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2.2.3《向量數(shù)乘運算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計 一、教材分析： 向量具有豐富的實際背景和幾何背景，向量既有大小，又有方向.但是引進(jìn)向量，而不研究它的運算，則向量只是起到一個路標(biāo)的作用；向量只有引進(jìn)運算后才顯得威力無窮.本章從第二節(jié)開始學(xué)習(xí)向量的加法、減法運算及其幾何意義；本節(jié)接著學(xué)習(xí)向量的數(shù)乘運算及其幾何意義. 向量數(shù)乘運算以及加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運算，向量的數(shù)乘運算其實是加法運算的推廣及簡化.教學(xué)時從加法入手，引入數(shù)乘運算，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.實數(shù)與向量的乘積仍然是一個向量，既有大小，又有方向.特別是方向相同或相反向量是共線向量，進(jìn)而引出共線向量定理.共線向量定理是本章節(jié)的重要的內(nèi)容，應(yīng)用相當(dāng)廣泛，且容易出錯，尤其是定理的前提條件：向量是非零向量.共線向量的應(yīng)用主要用于證明點共線或線平行等，且與后學(xué)的知識有著密切的聯(lián)系. 二、學(xué)情分析： 學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)了近一學(xué)期的高中課程內(nèi)容后，在思想和思維模式上已經(jīng)適應(yīng)了高中的課程和高中的教學(xué)方式.學(xué)生能適應(yīng)自主探究、師生互動的學(xué)習(xí)方式，動手操作能力強，勇于創(chuàng)新，敢于發(fā)表自己的見解.只要教師創(chuàng)設(shè)情境合理，精心設(shè)計問題串，循序漸進(jìn)層層深入，學(xué)生能很快地構(gòu)建起新的數(shù)學(xué)知識，教師只要作必要的歸納，就會幫助學(xué)生上升到理性認(rèn)識的層面.同時為了更熟練地掌握知識和應(yīng)用知識，需加強學(xué)生的課堂練習(xí). 三、教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能 通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運算及其幾何意義的過程，掌握實數(shù)與向量積的定義；理解實數(shù)與向量積的幾何意義；掌握實數(shù)與向量積的運算律. 2、過程與方法 通過師生互動理解兩個向量共線的等價條件，能夠運用兩向量共線條件判斷兩向量是否平行，進(jìn)而判定點共線或直線平行. 3、情感態(tài)度與價值觀 通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法（從特殊到一般、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、觀察、猜想、歸納、類比、總結(jié)等）；培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進(jìn)取精神；通過具體問題，體會數(shù)學(xué)在實際生活中的重要作用. 四、教學(xué)重難點 教學(xué)重點： 1．理解并掌握向量數(shù)乘的定義及幾何意義； 2．熟練地掌握和運用實數(shù)與向量積的運算律； 3．掌握向量共線定理，會判定或證明點共線或直線平行. 教學(xué)難點：對向量共線的等價條件的理解以及運用. 五、教具選取 三角板、投影儀、多媒體輔助教學(xué). 五、教學(xué)過程 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計意圖 情 景 引 入 【問題】為維護我國領(lǐng)土主權(quán)和保證漁民正常生產(chǎn).我國四艘漁政船在釣魚島附近開展護衛(wèi)任務(wù)，已知甲向東行駛了10海里，乙向東行駛了30海里，丙向西行駛了30海里，丁在原地沒有動，如果把甲的位移用向量來表示，那么，怎么用向量分別表示乙、丙、丁的位移？ 教師提問 學(xué)生回答 情景引入，引發(fā)新知，滲透法制教育. 探 究 知 新 已知非零向量，作出++和（）+（）+（） 想一想：它們的大小和方向有什么變化？ 學(xué)生作圖，觀察并思考. 認(rèn)識和理解向量數(shù)乘的幾何意義必須從幾何直觀入手，為下一步對向量的數(shù)乘的定義及其幾何意義的理性認(rèn)識作鋪墊. 