列出所有可能的結(jié)果如下 P 一次打開鎖 3 一次聯(lián)歡晚會上 規(guī)定每個同學(xué)同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤 每個轉(zhuǎn)盤被分成二等分和三等分 若停止后指針?biāo)傅臄?shù)字之和為奇數(shù) 則這個同學(xué)要表演唱歌節(jié)目 若數(shù)字之和為偶數(shù) 則要表演其他節(jié)目 試求這個同學(xué)表演唱歌節(jié)目的概率 你有幾種方法 4 某班要派出一對男女混合雙打選手參加學(xué)校的乒乓球比賽 準(zhǔn)備在小娟 小敏 小華三名女選手和小明 小強(qiáng)兩名男選手中選男 女選手各一名組成一對參賽 一共能夠組成哪幾對 采用隨機(jī)抽簽的辦法 恰好選出小敏和小強(qiáng)參賽的概率是多少 4 有甲 乙兩把不同的鎖 各配有2把鑰匙 求從這4把鑰匙中任取2把 能打開甲 乙兩鎖的概率 解 設(shè)有A1 A2 B1 B2四把鑰匙 其中鑰匙A1 A2可以打開鎖甲 B1 B2可以打開鎖乙 列出所有可能的結(jié)果如下 P 能打開甲 乙兩鎖 鑰匙1 鑰匙2