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第二十五周 最大最小問(wèn)題 專題簡(jiǎn)析： 人們碰到的各種優(yōu)化問(wèn)題、高效低耗問(wèn)題，最終都表現(xiàn)為數(shù)學(xué)上的極值問(wèn)題，即小學(xué)階段的最大最小問(wèn)題。最大最小問(wèn)題設(shè)計(jì)到的知識(shí)多，靈活性強(qiáng)，解題時(shí)要善于綜合運(yùn)用所學(xué)的各種知識(shí)。 例1： a和b是小于100的兩個(gè)不同的自然數(shù)，求的最大值。 根據(jù)題意，應(yīng)使分子盡可能大，使分母盡可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是說(shuō)，所有的分?jǐn)?shù)再添兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位就等于1，可見(jiàn)應(yīng)使所求分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位盡可能小，因此a=99 的最大值是= 答：的最大值是。 練習(xí)1： 1、 設(shè)x和y是選自前100個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)不同的數(shù)，求的最大值。 2、 a和b是小于50的兩個(gè)不同的自然數(shù)，且a＞b，求的最小值。 3、 設(shè)x和y是選自前200個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)不同的數(shù)，且x＞y，①求的最大值；②求的最小值。 例2： 有甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，甲數(shù)等于乙數(shù)的。這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是多少？ 甲數(shù)：乙數(shù)=：=7：3，甲數(shù)的7份，乙數(shù)的3份。由甲是兩位數(shù)可知，每份的數(shù)量最大是14，甲數(shù)與乙數(shù)相差4份，所以，甲、乙兩數(shù)的差是14（7-3）=56 答：這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是56。 練習(xí)2： 1、 有甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，甲數(shù)的等于乙數(shù)的。這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是多少？ 2、 甲、乙兩數(shù)都是三位數(shù)，如果甲數(shù)的恰好等于乙數(shù)的。這兩個(gè)兩位數(shù)的和最小是多少？ 3、 加工某種機(jī)器零件要三道工序，專做第一、二、三道工序的工人每小時(shí)分別能做48個(gè)、32個(gè)、28個(gè)，要使每天三道工序完成的個(gè)數(shù)相同，至少要安排多少工人？ 例3： 如果兩個(gè)四位數(shù)的差等于8921，就是說(shuō)這兩個(gè)四位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。問(wèn)：這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？ 在這些數(shù)對(duì)中，被減數(shù)最大是9999，此時(shí)減數(shù)是9999－8921＝1078，被減數(shù)和劍術(shù)同時(shí)減去1后，又得到一個(gè)滿足題意條件的四位數(shù)對(duì)。為了保證減數(shù)是四位數(shù)，最多可以減去78，因此，這樣的數(shù)對(duì)共有78+1＝79個(gè)。 答：這樣的數(shù)對(duì)共有79個(gè)。 練習(xí)3 1、 兩個(gè)四位數(shù)的差是8921。這兩個(gè)四位數(shù)的和的最大值是多少？ 2、 如果兩個(gè)三位數(shù)的和是525，就說(shuō)這兩個(gè)三位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。那么這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？組成這樣的數(shù)對(duì)的兩個(gè)數(shù)的差最小是多少？最大是多少？ 3、 如果兩個(gè)四位數(shù)的差是3456，就說(shuō)這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。那么，這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？組成這樣的數(shù)對(duì)的兩個(gè)數(shù)的和最大是多少？最小是多少？ 例4． 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，后面兩個(gè)數(shù)的積與前面兩個(gè)數(shù)的積之差是114。這三個(gè)數(shù)中最小的是多少？ 因?yàn)椋鹤畲髷?shù)中間數(shù)－最小數(shù)中間數(shù)＝114，即：（最大數(shù)－最小數(shù)）中間數(shù)＝114 而三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，最大數(shù)－最小數(shù)＝2，因此，中間數(shù)是1142＝57，最小數(shù)是57－1＝56 答：最小數(shù)是56。 練習(xí)4 1、 桑連續(xù)的奇數(shù)，后兩個(gè)數(shù)的積與前兩個(gè)數(shù)的積之差是252。三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是______. 2、 a、b、c是從小到大排列的三個(gè)數(shù)，且a－b＝b－c，前兩個(gè)數(shù)的積與后兩個(gè)數(shù)的積之差是280。如果b＝35，那么c是_____。 3、 被分?jǐn)?shù)，，除得的結(jié)果都是整數(shù)的最小分?jǐn)?shù)是______。 例5． 三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)三位數(shù)的和是2886。求所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中的最小的三位數(shù)。 因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)字分別在百位、十位、個(gè)位各出現(xiàn)了2次。所以，2886222能得到三個(gè)數(shù)字的和。 設(shè)三個(gè)數(shù)字為a、b、c，那么6個(gè)不同的三位數(shù)的和為 abc+acb+bac+bca+cab+cba ＝（a+b+c）1002+（a+b+c）1002+（a+b+c）1002 ＝（a+b+c）222 ＝2886 即a+b+c＝2886222＝13 答：所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中，最小的三位數(shù)是139。 練習(xí)5 1、 有三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)不同的三位數(shù)的和是3108。所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最大的一個(gè)是多少？ 2、 有三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)不同的三位數(shù)的和是2220。所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的一個(gè)是多少？ 3、 用a、b、c能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)三位數(shù)相加的和是2886。已知a、b、c三個(gè)數(shù)字中，最大的數(shù)字是最小數(shù)字的2倍，這6個(gè)三位數(shù)中最小的數(shù)是多少？ 答案： 練1 1、 2、 3、 （1）399 （2） 練2 1、 甲、乙兩數(shù)的比是8：3，甲數(shù)最大是96 ，差最大是60。 2、 甲、乙兩數(shù)的比是3：10，甲數(shù)最小是102，和最小是442。 3、 一、二、三道工序所需的工人數(shù)的比是：：＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59個(gè)工人。 練3 1、 9999+（9999－8921）＝11077 2、 較小的數(shù)最大是（521－1）2＝262，100～262共有163個(gè)自然數(shù),所以共有163對(duì),兩個(gè)數(shù)的差最大是525－100－100＝325 3、 數(shù)對(duì)共有9999－3456－1000+1＝5544個(gè)，兩個(gè)數(shù)的和最大是9999－3456+9999＝16542，兩個(gè)數(shù)的和最小是1000+3456+1000＝5456 練4 1、 最大數(shù)－最小數(shù)＝4 中間數(shù)＝2524＝63 最小數(shù)＝63－2＝61 2、 根據(jù)題意可得（a－c）b＝280，進(jìn)而可以推出a－c＝280b＝28035＝8，所以，c＝35－82＝31 3、 所求的分?jǐn)?shù)，它的分子是6，5，10的最小公倍數(shù)，分母是7，14，21的最大公約數(shù)，所以答案是。 練5 1、 符合題意的三個(gè)數(shù)字之和是3108222＝14，因此，所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最大的一個(gè)是941（三個(gè)數(shù)字不能有0，否則就不能排出6個(gè)不同的三位數(shù)）。 2、 三個(gè)數(shù)字的和是2220222＝10，最小的一個(gè)是127。 3、 最小的數(shù)是346。