新課講解 形成定義 （板書）實數(shù)與向量的積的定義： 一般地，實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下： （1）； （2）當(dāng)時，的方向與的方向相同； 當(dāng)時，的方向與的方向相反； 當(dāng) 時，． 問題1：請大家根據(jù)上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實數(shù)與向量的積？ 小組合作交流，學(xué)生作答. 通過引出向量的數(shù)乘的定義，讓學(xué)生體會從特殊到一般的思想方法. 向量數(shù)乘的幾何意義 是把向量沿的方向或反方向伸長或縮短倍. 問題2：你能說明它的幾何意義嗎？ 小組合作交流，學(xué)生作答. 從直觀入手，從具體開始，逐步抽象.通過師生互動，得到向量數(shù)乘的幾何意義. 新課講解 趣味搶答 說一說： 給出問題，組織學(xué)生思考，并得出答案. 抽學(xué)生回答，并指出其幾何意義 從心理學(xué)認(rèn)為：概念一旦形成，必須及時鞏固，通過簡單口答題來鞏固學(xué)生對向量數(shù)乘的理解及應(yīng)用，同時滲透幾何問題向量化的一種思考方式. 觀察探究 (1) 觀察向量和并比較. (2) 觀察向量和，并比較. 問題3： 兩類向量的的關(guān)系如何？ 結(jié)合圖形,給出解答. 從從直觀入手，從具體開始，逐步抽象.得出向量運算的運算律. 形成結(jié)論 （板書）實數(shù)與向量的積的運算律： （1）（結(jié)合律）； （2）（第一分配律）； （3）（第二分配律）． 問題4：數(shù)的運算和運算律是緊密相連的，運算律可以有效地簡化運算.類比數(shù)的乘法的運算律，你能說出數(shù)乘的運算律嗎？ 小組交流探討 數(shù)學(xué)中引進(jìn)一個新的量自然要看看它的運算及其運算律的問題.運算律可以有效的簡化運算.類比數(shù)的乘法的運算律引出數(shù)乘向量的運算律. 例題解析 例1 計算： （1）； （2）； 規(guī)范解答、形成方法. 共同參與，獲得方法. 通過例1加深學(xué)生對數(shù)乘向量運算律的理解. 鞏固練習(xí)1 觀察學(xué)生作答情況，分析并總結(jié)出現(xiàn)的錯誤. 學(xué)生單獨作答 及時練習(xí)，及時鞏固，反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況 向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意的向量，以及任意實數(shù)，恒有 引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié). 發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成方法. 本節(jié)作為向量線性運算的最后一節(jié)，有必要綜合認(rèn)識向量線性運算. 新課講解 合作探究 對于向量、，如果有一個實數(shù)，使，那么由向量數(shù)乘的定義知與共線，且向量是向量模的倍，而的正負(fù)由向量、的方向所決定. 反過來，已知向量與共線，，且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當(dāng)與同方向時，有；當(dāng)與反方向時，有. 從上述兩方面可知 （板書）共線向量定理：向量、共線，當(dāng)且僅當(dāng)有一個實數(shù)，使得. 問題6：引入數(shù)乘向量后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量的位置關(guān)系嗎？ 1) 為什么要是非零向量? 2) 可以是零向量嗎? 合作交流，并作答. 思考: （1）若則位置關(guān)系如何？ （2）若則是否成立？ 師生共同活動引出向量共線的定理；引導(dǎo)學(xué)生理解向量共線只需看這兩個向量的方向相同或是相反，在向量的前提下，向量、共線，當(dāng)且僅當(dāng)有一個實數(shù)，使得；且實數(shù)的唯一性是由向量和的模和方向同時決定. 通過學(xué)生合作交流，促進(jìn)學(xué)生合作的集體意識；通過學(xué)生獨立作答，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 趣味搶答 給出問題，組織學(xué)生思考，并得出答案. 抽學(xué)生回答，并指出其幾何意義. 從心理學(xué)認(rèn)為：概念一旦形成，必須及時鞏固 例題解析 例2、如圖，已知兩個向量、，試作，，.你能判斷A、B、C三點之間的關(guān)系嗎？為什么？ 引導(dǎo)學(xué)生思考 共同參與，獲得方法. 這道例題是先讓學(xué)生猜想，再證明；利用向量共線證明點共線，具體方法是先證明向量共線，再證明向量有公共點；進(jìn)而引出利用向量共線證明點共線的方法. 