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高中學生學科素質(zhì)訓練 —對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 一、選擇題： 1．的值是 （ ） A． B．1 C． D．2 2．若log2=0，則x、y、z的大小關系是 （ ） A．z＜x＜y B．x＜y＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x 3．已知x=+1,則log4(x3－x－6)等于 （ ） A. B. C.0 D. 4．已知lg2=a，lg3=b，則等于 （ ） A． B． C． D． 5．已知2 lg(x－2y)=lgx＋lgy，則的值為 （ ） A．1 B．4 C．1或4 D．4 或 6.函數(shù)y=的定義域為 （ ） A．(，＋∞) B．［1，＋∞ C．( ，1 D．(－∞，1) 7．已知函數(shù)y=log (ax2＋2x＋1)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是 （ ） A．a(chǎn) ＞ 1 B．0≤a＜ 1 C．0＜a＜1 D．0≤a≤1 8.已知f(ex)=x，則f(5)等于 （ ） A．e5 B．5e C．ln5 D．log5e O x y O x y O x y O x y 9．若的圖像是 （ ） A B C D 10．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 11．設集合等于 （ ） A． B． C． D． 12．函數(shù)的反函數(shù)為 （ ） A． B． C． D． 二、填空題： 13．計算：log2.56.25＋lg＋ln＋= ． 14．函數(shù)y=log4(x－1)2(x＜1＝的反函數(shù)為___ _______． 15．已知m＞1，試比較(lgm)0.9與(lgm)0.8的大小 ． 16．函數(shù)y =(logx)2－logx2＋5 在 2≤x≤4時的值域為_____ _ ． 三、解答題： 17．已知y=loga(2－ax)在區(qū)間{0，1}上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍． 18．已知函數(shù)f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍． 19．已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，當x∈R時f(x)≥2x恒成立，求實數(shù)a的值，并求此時f(x)的最小值？ 20．設0＜x＜1，a＞0且a≠1，試比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大?。? 21．已知函數(shù)f(x)=loga(a－ax)且a＞1， （1）求函數(shù)的定義域和值域； （2）討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性； （3）證明函數(shù)圖象關于y=x對稱． 22．在對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象上(如圖)，有A、B、C三點，它們的橫坐標依次為a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面積的最大值． 參考答案 一、選擇題： ADBCB CDCBA AB 二、填空題：13.，14.y=1－2x(x∈R)， 15. (lgm)0.9≤(lgm)0.8，16. 三、解答題： 17.解析：先求函數(shù)定義域：由2－ax＞0，得ax＜2 又a是對數(shù)的底數(shù)， ∴a＞0且a≠1，∴x＜ 由遞減區(qū)間[0，1]應在定義域內(nèi)可得＞1，∴a＜2 又2－ax在x∈[0，1]是減函數(shù) ∴y=loga(2－ax)在區(qū)間[0，1]也是減函數(shù)，由復合函數(shù)單調(diào)性可知：a＞1 ∴1＜a＜2 18、解：依題意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0對一切x∈R恒成立． 當a2－1≠0時，其充要條件是： 解得a＜－1或a＞ 又a=－1，f(x)=0滿足題意，a=1，不合題意． 所以a的取值范圍是：(－∞，－1]∪(，＋∞) 19、解析：由f(－1)=－2 ，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1， ∴=10，a=10b． 又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x2＋xlga＋lgb≥0，對x∈R恒成立， 由Δ=lg2a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0 即(lgb－1)2≤0，只有l(wèi)gb=1，不等式成立． 即b=10，∴a=100． ∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3 當x=－2時，f(x) min=－3． 20.解法一：作差法 |loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=| |－||=(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|) ∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x ∴上式=－[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－lg(1－x2) 由0＜x＜1，得，lg(1－x2)＜0，∴－lg(1－x2)＞0， ∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法二：作商法 =|log(1－x)(1＋x)| ∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x) 由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1 ∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴＞1－x＞0 ∴0＜log(1－x) ＜log(1－x)(1－x)=1 ∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法三：平方后比較大小 ∵loga2(1－x)－loga2(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)] =loga(1－x2)loga=lg(1－x2)lg ∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1 ∴l(xiāng)g(1－x2)＜0，lg＜0 ∴l(xiāng)oga2(1－x)＞loga2(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法四：分類討論去掉絕對值 當a＞1時，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x2) ∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1 ∴l(xiāng)oga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0 當0＜a＜1時，由0＜x＜1，則有l(wèi)oga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0 ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x2)＞0 ∴當a＞0且a≠1時，總有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 21.解析：(1)定義域為(－∞，1)，值域為(－∞，1) (2)設1＞x2＞x1 ∵a＞1，∴，于是a－＜a－ 則loga(a－a)＜loga(a－) 即f(x2)＜f(x1) ∴f(x)在定義域(－∞，1)上是減函數(shù) (3)證明：令y=loga(a－ax)(x＜1)，則a－ax=ay，x=loga(a－ay) ∴f－1(x)=loga(a－ax)(x＜1) 故f(x)的反函數(shù)是其自身，得函數(shù)f(x)=loga(a－ax)(x＜1＝圖象關于y=x對稱． 22. 解析：根據(jù)已知條件，A、B、C三點坐標分別為(a，log2a)，(a＋1，log2(a＋1))，(a＋2，log2(a＋2))，則△ABC的面積 S= 因為,所以