新課講解 方法總結(jié) 引導(dǎo)學(xué)生思考，并總結(jié)，形成方法. 學(xué)生思考作答. 通過例題，讓學(xué)生學(xué)會思考，學(xué)會總結(jié)，并能夠解決相關(guān)實際問題. 鞏固練習(xí)2 練習(xí)2 已知兩個非零向量、，不共線，如果，，.求證：A、B、D三點共線. 觀察學(xué)生作答情況，分析并總結(jié)出現(xiàn)的錯誤. 學(xué)生單獨作答 鞏固學(xué)習(xí)成果，利用向量共線證明點共線，具體方法是先證明向量共線，再證明向量有公共點. 課堂小結(jié) 一、① 的定義及運算律； ② 向量共線定理， 向量與共線. 二、 定理的應(yīng)用： （1） 證明向量共線； （2證明三點共線； 證明兩直線平行： A、B、C三點共線 （3） 證明兩直線平行： 直線AB∥直線CD. 三、你體會到了那些數(shù)學(xué)思想. 引導(dǎo)學(xué)生體會本節(jié)學(xué)習(xí)中用到的思想方法：特殊到一般，歸納，猜想，類比，分類討論，等價轉(zhuǎn)化. 學(xué)生與老師共同分享成果. 1.知識性內(nèi)容的總結(jié)，可以把課堂教學(xué)傳授的知識盡快轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素質(zhì).2.運用數(shù)學(xué)方法，創(chuàng)新素質(zhì)的小結(jié)能讓學(xué)生更系統(tǒng)，更深刻地理解數(shù)學(xué)理想方法在解題中的地位和作用，并且逐漸培養(yǎng)學(xué)生的良好個性品質(zhì).3.由學(xué)生口頭表述，不僅可以提高學(xué)生的綜合概括能力，還能提高學(xué)生的口頭表達(dá)能力. 課 后 作 業(yè) 教材P91，A組9題、13題 （選做）B組3題 課后思考： 分層布置作業(yè)，讓每個學(xué)生都得到發(fā)展. 課后的思考題讓學(xué)生通過思考發(fā)現(xiàn)三點共線的另一種形式.培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力. 六、課后鞏固 1、已知向量、不共線，若=3-4，=6+k且∥，則k的值為（ ） A.8 B.-8 C.3 D.-3 2、設(shè)兩非零向量不共線，且，則實數(shù)k的值為 . 3、中，，，且與邊相交于點，的中線與相交于點.設(shè)，，用、分別表示向量. 七、教學(xué)反思 作為重點培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識、實踐能力的一種教學(xué)模式——“問題解決”的課堂教學(xué)模式越來越受到人們的重視。與此相關(guān)，設(shè)計出高潮迭起、充滿吸引力、能提高學(xué)生思維訓(xùn)練的質(zhì)量和水平的好問題，是教師在課堂教學(xué)中發(fā)揮主導(dǎo)作用的重要標(biāo)志之一。 對于《向量數(shù)乘運算及其幾何意義》這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行了如下處理：在教學(xué)過程中努力將問題的難易程度落在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，既不是太容易，學(xué)生不費勁就輕易夠到而無所提高，又不能太難，學(xué)生怎么努力也毫無結(jié)果而喪失信心。同時，所選問題中所蘊涵的基礎(chǔ)知識在發(fā)展中可與前后聯(lián)系，可以與其他知識左右溝通，具有典型性。問題中還隱含有適當(dāng)?shù)摹跋葳濉?，可以較好地暴露學(xué)生思維中的不足、方法中的欠缺、知識中的漏洞，幫助學(xué)生查漏補缺，以“誤”養(yǎng)“正”；問題可以引發(fā)學(xué)生強烈的認(rèn)知矛盾和沖突，給學(xué)生留下了深刻的印象與體驗。 經(jīng)過學(xué)生與課堂的教學(xué)實踐，體會如下：1、在教學(xué)過程中，學(xué)生用于探究的時間相對較少了點，同時在發(fā)現(xiàn)學(xué)生在向量的書寫以及計算上還存在問題時，花了較多的時間讓學(xué)生作過手訓(xùn)練，導(dǎo)致最后時間顯得較為緊張。因此對于教學(xué)時間節(jié)奏的把握還不是特別的好，需要在以后的教學(xué)中多加打磨。2、新課程理念強調(diào)探究性學(xué)習(xí)、小組交流學(xué)習(xí)，如何探究，在什么地方探究，如何設(shè)計探究的自然性等都值得我們?nèi)パ芯?。同時我更傾向于“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)還是應(yīng)該靜下來進(jìn)行深層次的思考”。 9